§3.5長波近似在第二章中,晶體被看作連續介質,從經典力學的角度推出了晶格振動的彈性波方程。在§3.1中，從晶體中每個原子在其平衡位置附近做微振動的觀點（不再是連續介質）,推出晶格振動的聲學波和光學波。

本節討論：

q→0、λ→∞，即長聲學波和長光學波的情況，并和連續介質結果作比較。波長λ

>>a——原胞的線度晶格中的聲學波：相鄰原子都沿同一方向振動光學波：原胞中不同的原子相對地作振動一、長聲學波

在§3.1中，以一維雙原子鏈為例，當q很小時，即對于長波極限，得到聲學波色散關系為長聲學波的角頻率與波矢存在線性關系，而長聲學波的波速為長聲學波的波速為一常數，這些特性與晶體中的彈性波完成一致。β：恢復力常數，2a：晶格常數。1、長聲學波波動方程其解為將（4）式代入（3），可得

對于長聲學波，鄰近的若干原子以相同的振幅、相同的位相集體運動，對于一維復式格子，運動方程由下式表示即可得兩種不同原子的振幅比將A/B、B/A和ω先后代入（5）式得到將A/B、B/A和ω先后代入（5）式得到：對于l為有限整數的情況，由試解（4）式，可得l為奇數時；l為偶數時；由色散關系，可知當q→0時，ω→0，由振幅比（7）式，可得：因此當l為有限整數時，不論l為奇數或偶數，都有上式說明：

在長聲學波條件下，一維原子鏈不同原子的運動方程實際可視為一個方程，它們的一般表達式：

鄰近（在波長范圍內）的若干原子以相同振幅、相同位相集體運動。

歐拉公式

由色散關系，可知當q→0時，ω→0，由振幅比（7）式，可得：

從宏觀上看，原子的位置可視為準連續的，原子的分離坐標可視為連續坐標，所以有于是，原子的運動方程可寫為上式為標準的宏觀彈性波的波動方程，其中是用微觀參數表示的彈性波的波速。2、一維連續介質波動方程

設有一維連續介質，x點的位移為u(x)，(x+dx)點的位移為u(x+dx)，因此連續介質因位移而引起的形變（應變）為：設介質的彈性模量為c，則在x點因形變而產生的恢復力同時，在(x-dx)點，因形變將有恢復力考慮介質中x與(x-dx)間長度為dx的一段：設一維介質的線密度為ρ

，則長度為dx的一段介質質量為ρdx；而作用在長度為dx的介質上有兩個方向相反的恢復力F(x)及F(x-dx)，因此這段介質的運動方程為上式是標準的波動方程，其解為把上式代入波運動方程，得彈性波的相速度這里的c相當于楊氏模量.改用偏微商的符號，則有所以而第m+1個原子的位移而引起的對第m個原子產生的恢復力其中把上式應用于一維復式格子，應變是恢復力：將（18），（19）代入（15），得彈性波的相速度與一維復式格子的長聲學波相速度相比較：

彈性波和長聲學波速度完全相等，即長聲學波和彈性波完全一樣。所以對于長聲學波，晶格可以看作是連續介質。一維復式格子，質量線密度為所以

離子晶體的光學波描述原胞中正負離子的相對運動。在波長較長時，半個波長的范圍內包含很多原胞。在兩個波節之間，同種離子的位移方向相同，異種離子位移相反，而波節兩邊同種離子位移方向相反。

由于波長很大，使晶體呈現出宏觀上的極化現象

。二、長光學波

模型：設每個原胞中只有兩個電荷量相等、符號相反的離子。注意：只有當電磁波與光學波的頻率、波長相同時才會發生強烈的耦合作用，所以在離子晶體中能與電磁波發生強烈耦合作用的只能是長光學波。離子晶體中光學支的頻率大約為1013s-1的數量級，而在此頻段的電磁波處于紅外波段，波長大約為10－6m數量級，因此要求光學支格波也要有同樣的波長。此波長要比離子晶體的晶格常數大得多，是長光學波。原子間距離大約ω=1013/s,λ

=104nm1、離子晶體的宏觀極化方程

由于正負離子相對運動，電荷不再均勻分布，出現了以波長為周期的正負電荷集中的區域。正離子向左E離子晶體的宏觀極化產生一個宏觀極化電場E，作用在某離子上的電場稱為有效電場Eeff,

有效電場等于宏觀電場減去該離子本身產生的電場。對立方晶系,洛倫茲提出了求解有效電場的一個方法：其中P為宏觀極化強度。

離子晶體的極化由兩部分貢獻構成：正離子向左E

對橫波，退極化場平行薄層面，由于薄層的厚度為λ/2，它與晶體的線度相比小得多，如圖所示。因其退極化場E＝0。與縱光學波相比，橫光學波的離子所受的恢復力，由于沒有附加的靜電場恢復力而較小。因此，可以斷言橫光學波的圓頻率小于縱光學波的圓頻率。

離子晶體的極化由兩部分貢獻構成：正離子向左E

離子位移極化：是正負離子的相對位移產生的電偶極矩，這種極化稱為離子位移極化，用e*u表示；u為正負離子的相對位移，e*為離子的有效電荷。

電子位移極化：是離子本身的電子云在有效電場作用下發生畸變，即離子本身也成了電偶極子，這部分的極化為電子位移極化，宏觀極化強度P由下式表示：α－代表正負離子極化率之和。n0是單位體積中的原胞數。單位體積中的原胞數建立離子晶體原胞中兩離子的相對運動方程。設u+表示質量為M的正離子的位移；

u-表示質量為m的負離子的位移。與一維雙原子晶格類似，可分別寫出正、負離子的運動力學方程。2、長光學波的宏觀運動方程

與一維雙原子晶格所不同之處：由于退極化場的存在，離子還受到一個靜電恢復力。因此有（3）式和（4）式分別乘以m/(M+m)和M/(M+m)，然后相減得引入相對位移u=u+-u-和拆合質量Mm/(M+m)，則上式可寫成為了表述方便，通常引入一個單位體積中相對位移參量其中ρ為質量密度，Ω為原胞體積。這樣極化強度和運動方程（5）就分別化為其中這組方程稱為黃昆方程，是黃昆1951年求得的。b系數稱為動力系數。（a）代表振動方程，第一項為準彈性恢復力，第二項表示電場附加了恢復力。（b）方程代表極化方程，第一項表示離子位移引起的極化，第二項表示電場附加了極化。

從方程可以看出，格波與宏觀極化電場相互耦合在一起。這種耦合波到底具有哪些特性呢？3、LST關系（長光學橫波頻率與縱波頻率的關系）在分析有帶電粒子的晶體振動時，必須考慮它們之間的電磁相互作用。則可以把格波的縱向位移和橫向位移分開，即位移W與波矢q相垂直的部分構成橫波WT，位移W與波矢q平行的部分構成縱波WL

：黃昆方程具有平面波形式的解橫波WT是等容波，它不引起晶體體積的壓縮或膨脹，其散度為零；縱波WL是無旋波，其旋度為零；晶體內無自由電荷，電位移矢量D無散。假設晶體中的電場只是由庫侖作用的，橫光頻模不產生退極化場(忽略橫向極化伴隨的有旋場)。因此有以下關系：將靜電方程與黃昆方程聯合求解：

將黃昆公式（b）極化強度P和（8）式代入（9）式（c）中得上式成立的一個條件是：上式表明：縱波電場趨向于減小縱向位移，從而增加了縱向振動的恢復力，因此，提高了光學波的縱向頻率。

把（8）式和（10）式代入黃昆公式（a）對橫光學波，若不考慮渦旋電場，即在靜電近似下，對橫電場有橫向光學支格波在晶體中并不引起宏觀的極化電場可得將（11）式的有旋場和無旋場分開，得到

上兩式都是簡諧振動方程，其中（a）代表橫向振動方程，（b）代表縱向振動方程。由（a）式，可得橫波振動頻率由（b）式，可得到縱波振動頻率為了把黃昆系數和晶體的介電系數聯系起來，考慮兩種極端的情況：

對于靜電場，

這表示正、負離子僅僅產生靜態相對位移Ｗ，并不振動。此時，黃昆方程（a）式變成：將上式代入黃昆方程（b）式，得到將上式與靜電學極化公式比較可得其中是離子晶體的相對靜電介電常數。

對于光頻振動時的介電極化，由于離子的運動跟不上迅速變化的外力，其位移W＝0，由黃昆方程（b）式，得到由（15）、（16）式得到將（16）、（17）式代入（13）式(頻率公式)，得到高頻介電常數（1）一般說來，靜態介電常數包括離子位移極化與電子位移極化兩部分的貢獻，但在高頻的變化電場中，離子的位移跟不上迅速變化的電場，所以總有上式稱為LST關系，它表示光學波的縱波頻率與橫波頻率之間存在非常簡單的關系。

由此可得以下結論：因此縱光學波頻率ωL總是大于橫光學波的頻率ωT。這是由于長光學縱波伴隨有一個宏觀電場，增加了恢復力，從而提高了縱波的頻率。（2）對于非離子晶體，如金剛石。晶格振動不產生位移極化由（13）式可知（3）某些晶體在某一溫度下即產生所謂的自發極化。

把趨于零的的振動模式為鐵電軟模，因為這一現象是在研究鐵電材料時發現的。

因為原子具有一定質量，其振動頻率不可能變得無窮大，由LTS關系

表明此振動模對應的恢復力消失，位移離子回不到原來的平衡位置而達到一