單自由度系統的振動2023/2/21《振動力學》教學內容單自由度系統自由振動無阻尼系統的自由振動有阻尼系統的自由振動簡諧激勵下的受迫振動基礎簡諧激勵下的受迫振動周期激勵下的振動分析瞬態激勵下的振動分析2023/2/22什么是自由度在振動過程中任何瞬時都能完全確定系統在空間的幾何位置所需要的獨立坐標的數目。剛體在空間有6個自由度：三個方向的移動和繞三個方向的轉動，如飛機、輪船；質點在空間有3個自由度：三個方向的移動，如高爾夫球；質點在平面有2個自由度：兩個方向的移動，加上約束則成為單自由度。單自由度系統僅需一個獨立坐標來描述的系統。注意：對于實際系統，當考慮問題的深度、廣度不同時，則可能簡化成不同自由度的振動系統。1.1概述2023/2/231.1概述構成機械振動系統的基本元素構成振動系統的基本元素有慣性(質量)、恢復性（彈簧）和阻尼（阻尼器）。

慣性就是能使物體當前運動持續下去的性質。

恢復性就是能使物體位置恢復到平衡狀態的性質。

阻尼就是阻礙物體運動的性質。從能量的角度看，慣性是保持動能的元素，恢復性是貯存勢能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。2023/2/24ModelingWhy？分析復雜的實際問題，發現其中的可以用數學語言來描述的關系或規律，把這個實際問題化成一個數學問題，這就稱為建模。建模要抓住實際問題的主要因素。模型建立起來了，實際問題化成了數學問題。1.1概述單自由度系統振動方程2023/2/251.1概述Modeling實際系統有限元模型離散模型簡化系統簡化系統連續體模型對于振動問題的適應性強，應用范圍廣，能詳細給出各種數值結果，并通過圖像顯示還可以形象地描述振動過程。單自由度系統振動方程2023/2/261.1概述動力學的基本原理自由度和廣義坐標牛頓第二定律質系動量矩定理機械能守恒定律D’Alembert原理Lagrange方程單自由度系統振動方程2023/2/271.1概述步驟：

建立廣義坐標作質量元件的隔離體受力分析圖建立振動微分方程并整理成標準的形式單自由度系統振動方程2023/2/281.1概述Example1SDOFdampingsystem單自由度系統振動方程2023/2/291.1概述SDOFdampingsystem建立廣義坐標。取質量元件沿鉛垂方向的位移作為廣義坐標x。原點在系統的靜平衡位置，向下為正。

隔離體受力分析由力學原理得到Example2單自由度系統振動方程2023/2/2101.1概述PendulumExample3單自由度系統振動方程2023/2/2111.1概述Pendulum建立廣義坐標。單擺偏離平衡位置的轉角θ，坐標零位在鉛垂位置，逆時針方向為正。隔離體受力分析

由動量矩原理得到Example3Rmg單自由度系統振動方程2023/2/2121.1概述VibrationoffluidExample4單自由度系統振動方程2023/2/2131.1概述Vibrationoffluid建立廣義坐標。設系統平衡時液面的位置為廣義坐標的零位，液柱沿直管上升的距離y為廣義坐標。

受力分析由D’Alembert原理得到Example4單自由度系統振動方程2023/2/2141.1概述單自由度振動系統微分方程的一般形式單自由度系統振動方程2023/2/2152023/2/216力學模型給圖示系統一個初始擾動。便會產生振動響應。其中δs為靜變形。數學模型

即：1.2無阻尼系統的自由振動令：單位：弧度/秒（rad/s）則有：固有頻率2023/2/217求解方程1.2無阻尼系統的自由振動令得到特征方程有If微分方程轉變成代數方程

2023/2/2181.2無阻尼系統的自由振動2023/2/2191.2無阻尼系統的自由振動

簡諧振動

固有頻率固有圓頻率固有頻率

周期

振幅&相位只與系統本身元件的參數有關InitialconditionsPhysicalproperties無阻尼系統的振動特性2023/2/220

考慮系統在初始擾動下的自由振動

設的初始位移和初始速度為：解得：1.2無阻尼系統的自由振動零初始條件下的自由振動：2023/2/221零初始條件下的自由振動：無阻尼的質量彈簧系統受到初始擾動后，其自由振動是以為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止。初始條件的說明：初始條件是外界能量轉入的一種方式，有初始位移即轉入了彈性勢能，有初始速度即轉入了動能。1.2無阻尼系統的自由振動2023/2/222零初始條件下的自由振動：無阻尼的質量彈簧系統受到初始擾動后，其自由振動是以為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止。初始條件：固有頻率從左到右：時間位置1.2無阻尼系統的自由振動2023/2/223固有頻率計算的另一種方式：

在靜平衡位置：則有：對于不易得到m和k

的系統，若能測出靜變形，則用該式計算是較為方便的。0mu靜平衡位置彈簧原長位置1.2無阻尼系統的自由振動2023/2/224例：提升機系統重物重量鋼絲繩的彈簧剛度重物以的速度均勻下降求：繩的上端突然被卡住時，（1）重物的振動頻率，（2）鋼絲繩中的最大張力。W1.2無阻尼系統的自由振動2023/2/225解：振動頻率重物勻速下降時處于靜平衡位置，若將坐標原點取在繩被卡住瞬時重物所在位置則t=0時，有：振動解：W靜平衡位置kuWv1.2無阻尼系統的自由振動2023/2/226振動解：繩中的最大張力等于靜張力與因振動引起的動張力之和：動張力幾乎是靜張力的一半由于為了減少振動引起的動張力，應當降低升降系統的剛度Wv1.2無阻尼系統的自由振動2023/2/227例：重物落下，與簡支梁做完全非彈性碰撞梁長L，抗彎剛度EJ求：梁的自由振動頻率和最大撓度mh0l/2l/21.2無阻尼系統的自由振動2023/2/228解：由材料力學：自由振動頻率為：取平衡位置以梁承受重物時的靜平衡位置為坐標原點建立坐標系靜變形mh0l/2l/2u靜平衡位置1.2無阻尼系統的自由振動2023/2/229撞擊時刻為零時刻，則t=0

時，有：則自由振動振幅為：梁的最大擾度：mh0l/2l/2u靜平衡位置1.2無阻尼系統的自由振動2023/2/230例：圓盤轉動圓盤轉動慣量I在圓盤的靜平衡位置上任意選一根半徑作為角位移的起點位置扭振固有頻率為軸的扭轉剛度，定義為使得圓盤產生單位轉角所需的力矩由牛頓第二定律：1.2無阻尼系統的自由振動2023/2/231由上例可看出，除了選擇了坐標不同之外，角振動與直線振動的數學描述是完全相同的。如果在彈簧質量系統中將m、k稱為廣義質量及廣義剛度，則彈簧質量系統的有關結論完全適用于角振動。以后不加特別聲明時，彈簧質量系統是廣義的。0mu靜平衡位置彈簧原長位置1.2無阻尼系統的自由振動2023/2/232從前面兩種形式的振動看到，單自由度無阻尼系統總包含著慣性元件和彈性元件兩種基本元件，慣性元件是感受加速度的元件，它表現為系統的質量或轉動慣量，而彈性元件是產生使系統恢復原來狀態的恢復力的元件，它表現為具有剛度或扭轉剛度度的彈性體。同一個系統中，若慣性增加，則使固有頻率降低，而若剛度增加，則固有頻率增大。0mu靜平衡位置彈簧原長位置1.2無阻尼系統的自由振動2023/2/233例：復擺剛體質量m對懸點的轉動慣量重心C

求：復擺在平衡位置附近做微振動時的微分方程和固有頻率a0C1.2無阻尼系統的自由振動2023/2/234解：由牛頓定律：因為微振動：則有：固有頻率：實驗確定復雜形狀物體的轉動慣量的一個方法若已測出物體的固有頻率，則可求出，再由移軸定理，可得物質繞質心的轉動慣量：a0C1.2無阻尼系統的自由振動2023/2/235例：彈簧－質量系統沿光滑斜面做自由振動斜面傾角300質量m=1kg彈簧剛度k=49N/cm開始時彈簧無伸長，且速度為零求：系統的運動方程m300重力角速度取9.81.2無阻尼系統的自由振動2023/2/236解：以靜平衡位置為坐標原點建立坐標系振動固有頻率：振動初始條件：考慮方向初始速度：運動方程：m3001.2無阻尼系統的自由振動2023/2/237作業1P44題1-3P45題1-52023/2/2382023/2/239等效系統1.3等效單自由度系統多個質量（彈性、阻尼）元件等效為一個質量（剛度、阻尼）元件。連續系統的質量和彈性等效成一個質量元件和一個彈性元件。單自由度振動系統微分方程的一般形式平動：轉動：2023/2/240等效系統1.3等效單自由度系統1等效剛度計算方法：1從剛度的定義。

2等效前后系統勢能不變。斜向布置的彈簧等效彈簧剛度2023/2/241等效系統1.3等效單自由度系統1等效剛度計算方法：1從剛度的定義。

2等效前后系統勢能不變。并聯和串聯彈簧2023/2/242等效系統1.3等效單自由度系統1等效剛度計算方法：1從剛度的定義。

2等效前后系統勢能不變。并聯彈簧Parallelsprings等效彈簧剛度2023/2/243等效系統1.3等效單自由度系統SeriesSprings串聯彈簧等效彈簧剛度1等效剛度計算方法：1從剛度的定義。

2等效前后系統勢能不變。2023/2/244等效系統1.3等效單自由度系統Example求圖示系統對A點的等效質量Spring-lever-masssystem等效前系統的動能等效后系統的動能∵2等效質量

等效前后系統動能不變2023/2/245作業mk1k2k3k4已知:

m

=0.3kg求等效剛度ke和固有頻率2023/2/2462023/2/247阻尼自由振動前面的自由振動都沒有考慮運動中阻力的影響，實際系統的機械能不可能守恒，因為總存在著各種各樣的阻力。振動中將阻力稱為阻尼，例如摩擦阻尼，電磁阻尼，介質阻尼和結構阻尼。盡管已經提出了許多數學上描述阻尼的方法，但是實際系統中阻尼的物理本質仍然極難確定。最常用的一種阻尼力學模型是粘性阻尼。在流體中低速運動或沿潤滑表面滑動的物體，通常就認為受到粘性阻尼。1.4有阻尼系統的自由振動2023/2/248粘性阻尼力與相對速度稱正比，即：c：為粘性阻尼系數，或阻尼系數單位：數學模型：或寫為：固有頻率相對阻尼系數

mkcmu0力學模型取坐標如圖，靜平衡位置為坐標原點。據牛頓定律寫出運動微分方程：1.4有阻尼系統的自由振動2023/2/249動力學方程：設有特解：特征方程：特征根：三種情況：欠阻尼過阻尼臨界阻尼求解方程代入微分方程得：1.4有阻尼系統的自由振動2023/2/250第一種情況：欠阻尼動力學方程：特征方程：特征根：特征根：阻尼固有頻率有阻尼的自由振動頻率通解：a1、a2：初始條件決定一對共軛復數根1.4有阻尼系統的自由振動2023/2/251欠阻尼振動解：設初始條件：則：或：1.4有阻尼系統的自由振動2023/2/252欠阻尼振動解：阻尼固有頻率阻尼自由振動周期：T0：無阻尼自由振動的周期特性一：阻尼自由振動的周期大于無阻尼自由振動的周期1.4有阻尼系統的自由振動2023/2/253欠阻尼響應圖形振動解：特性二：欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動ξ=0ξ<1時間位置阻尼大，則振動衰減快；阻尼小，則衰減慢1.4有阻尼系統的自由振動2023/2/254評價阻尼對振幅衰減快慢的影響與t

無關，任意兩個相鄰振幅之比均為衰減振動的頻率為，振幅衰減的快慢取決于，這兩個重要的特征反映在特征方程的特征根的實部和虛部減幅系數定義為相鄰兩個振幅的比值：1.4有阻尼系統的自由振動2023/2/255減幅系數：含有指數項，不便于工程應用實際中常采用對數衰減率：特性三：振幅按幾何級數衰減。1.4有阻尼系統的自由振動2023/2/256

第二種情況：過阻尼動力學方程：特征方程：特征根：特征根：兩個不等的負實根通解：a1、a2：初始條件決定1.4有阻尼系統的自由振動2023/2/257設初始條件：則：一種按指數規律衰減的非周期蠕動，沒有振動發生響應圖形振動解：過阻尼1.4有阻尼系統的自由振動2023/2/258動力學方程：特征方程：特征根：特征根：二個重根通解：a1、a2：初始條件決定

第三種情況：臨界阻尼1.4有阻尼系統的自由振動2023/2/259振動解：臨界阻尼則：仍然是按指數規律衰減的非周期運動，但比過阻尼衰減快些臨界阻尼系數設初始條件：響應圖形1.4有阻尼系統的自由振動2023/2/260tu(t)臨界也是按指數規律衰減的非周期運動，但比過阻尼衰減快些三種阻尼情況比較：欠阻尼過阻尼臨界阻尼欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動過阻尼是一種按指數規律衰減的非周期蠕動，沒有振動發生1.4有阻尼系統的自由振動2023/2/261小結：動力學方程欠阻尼過阻尼臨界阻尼按指數規律衰減的非周期蠕動按指數規律衰減的非周期運動，比過阻尼衰減快振幅衰減振動1.4有阻尼系統的自由振動2023/2/262例：阻尼緩沖器靜載荷P去除后質量塊越過平衡位置的最大位移為初始位移的10％求：緩沖器的相對阻尼系數kcu0u0Pm平衡位置1.4有阻尼系統的自由振動2023/2/263解：由題知設求導：設在時刻t1

質量越過平衡位置到達最大位移，這時速度為：即經過半個周期后出現第一個振幅u1kcu0u0Pm平衡位置1.4有阻尼系統的自由振動2023/2/264由題知解得：1.4有阻尼系統的自由振動2023/2/265例：剛桿質量不計求：（1）寫出運動微分方程（2）臨界阻尼系數，阻尼固有頻率小球質量mlakcmb1.4有阻尼系統的自由振動2023/2/266解：阻尼固有頻率：無阻尼固有頻率：m廣義坐標力矩平衡：受力分析lakcmb1.4有阻尼系統的自由振動2023/2/2672023/2/268阻尼在所有振動系統中是客觀存在的大多數是非粘性阻尼，其性質各不相同非粘性阻尼的數學描述比較復雜處理方法之一：采用能量方法將非粘性阻尼簡化為等效粘性阻尼原則：等效粘性阻尼在一個周期內消耗的能量等于要簡化的非粘性阻尼在同一周期內消耗的能量1.5等效粘性阻尼討論以下幾種非粘性阻尼情況：干摩擦阻尼低粘度流體阻尼結構阻尼2023/2/269（1）干摩擦阻尼（庫侖阻尼）摩擦力：：摩擦系數：正壓力：符號函數摩擦力一個周期內所消耗地能量：等效粘性阻尼系數：1.5等效粘性阻尼2023/2/270（2）低粘度流體阻尼工程背景：低粘度流體中以較大速度運動地物體：阻力系數等效粘性阻尼系數：阻尼力與相對速度地平方成正比，方向相反摩擦力：在運動方向不變的半個周期內計算耗散能量，再乘2：1.5等效粘性阻尼2023/2/271（3）結構阻尼由于材料為非完全彈性，在變形過程中材料的內摩擦所引起的阻尼稱為結構阻尼：比例系數等效粘性阻尼系數：特征：應力－應變曲線存在滯回曲線內摩擦所耗散的能量等于滯回環所圍的面積：加載和卸載沿不同曲線應變應力加載卸載01.5等效粘性阻尼2023/2/2722023/2/2731.6簡諧力激勵下的受迫振動振動系統在外力作用下引發的振動。受迫振動也稱強迫振動．2023/2/274彈簧－質量—阻尼系統設外力幅值外力的激勵頻率

mkcu0m力學模型1.6簡諧力激勵下的受迫振動數學方程2023/2/275振動微分方程：顯含時間t非齊次微分方程非齊次微分方程通解齊次微分方程通解非齊次微分方程特解＝＋阻尼自由振動逐漸衰減暫態響應持續等幅振動穩態響應本節內容1.6簡諧力激勵下的受迫振動振動微分方程的解2023/2/2761.6簡諧力激勵下的受迫振動其中,u1(t)為相應齊次方程的解瞬態響應

u2(t)為方程的特解穩態響應振動微分方程的解2023/2/2771.6簡諧力激勵下的受迫振動系統的全響應為:上式中的待定系數由初始條件確定，當時，R不一定為零，這是它與自由振動的區別。表示有阻尼自由振動響應，它是衰減振動，僅在振動開始后一段時間內有意義，屬于瞬態解表示受迫振動響應，它是持續的等幅振動，屬于穩態解。振動微分方程的解2023/2/278（1）線性系統對簡諧激勵的穩態響應是頻率等同于激振頻率、而相位滯后激振力的簡諧振動（2）穩態響應的振幅及相位只取決于系統本身的物理性質（m,k,c）和激振力的頻率及力幅，而與系統進入運動的方式（即初始條件）無關結論：1.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/279穩態響應的特性以λ為橫坐標畫出曲線幅頻特性曲線簡諧激勵作用下穩態響應特性：（1）當λ<<1（）激振頻率相對于系統固有頻率很低結論：響應的振幅A與靜位移B相當01230123451.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/280穩態響應特性（2）當λ>>1（）激振頻率相對于系統固有頻率很高結論：響應的振幅很小01230123451.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/281穩態響應特性（3）在以上兩個領域

λ>>1，λ<<1結論：系統即使按無阻尼情況考慮也是可以的對應于不同值,曲線較為密集，說明阻尼的影響不顯著01230123451.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/282穩態響應特性結論：共振振幅無窮大（4）當對應于較小值，迅速增大當但共振對于來自阻尼的影響很敏感，在λ=1附近的區域內，增加阻尼使振幅明顯下降01230123451.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/283穩態響應特性（5）對于有阻尼系統，并不出現在λ=1處，而且稍偏左01230123451.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/284穩態響應特性（6）當振幅無極值01230123451.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/285穩態響應特性記：品質因子在共振峰的兩側取與對應的兩點，帶寬Q與有關系：阻尼越弱，Q越大，帶寬越窄，共振峰越陡峭1.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/286穩態響應特性相頻特性曲線（1）當λ<<1（）以s為橫坐標畫出曲線相位差位移與激振力在相位上幾乎相同（2）當λ>>1（）位移與激振力反相（3）當共振時的相位差為，與阻尼無關01230901801.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/287有阻尼單自由度系統外部作用力規律：假設系統固有頻率：從左到右：1.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/288高速旋轉機械中，偏心質量產生的離心慣性力是主要的激勵來源。旋轉機械總質量為M，轉子偏心質量為m，偏心距為e，轉子轉動角速度為u：機器離開平衡位置的垂直位移則偏心質量的垂直位移：由達朗伯原理，系統在垂直方向的動力學方程：簡化圖形muceMcuMcuem偏心質量引起的強迫振動1.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/289me

：不平衡量：不平衡量引起的離心慣性力設：得：Mcu1.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/290B又寫為：1.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/291muceMcuMcuem偏心質量小結解1：解2：1.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/292例：偏心質量系統共振時測得最大振幅為0.1

m由自由衰減振動測得阻尼系數為假定求：（1）偏心距e，（2）若要使系統共振時振幅為0.01m，系統的總質量需要增加多少？muceMcu1.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/293解:（1）共振時測得最大振幅為0.1

m由自由衰減振動測得阻尼系數為共振時最大振幅（2）若要使系統共振時振幅為0.01mmuceMcu1.6簡諧力激勵下的受迫振動2023/2/2942023/2/295背景：地基振動特點：激振慣性力的振幅與頻率的平方成正比例坐標：動力學方程：基座位移規律：u1

相對基座位移mm受力分析ufkcmu0mkuufcD：基座位移振幅1.7基礎簡諧激勵下的受迫振動2023/2/296動力學方程：回顧：令：有：其中：1.7基礎簡諧激勵下的受迫振動2023/2/2970.250.50.751.02.010100190180幅頻曲線相頻曲線1.7基礎簡諧激勵下的受迫振動2023/2/298有阻尼的單自由度承受支撐運動支撐運動：系統固有頻率從左到右：1.7基礎簡諧激勵下的受迫振動2023/2/299若以絕對位移u為坐標其中：則有：ufkcmu0mkuufc1.7基礎簡諧激勵下的受迫振動2023/2/21001.7基礎簡諧激勵下的受迫振動2023/2/2101代入：無阻尼情況：ukcmu0mkuufc1.7基礎簡諧激勵下的受迫振動2023/2/2102幅頻曲線010100.10.250.350.51.0可看出：當時，振幅恒為支撐運動振幅D當時，振幅恒小于D增加阻尼反而使振幅增大ufkcmu0mkuufc1.7基礎簡諧激勵下的受迫振動2023/2/2103習題mk1k2已知:求m

為多大時，系統會發生共振2023/2/2104作業P45題1-112023/2/21052023/2/2106將作為振源的機器設備與地基隔離，以減少對環境的影響稱為第一類隔振（隔力）主動隔振系數＝隔振后傳到地基的力幅值隔振前傳到地基的力幅值隔振前機器傳到地基的力：隔振材料：k，c隔振后系統響應：m隔振前kcm隔振后1.8振動的隔離第一類隔振（隔力）2023/2/2107隔振后通過k、c傳到地基上的力：隔振材料：k，cm隔振前kcm隔振后1.8振動的隔離2023/2/2108主動隔振系數＝隔振后傳到地基的力幅值隔振前傳到地基的力幅值隔振前機器傳到地基的力：隔振后通過k、c傳到地基上的力：隔振系數：隔振材料：k，cm隔振前kcm隔振后1.8振動的隔離2023/2/2109例：機器安裝在彈性支承上已測得固有頻率阻尼比參與振動的質量是880kg機器轉速n＝2400r/min

不平衡力的幅值1470N求：（1）機器振幅，（2）主動隔振系數（3）傳到地基上的力幅解：頻率比：彈性支承的剛度：機器振動的振幅：主動隔振系數：傳到地基上的力幅：1.8振動的隔離2023/2/2110將地基的振動與機器設備隔離，以避免將振動傳至設備，稱為第二類隔振（隔幅）被動隔振系數＝隔振后設備的振幅隔振前設備的振幅基礎位移：隔振前振幅：D隔振后系統響應：m隔振前kcm隔振后1.8振動的隔離第二類隔振（隔幅）2023/2/21112023/2/2112前面討論的強迫振動，都假設了系統受到激勵為簡諧激勵，但實際工程問題中遇到的大多是周期激勵而很少為簡諧激勵。

周期函數的激勵付氏級數即表示為簡諧函數之和的激勵。具體步驟：將任意周期激勵分解為各簡諧激勵（展開成付氏級數）；求單個簡諧激勵的響應；求各簡諧激勵響應的和，得到任意周期激勵的響應

運用線性系統的疊加原理求解。1.9周期激勵下的振動分析2023/2/2113假定粘性阻尼系統受到的周期激振力：T0

為周期傅立葉級數展開：記基頻：記：n

的偶函數n

的奇函數為任一時刻1.9周期激勵下的振動分析2023/2/2114運動微分方程：疊加原理，系統穩態響應：不計阻尼時：代表著平衡位置當作用于系統上所產生的靜變形周期激勵通過傅氏變換被表示成了一系列頻率為基頻整數倍的簡諧激勵的疊加，這種對系統響應的分析被成為諧波分析法

1.9周期激勵下的振動分析2023/2/2115例：質量－彈簧系統受到周期方波激勵求系統響應1.9周期激勵下的振動分析2023/2/2116解：激勵的周期：彈簧－質量系統固有頻率激勵力的基頻：因

a0

一周期內總面積為0=0區間內，關于為反對稱，而關于對稱=01.9周期激勵下的振動分析2023/2/2117區間內關于為對稱

而n取偶數時，關于反對稱

區間內關于為對稱

而n取偶數時，關于反對稱

因此1.9周期激勵下的振動分析2023/2/2118當n取奇數時于是，周期性激勵F(t)

可寫為：1.9周