2022年湖南省婁底市普通高校對口單招高等數學一自考預測試題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.

3.

A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與a有關

4.A.A.0B.1/2C.1D.∞

5.

6.在空間直角坐標系中，方程x2-4(y-1)2=0表示()。A.兩個平面B.雙曲柱面C.橢圓柱面D.圓柱面

7.

8.A.A.3

B.5

C.1

D.

9.

10.設Y=x2-2x+a，貝0點x=1()。A.為y的極大值點B.為y的極小值點C.不為y的極值點D.是否為y的極值點與a有關

11.

12.級數(a為大于0的常數)()．A.A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與a有關

13.二元函數z=x3-y3+3x2+3y2-9x的極小值點為（）

A.(1，0)B.(1，2)C.(-3，0)D.(-3，2)

14.

15.平面的位置關系為()。A.垂直B.斜交C.平行D.重合

16.設y1(x)，y2(x)二階常系數線性微分方程y＋py＋qy=0的兩個線性無關的解，則它的通解為（）A.A.y1(x)＋c2y2(x)

B.c1y1(x)＋y2(x)

C.y1(x)＋y2(x)

D.c1y1(x)＋c2y2(x)注．c1，C2為任意常數．

17.A.2x

B.3+2x

C.3

D.x2

18.

19.A.0B.1C.2D.4

20.設f'(x)=1+x，則f(x)等于()．A.A.1

B.X+X2+C

C.x++C

D.2x+x2+C

二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.函數f(x)=x3-12x的極小值點x=_______.

25.

26.

27.曲線y=x3-6x的拐點坐標為______．

28.

29.

30.設y=f(x)在點x0處可導，且在點x0處取得極小值，則曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為________。

31.

32.當x=1時，f(x)=x3+3px+q取到極值(其中q為任意常數），則p=______.

33.

34.

35.

36.若=-2，則a=________。

37.二元函數z=x2+y2+1的極小值為_______．

38.廣義積分．

39.二元函數z=x2+3xy+y2+2x，則=______．

40.

三、計算題(20題)41.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

42.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

43.

44.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

45.

46.

47.

48.求微分方程的通解．

49.

50.證明：

51.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

52.

53.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

54.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

55.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

56.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

57.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

58.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

59.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

60.

四、解答題(10題)61.求y"+2y'+y=2ex的通解．

62.

63.

64.

65.證明：當時，sinx+tanx≥2x．

66.

67.

68.

69.計算

70.所圍成的平面區域。

五、高等數學(0題)71.已知同上題若產品以每件500元出售，問：要使利潤最大，應生產多少件?

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.C

2.A

3.A

本題考查的知識點為級數絕對收斂與條件收斂的概念．

4.A

5.A

6.A

7.A解析：

8.A本題考查的知識點為判定極值的必要條件．

故應選A．

9.C

10.B本題考查的知識點為一元函數的極值。求解的一般步驟為：先求出函數的一階導數，令偏導數等于零，確定函數的駐點．再依極值的充分條件來判定所求駐點是否為極值點。由于y=x2-2x+a，可由y'=2x-2=0，解得y有唯一駐點x=1．又由于y"=2，可得知y"|x=1=2＞0。由極值的充分條件可知x=1為y的極小值點，故應選B。如果利用配方法，可得y=(x-1)2+a-1≥a-1，且y|x=1=a-1，由極值的定義可知x=1為y的極小值點，因此選B。

11.D解析：

12.A本題考查的知識點為級數絕對收斂與條件收斂的概念．

注意為p=2的p級數，因此為收斂級數，由比較判別法可知收斂，故絕對收斂，應選A．

13.A對于點(-3，0)，A=-18+6=-12，B=0，C=6，B2-AC=72＞0，故此點為非極值點.對于點(-3，2)，A=-12，B=0，C=-12+6=-6，B2-AC=-72＜0，故此點為極大值點.對于點(1，0)，A=12，B=0，C=6，B2-AC=-72＜0，故此點為極小值點.對于點(1，2)，A=12=0，C=-6，B2-AC=72＞0，故此點為非極值點.

14.B

15.A本題考查的知識點為兩平面的關系。兩平面的關系可由兩平面的法向量，n1，n2間的關系確定。若n1⊥n2，則兩平面必定垂直．若時，兩平面平行；

當時，兩平面重合。若n1與n2既不垂直，也不平行，則兩平面斜交。由于n1=(1，-2，3)，n2=(2，1，0)，n1·n2=0，可知n1⊥n2，因此π1⊥π2，應選A。

16.D

17.A由導數的基本公式及四則運算法則，有故選A．

18.B

19.A本題考查了二重積分的知識點。

20.C本題考查的知識點為不定積分的性質．

可知應選C．

21.

22.eab

23.(-∞2)

24.22本題考查了函數的極值的知識點。f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),當x=2或x=-2時,f'(x)=0,當x＜-2時,f'(x)＞0；當-2＜x＜2時,f'(x)＜0;當x＞2時,f’(x)＞0,因此x=2是極小值點，

25.F(sinx)+C

26.

27.(0，0)本題考查的知識點為求曲線的拐點．

依求曲線拐點的一般步驟，只需

(1)先求出y"．

(2)令y"=0得出x1，…，xk．

(3)判定在點x1，x2，…，xk兩側，y"的符號是否異號．若在xk的兩側y"異號，則點(xk，f(xk)為曲線y=f(x)的拐點．

y=x3-6x，

y'=3x2-6，y"=6x．

令y"=0，得到x=0．當x=0時，y=0．

當x＜0時，y"＜0；當x＞0時，y"＞0．因此點(0，0)為曲線y=x3-6x的拐點．

本題出現較多的錯誤為：填x=0．這個錯誤產生的原因是對曲線拐點的概念不清楚．拐點的定義是：連續曲線y=f(x)上的凸與凹的分界點稱之為曲線的拐點．其一般形式為(x0，f(x0))，這是應該引起注意的，也就是當判定y"在x0的兩側異號之后，再求出f(x0)，則拐點為(x0，f(x0))．

注意極值點與拐點的不同之處!

28.

29.1/2

30.y=f(x0)y=f(x)在點x0處可導，且y=f(x)有極小值f(x0)，這意味著x0為f(x)的極小值點。由極值的必要條件可知，必有f"(x0)=0，因此曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為y-f(x0)=f(x0)(x-x0)=0，即y=f(x0)為所求切線方程。

31.

32.-1f'(x）=3x2+3p，f'(1)=3十3p=0,所以p=-1.

33.-2/π本題考查了對由參數方程確定的函數求導的知識點.

34.0．

本題考查的知識點為冪級數的收斂半徑．

所給冪級數為不缺項情形

因此收斂半徑為0．

35.

36.因為=a，所以a=-2。

37.1；本題考查的知識點為二元函數的極值．

可知點(0，0)為z的極小值點，極小值為1．

38.1本題考查的知識點為廣義積分，應依廣義積分定義求解．

39.2x+3y+2本題考查的知識點為二元函數的偏導數運算．

則

40.

41.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

42.由二重積分物理意義知

43.

44.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

45.

則

46.

47.

48.

49.

50.

51.由等價無窮小量的定義可知

52.

53.函數的定義域為

注意

54.

列表：

說明

55.

56.

57.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

58.

59.

60.由一階線性微分方程通解公式有

61.相應微分方程的齊次微分方程為y"+2y'+y=0．其特征方程為r2+2r+1=0；特征根為r=-1(二重實根)；齊次方程的通解為Y=(C1+C2x)e-x

相應微分方程的齊次微分方程為y"+2y'+y=0．其特征方程為r2+2r+1=0；特征根為r=-1(二重實根)；齊次方程的通解為Y=(C1+C2x)e-x，

62.本題考查的知識點為：描述函數幾何性態的綜合問題。

極小值點為x=一1，極小值為曲線的凹區間為(一2，+∞)；曲線的凸區間為(一∞，一2)；

63.本題考查的知識點為計算二重積分；選擇積分次序或利用極坐標計算．

積分區域D如圖2—1所示．

解法1利用極坐標系．

D可以表示為

解法2利用直角坐標系．

如果利用直角坐標計算，區域D的邊界曲線關于x，y地位等同，因此選擇哪種積分次序應考慮被積函數的特點．注意

可以看出，兩種積分次序下的二次積分都可以進行計算，但是若先對x積分，后對y積分，將簡便些．

本題中考生出現的較普遍的錯誤為，利用極坐標將二重積分化為二次積分：

右