2022年湖南省常德市普通高校對口單招高等數學一自考測試卷(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.函數y=x2-x+1在區間[-1，3]上滿足拉格朗日中值定理的ξ等于()．

A.-3/4B.0C.3/4D.1

2.

3.設f(x)在x=0處有二階連續導數

則x=0是f(x)的()。

A.間斷點B.極大值點C.極小值點D.拐點

4.A.A.

B.

C.

D.

5.（）A.A.sinx＋C

B.cosx＋C

C.-sinx＋C

D.-cosx＋C

6.設f(x)=x3+x，則等于()。A.0

B.8

C.

D.

7.設y=3+sinx，則y=()A.-cosxB.cosxC.1-cosxD.1+cosx

8.下列關系正確的是（）。A.

B.

C.

D.

9.微分方程y"+y'=0的通解為

A.y=Ce-x

B.y=e-x+C

C.y=C1e-x+C2

D.y=e-x

10.設函數y＝f(x)的導函數，滿足f(－1)＝0，當x<－1時，f(x)<0；當x>－1時，f(x)>0．則下列結論肯定正確的是（）．

A.x＝－1是駐點，但不是極值點B.x＝－1不是駐點C.x＝－1為極小值點D.x＝－1為極大值點

11.

12.A.A.

B.

C.

D.

13.

14.

15.設y＝sin(x-2)，則dy＝（）A.A.－cosxdx

B.cosxdX

C.－cos(x－2)dx

D.cos(x－2)dx

16.設函數f(x)在(0，1)內可導，f'(x)>0，則f(x)在(0，1)內（）A.A.單調減少B.單調增加C.為常量D.不為常量，也不單調

17.

18.若，則下列命題中正確的有()。A.

B.

C.

D.

19.

20.

二、填空題(20題)21.

22.23.

24.

25.

26.

27.

28.設y=cosx，則dy=_________。

29.

30.

31.

32.33.

34.

35.36.微分方程y"=y的通解為______．

37.38.39.

40.

三、計算題(20題)41.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

42.

43.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

44.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

45.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

46.

47.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．48.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．49.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．50.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則51.求微分方程的通解．52.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．53.54.55.

56.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

57.

58.59.證明：60.求曲線在點(1，3)處的切線方程．四、解答題(10題)61.

62.求曲線y=x2在(0，1)內的一條切線，使由該切線與x=0、x=1和y=x2所圍圖形的面積最小。

63.

64.計算

65.

66.

67.68.69.70.五、高等數學(0題)71.設生產某產品利潤L(x)=5000+x一0．0001x2百元[單位：件]，問生產多少件時利潤最大，最大利潤是多少?

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.D解析：本題考查的知識點為拉格朗日中值定理的條件與結論．

由于y=x2-x+1在[-1，3]上連續，在(-1，3)內可導，可知y在[-1，3]上滿足拉格朗日中值定理，又由于y'=2x-1，因此必定存在ξ∈(-1，3)，使

可知應選D．

2.A解析：

3.C則x=0是f(x)的極小值點。

4.B本題考查的知識點為偏導數運算．

由于z＝tan(xy)，因此

可知應選B．

5.A

6.A本題考查的知識點為定積分的對稱性質。由于所給定積分的積分區間為對稱區間，被積函數f(x)=x3+x為連續的奇函數。由定積分的對稱性質可知

可知應選A。

7.B

8.C本題考查的知識點為不定積分的性質。

9.C解析：y"+y'=0，特征方程為r2+r=0，特征根為r1=0，r2=-1；方程的通解為y=C1e-x+C1，可知選C。

10.C本題考查的知識點為極值的第－充分條件．

由f(－1)＝0，可知x＝－1為f(x)的駐點，當x<－1時f(x)<0；當x>－1時，

f(x)>1，由極值的第－充分條件可知x＝－1為f(x)的極小值點，故應選C．

11.A

12.C

13.D

14.C

15.D本題考查的知識點為微分運算．

可知應選D．

16.B由于f'(x)>0，可知f(x)在(0，1)內單調增加．因此選B．

17.C

18.B本題考查的知識點為級數收斂性的定義。

19.B

20.B解析：

21.6x222.1/6

23.本題考查了一元函數的一階導數的知識點。

24.

25.2yex+x

26.22解析：

27.11解析：

28.-sinxdx

29.

30.y-2=3(x-1)(或寫為y=3x-1)y-2=3(x-1)(或寫為y=3x-1)解析：

31.32.2．

本題考查的知識點為二次積分的計算．

由相應的二重積分的幾何意義可知，所給二次積分的值等于長為1，寬為2的矩形的面積值，故為2．或由二次積分計算可知

33.

34.(e-1)2

35.In236.y'=C1e-x+C2ex

；本題考查的知識點為二階常系數線性齊次微分方程的求解．

將方程變形，化為y"-y=0，

特征方程為r2-1=0；

特征根為r1=-1，r2=1．

因此方程的通解為y=C1e-x+C2ex．

37.38.1．

本題考查的知識點為反常積分，應依反常積分定義求解．

39.

40.0

41.

42.

43.函數的定義域為

注意

44.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

45.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

46.

則

47.由二重積分物理意義知

48.

49.50.由等價無窮小量的定義可知

51.

52.

53.

54.

55.由一階線性微分方程通解公式有

56.

列表：

說明

57.

58.

59.

60.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

61.

62.63.本題考查的知識點為參數方程形式的函數的求導．

64.本題考查的知識點為計算廣義積分．

計算廣義積分應依廣義積分收斂性定義，將其轉化為定積分與極限兩種運算．即

65.解如圖所示，把積分區域D作為y一型區域，即

66.

67.

68.本題考查的知識點為求曲線的切線方程．切線方程為y+3=一3(x+1)，或寫為3x+y+6=0．求曲線y=f(x，y)的切線方程，通常要找出切點及函數在切點處的導數值．所給問題沒有給出切點，因此依已給條件找出切點是首要問題．得出切點、切線的斜率后，可依直線的點斜式方程求出切線方程．

69.70.解如圖所示，將積分區域D視作y-型區域，即

71.L(x)=5000+x一0．0001x2L"(x)=1—0．0002x=0：x=5000；L""