2022年湖南省常德市普通高校對口單招高等數學一自考預測試題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.

()A.x2

B.2x2

C.xD.2x

3.設函數f(x)在[a，b]上連續，則曲線y=f(x)與直線x=a，x=b，y=0所圍成的平面圖形的面積等于（）。A.

B.

C.

D.

4.A.

B.

C.e-x

D.

5.

6.

7.微分方程y'+y=0的通解為()。A.y=ex

B.y=e-x

C.y=Cex

D.y=Ce-x

8.設f(x)在點x0處取得極值，則()

A.f"(x0)不存在或f"(x0)=0

B.f"(x0)必定不存在

C.f"(x0)必定存在且f"(x0)=0

D.f"(x0)必定存在，不一定為零

9.

10.曲線y=lnx-2在點(e，-1)的切線方程為()A.A.

B.

C.

D.

11.下列關系式中正確的有()。A.

B.

C.

D.

12.A.A.

B.

C.

D.

13.函數y=sinx在區間[0，π]上滿足羅爾定理的ξ等于()．A.A.0B.π/4C.π/2D.π

14.

15.

16.

17.A.A.3B.1C.1/3D.018.已知y=ksin2x的一個原函數為y=cos2x，則k等于()。A.2B.1C.-1D.-2

19.

20.

二、填空題(20題)21.若當x→0時，2x2與為等價無窮小，則a=______．

22.

23.

24.

25.

26.微分方程y'+4y=0的通解為_________。

27.28.

29.

30.31.32.設=3，則a=________。33.34.35.36.設y=，則y=________。

37.

38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.

42.證明：43.求曲線在點(1，3)處的切線方程．44.45.46.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．47.

48.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．49.

50.

51.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

52.求微分方程的通解．

53.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

54.

55.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．56.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

57.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．58.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則59.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．60.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．四、解答題(10題)61.

62.

63.

64.

65.

66.求∫xcosx2dx。

67.

68.

69.求y"-2y'=2x的通解．70.五、高等數學(0題)71.設

則∫f(x)dx等于()。

A.2x+c

B.1nx+c

C.

D.

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.D解析：

2.A

3.C

4.A

5.C

6.A

7.D可以將方程認作可分離變量方程；也可以將方程認作一階線性微分方程；還可以仿二階線性常系數齊次微分方程，并作為特例求解。解法1將方程認作可分離變量方程。分離變量

兩端分別積分

或y=Ce-x解法2將方程認作一階線性微分方程．由通解公式可得解法3認作二階常系數線性齊次微分方程特例求解：特征方程為r+1=0，特征根為r=-1，方程通解為y=Ce-x。

8.A若點x0為f(x)的極值點，可能為兩種情形之一：(1)若f(x)在點x0處可導，由極值的必要條件可知f"(x0)=0；(2)如f(x)=|x|在點x=0處取得極小值，但f(x)=|x|在點x=0處不可導，這表明在極值點處，函數可能不可導。故選A。

9.B

10.D

11.B本題考查的知識點為定積分的性質．

由于x，x2都為連續函數，因此與都存在。又由于0＜x＜1時，x＞x2，因此

可知應選B。

12.C

13.C本題考查的知識點為羅爾定理的條件與結論．

由于y=sinx在[0，π]上連續，在(0，π)內可導，且y|x=0=0=y|x=π，可知y=sinx在[0，π]上滿足羅爾定理，因此必定存在ξ∈(0，π)，使y'|x=ξ=cosx|x=ξ=cosξ=0，從而應有．

故知應選C．

14.A

15.A解析：

16.C

17.A

18.D本題考查的知識點為可變限積分求導。由原函數的定義可知(cos2x)'=ksin2x，而(cos2x)'=(-sin2x)·2，可知k=-2。

19.B

20.C21.6；本題考查的知識點為無窮小階的比較．

當于當x→0時，2x2與為等價無窮小，因此

可知a=6．

22.23.F(sinx)+C

24.

25.3x2siny3x2siny解析：

26.y=Ce-4x27.－24．

本題考查的知識點為連續函數在閉區間上的最大值．

若f(x)在(a，b)內可導，在[a，b]上連續，常可以利用導數判定f(x)在[a，b]上的最值：

28.

29.

30.發散

31.

32.

33.本題考查的知識點為定積分的換元法．

34.

35.

36.

37.

38.

本題考查的知識點為二重積分的計算．

39.

解析：

40.

41.

則

42.

43.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

44.

45.

46.

47.由一階線性微分方程通解公式有

48.函數的定義域為

注意

49.

50.

51.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

52.

53.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

54.

55.

列表：

說明

56.

57.58.由等價無窮小量的定義可知

59.

60.由二重積分物理意義知

61.

62.

6