2022年湖南省婁底市普通高校對口單招高等數學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

A.6xarctanx2

B.6xtanx2＋5

C.5

D.6xcos2x

2.當x→0時，3x是x的（）．

A.高階無窮小量B.等價無窮小量C.同階無窮小量，但不是等價無窮小量D.低階無窮小量

3.

4.設f(x)在Xo處不連續，則

A.f(x0)必存在

B.f(x0)必不存在

C.

D.

5.

6.()A.A.發散B.條件收斂C.絕對收斂D.斂散性不能確定

7.函數f(x)=2x3-9x2+12x-3單調減少的區間為A.(-∞，1]B.[1，2]C.[2，+∞)D.[1，+∞)

8.交換二次積分次序等于()．A.A.

B.

C.

D.

9.A.A.凹B.凸C.凹凸性不可確定D.單調減少

10.

11.

12.設f(x)在點x0處連續，則下面命題正確的是()A.A.

B.

C.

D.

13.

14.

15.A.A.＞0B.＜0C.=0D.不存在16.設曲線y=x-ex在點(0，-1)處與直線l相切，則直線l的斜率為()．A.A.∞B.1C.0D.-1

17.

18.A.dx+dyB.1/3·(dx+dy)C.2/3·(dx+dy)D.2(dx+dy)

19.當x→0時，x2是x-ln(1+x)的()．

A.較高階的無窮小B.等價無窮小C.同階但不等價無窮小D.較低階的無窮小20.設∫0xf(t)dt=xsinx，則f(x)=()A.sinx+xcosxB.sinx-xcosxC.xcosx-sinxD.-(sinx+xcosx)二、填空題(20題)21.

22.23.

24.

25.設f(x)=e5x，則f(x)的n階導數f(n)(x)=__________．

26.

27.設，將此積分化為極坐標系下的積分，此時I=______.

28.29.設區域D為y=x2，x=y2圍成的在第一象限內的區域，則=______．30.31.

32.33.

34.設sinx為f(x)的原函數，則f(x)=________。

35.

36.

37.38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

42.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．43.證明：44.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．45.求微分方程的通解．46.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．47.48.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．49.

50.51.求曲線在點(1，3)處的切線方程．52.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

53.

54.

55.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

56.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

57.58.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．59.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

60.

四、解答題(10題)61.設y=xcosx，求y'．62.63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.求∫sin(x+2)dx。

70.

五、高等數學(0題)71.∫f(x)dx=F(x)+則∫c-xf(e-x)dx=__________。

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.C

2.C本題考查的知識點為無窮小量階的比較．

應依定義考察

由此可知，當x→0時，3x是x的同階無窮小量，但不是等價無窮小量，故知應選C．

本題應明確的是：考察當x→x0時無窮小量β與無窮小量α的階的關系時，要判定極限

這里是以α為“基本量”，考生要特別注意此點，才能避免錯誤．

3.D解析：

4.B

5.C

6.C

7.Bf(x)=2x3-9x2+12x-3的定義域為(-∞，+∞)

f'(x)=6x2-18x+12=6(x23x+2)=6(x-1)(x-2)。

令f'(x)=0得駐點x1=1，x2=2。

當x＜1時，f'(x)＞0，f(x)單調增加。

當1＜x＜2時，f'(x)＜0，f(x)單調減少。

當x＞2時，f'(x)＞0，f(x)單調增加。因此知應選B。

8.B本題考查的知識點為交換二次積分次序．

由所給二次積分可知積分區域D可以表示為

1≤y≤2，y≤x≤2，

交換積分次序后，D可以表示為

1≤x≤2，1≤y≤x，

故應選B．

9.A本題考查的知識點為利用二階導數符號判定曲線的凹凸性．

10.B

11.C解析：

12.C本題考查的知識點有兩個：連續性與極限的關系；連續性與可導的關系．

連續性的定義包含三個要素：若f(x)在點x0處連續，則

(1)f(x)在點x0處必定有定義；

(2)必定存在；

(3)

由此可知所給命題C正確，A，B不正確．

注意連續性與可導的關系：可導必定連續；連續不一定可導，可知命題D不正確．故知，應選C．

本題常見的錯誤是選D．這是由于考生沒有正確理解可導與連續的關系．

若f(x)在點x0處可導，則f(x)在點x0處必定連續．

但是其逆命題不成立．

13.C

14.A

15.C被積函數sin5x為奇函數，積分區間[-1，1]為對稱區間。由定積分的對稱性質知選C。

16.C本題考查的知識點為導數的幾何意義．

由于y=x-ex，y'=1-ex，y'|x=0=0．由導數的幾何意義可知，曲線y=x-ex在點(0，-1)處切線斜率為0，因此選C．

17.A解析：

18.C本題考查了二元函數的全微分的知識點，

19.C解析：本題考查的知識點為無窮小階的比較．

由于

可知當x→0時，x2與x-ln(1+x)為同階但不等價無窮小．故應選C．

20.A

21.022.本題考查的知識點為不定積分的換元積分法。

23.

24.-ln(3-x)+C-ln(3-x)+C解析：

25.

26.0本題考查了利用極坐標求二重積分的知識點.

27.

28.e-2本題考查了函數的極限的知識點，29.1/3；本題考查的知識點為二重積分的計算．

30.

31.-1本題考查了利用導數定義求極限的知識點。

32.

33.1/z本題考查了二元函數的二階偏導數的知識點。

34.0因為sinx為f(x)的一個原函數，所以f(x)=(sinx)"=cosx，f"(x)=-sinx。

35.-sinx

36.37.本題考查的知識點為：求解可分離變量的微分方程．38.本題考查的知識點為用洛必達法則求未定型極限．

39.

40.

41.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

42.函數的定義域為

注意

43.

44.

列表：

說明

45.

46.

47.

48.

49.由一階線性微分方程通解公式有

50.

51.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

52.由等價無窮小量的定義可知

53.

54.

則

55.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．