第二章控制系統的數學描述引言（數學模型的概念和意義）輸入輸出描述法

數學模型的分類，傳遞函數，典型環節，

系統的相似性，線性化結構圖（方塊圖）及其等效變換反饋控制系統的傳遞函數

閉環傳遞函數，特征多項式與特征方程12.1引言數學模型的定義:描述系統輸入、輸出變量以及內部各變量之間關系的數學表達式建模方法：機理分析法、實驗法（系統辨識）類型：動態模型、靜態模型動態模型：微分方程、差分方程、狀態方程等系統u(t)y(t)白箱法黑箱法灰箱法+2為何要建立數學模型？例1：椅子問題椅子在不平的地面上是否一定可以放穩？2個簡單的靜態模型例子：3設地面光滑，椅子腿為A、B、C、D，腿長相等;椅子轉動的角度為θ,并定義f(θ)：腿A、C與地面距離之和g(θ)：腿B、D與地面距離之和θADCBADCB∵起碼三腿著地，∴必有f(θ)=0或g(θ)=0令h(θ)=f(θ)-g(θ)椅子轉動的數學模型，輸入θ，輸出h，問題：是否有h(θ)=0？設f(0)=0，g(0)≠0，則當θ=0時，h(0)＜0;4結論：即使地面不平，只要地面的曲面是連續變化的，則一定能通過轉動椅子將其放穩。5例2：帆船推力問題航向和風向已知，如何調整風帆角度以獲得最大推力？6作用在帆上的力為帆船的數學模型，輸入β，輸出F2，問題：β=？時F2最大結論：帆與船的夾角=風向與船的夾角的一半時推力最大作用在船上的推力為對F2求導可得αβ風力FF1F2帆思考：風向與航程一定時，如何以最短時間走完全程？7為何要建立控制系統的數學模型？控制裝置受控對象檢測環節給定信號擾動－反饋信號控制量誤差被控量根據受控對象的模型和性能要求，設計控制器或控制裝置；分析反饋控制系統的性能，進行仿真、實驗、調整、校正、綜合等。8動態模型例:R-L-C串聯網絡的數學模型問題：求輸入u(t)與輸出uc(t)之間的關系。9線性連續時間單變量系統數學模型的一般形式:系統u(t)y(t)實際系統不可能出現m>n的情況，或者講系統在物理上不可實現102.2輸入輸出描述法數學模型的分類:111.傳遞函數的定義在零初始條件下，線性定常系統輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比,

G(s)=Y(s)/U(s)。對于n階線性定常系統，設初始條件為零，經拉氏變換后注意系統u(t)y(t)G(s)U(s)Y(s)結構圖12∴n階線性定常系統的輸入輸出傳遞函數為根軌跡增益系統增益zi、pi分別為傳遞函數的零點和極點（zi≠pi）零極點表達形式時間常數表達形式13G(s)U(s)Y(s)傳遞函數G(s)的拉氏反變換是系統的單位脈沖響應；2.關于傳遞函數的幾點說明是復變量s的真有理分式；只取決于系統或元件的結構和參數，

與輸入量無關；與微分方程可相互轉換；只適用于線性定常系統反映系統零初始狀態下的響應；無零極點相消時傳遞函數是系統的一種完全描述。14例:R-L-C串聯網絡的傳遞函數輸入u(t)，輸出uc(t)，求傳遞函數?由輸入輸出微分方程G(s)U(s)UC(s)153.系統的相似性及非線性系統的線性化例1：RC電路uoui

RC輸入輸出傳遞函數為G(s)Ui(s)Uo(s)16例2：小車速度與推力的關系設小車速度為v(t)，推力為F，屬于非線性方程，忽略風阻則為線性方程非線性方程的線性化：mFfv17輸入輸出傳遞函數為G(s)mFfv18例3：水箱系統H設水箱橫截面積為A，則有屬于非線性方程非線性方程的線性化：19H輸入輸出傳遞函數為G(s)Qi(s)H(s)20結論同一形式的數學描述可以代表不同的實際系統，這些系統具有相同的輸入輸出特性；對于不同的實際系統，只要其數學描述相同，則分析和設計的思路、方法及過程也基本一致。注：上述例子采用的是機理建模方法，但很多實際系統是無法進行機理建模的，而必須借助于“系統辨識”，即通過采集輸入輸出的實驗或運行數據，用一個最接近這些數據的數學方程來代表系統的模型，系統辨識可以離線或在線進行。212.2.3典型環節的傳遞函數σjω0×××××××××s復平面上

零極點的分布典型環節的零極點主要分布在虛軸及其以左

的復平面上22動態方程：y(t)=Ku(t)傳遞函數：G(s)=K1、比例（放大）環節比例系數Ku(t)y(t)KU(s)Y(s)G(s)uouiR1++－R0RbF1F2杠桿系統例：其他如齒輪系統、電位器、純電阻電路等。23比例（P）控制作用誤差幅度越大，控制量越大，是最基本的控制方式；即時是恒值控制系統，調節過程結束、系統達到穩態后仍有誤差（穩態誤差≠0）。比例控制受控對象檢測環節給定信號擾動－反饋信號控制量誤差被控量242、慣性環節

慣性環節u(t)y(t)G(s)U(s)Y(s)很多實際系統都可近似看作慣性環節，如RC電路、爐溫系統、水箱系統、汽車的加減速過程等。K=1時的單位階躍響應曲線T1T2T=2T1=T20.6321.0t0y(t)斜率1/TT=T1特點：T越大，響應速度越慢。253、積分環節積分環節u(t)y(t)G(s)U(s)Y(s)例：特點：只要輸入不為零，輸出就會變化，輸入為零后，輸出不再變化；常用來消除跟蹤誤差。水箱系統hquouiC++－R0Rb26比例+積分（PI）控制作用比例控制的作用同前，是最基本的控制方式；對于恒值控制系統，積分控制可使誤差最終為零，即穩態誤差=0。積分控制受控對象檢測環節給定信號擾動－反饋信號控制量誤差被控量比例控制274、微分環節①理想微分②一階微分③二階微分環節uouiR++－CRb特點：反映輸入的變化率，有超前作用，常用來改善動態性能注：微分對信號的高頻噪聲很敏感，實際使用時通常加慣性環節28比例+積分+微分（PID）控制作用

Proportional-Integrel-DerivativeControl

比例控制提供最基本的控制作用；積分控制用來消除穩態誤差；微分控制反應誤差變化率，具有“超前”或“預測”作用，可抑制被控量的變化。積分控制受控對象檢測環節給定信號擾動－反饋信號控制量誤差被控量比例控制微分控制295、振蕩環節ζ稱為阻尼比，

ζ<1時傳遞函數有一對共軛復數極點，響應為衰減振蕩型。ζ：決定振蕩幅度

T：決定響應快慢uiuoRLCRLC串聯電路單位階躍響應0tK例：（復阻抗法）繼續仿真圖30MATLAB仿真結構圖31振蕩環節的單位階躍響應（K=1,T=1）ytimeζ=0.1ζ=0.4ζ=0.6ζ=132振蕩環節的單位階躍響應（K=1,ζ=0.6）ytimeT=0.5T=1T=2返回336、純滯后環節u(t)y(t)τt滯后環節u(t)y(t)例：溫控開關期望溫度測溫元件冷水熱水電加熱器水箱水溫控制系統電功率與溫度檢測此外如計算機控制、測控衛星、網絡控制、過程控制等。滯后時間越大，控制難度越大軋輥厚度檢測鋼板軋制過程燃氣熱水器進氣與水溫冷水熱水進氣34練習：

B2.9（2），（3）；

B2.12；

B2.14(c)35實驗1：典型環節的電模擬（3學時）聯系：李亞力老師電氣信息學院專業實驗樓40385466288→8216，1333096180236例：RC電路的結構圖Uo(s)相加點或綜合點引出點2.3.1結構圖（方塊圖）及其等效變換uiuoCiRUi(s)I(s)Uo(s)37i1R1U1R2C1C2uouii2例：兩級RC網絡的結構圖

Uo---UiU1I1I2注意：兩級RC≠2個單級RC的串聯，∵有“負載效應”38串聯連接并聯連接結構圖的等效變換G1(s)+G2(s)G1(s)G2(s)G1(s)·G2(s)G1(s)G2(s)39反饋連接（重要，很常用）前向通道傳遞函數開環傳遞函數G

(s)H

(s)40綜合點前移后移引出點后移前移相鄰引出點的移動交換或合并相加點相鄰引出點之間或綜合點之間可任意交換或合并41注意例：化簡下面結構圖引出點和綜合點之間不能交換!G1G2G3G4Y(s)G6-G5G7-R(s)-A42A點后移G1G2G3G4Y(s)G6-G5G7-R(s)-A1/G4G1G2G3G4Y(s)G6-G5G7-R(s)-A43Y(s)G1G2G3G41+G3G4G5G6/G4-G7-R(s)Y(s)G1G2G3G41+G3G4G51+G6G3G4G2G4(1+G3G4G5)-G7Y(s)R(s)反饋公式反饋公式反饋公式Y(s)G1G2G3G4G6/G4-G5-G7-R(s)44課堂練習：通過結構圖化簡求兩級RC網絡的輸入輸出傳遞函數，并與單級RC網絡進行比較。45解：46比較：單級RC網絡的傳遞函數為練習：B2.15(a),(c)472.3.4反饋控制系統的傳遞函數R(s)：參考輸入Y(s)：輸出信號B(s)：反饋信號E(s)：跟蹤誤差G(s)=G1(s)G2(s)：前向通道傳遞函數閉環傳遞函數:Y(s)/R(s),Y(s)/D(s)，E(s)/R(s)等H(s)：反饋支路的傳遞函數G(s)H(s)：開環傳遞函數G1(s)G2(s)H(s)D(s)Y(s)R(s)-E(s)B(s)術語介紹：D(s)：擾動輸入48輸入信號作用下的閉環傳遞函數：2.3.4反饋控制系統的傳遞函數運用反饋公式分母為1+開環傳遞函數G1(s)G2(s)H(s)D(s)Y(s)R(s)-49擾動作用下的閉環傳遞函數：G1(s)G2(s)H(s)D(s)Y(s)R(s)-分母同樣為

1+開環傳函50閉環系統的誤差傳遞函數：分母同樣為

1+開環傳函G1(s)G2(s)H(s)D(s)Y(s)R(s)-E(s)51G1(s)G2(s)H(s)D(s)Y(s)R(s)-F(s)復合控制系統的