2022-2023學年內蒙古自治區烏蘭察布市普通高校對口單招高等數學一自考預測試題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(40題)1.

2.A.e-2

B.e-1

C.e

D.e2

3.微分方程y＋y＝0的通解為（）．A.A.

B.

C.

D.

4.A.-3-xln3

B.-3-x/ln3

C.3-x/ln3

D.3-xln3

5.設x=1為y=x3-ax的極小值點，則a等于()．

A.3

B.

C.1

D.1/3

6.

7.

8.

A.

B.

C.

D.

9.級數(k為非零正常數)()．A.A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與k有關

10.A.A.2B.1C.1/2D.0

11.

12.設f(x)為連續函數，則(∫f5x)dx)'等于()A.A.

B.5f(x)

C.f(5x)

D.5f(5x)

13.

A.6xarctanx2

B.6xtanx2＋5

C.5

D.6xcos2x

14.函數z=x2-xy+y2+9x-6y+20有

A.極大值f(4,1)=63B.極大值f(0,0)=20C.極大值f(-4,1)=-1D.極小值f(-4,1)=-115.A.A.

B.

C.

D.

16.f(x)在[a，b]上連續是f(x)在[a，b]上有界的()條件。A.充分B.必要C.充要D.非充分也非必要

17.

18.=（）。A.

B.

C.

D.

19.

20.

21.

22.

23.函數y=sinx在區間[0，π]上滿足羅爾定理的ξ等于（）。A.0

B.

C.

D.π

24.設函數f(x)在區間(0，1)內可導f(x)>0，則在(0，1)內f(x)（）．

A.單調增加B.單調減少C.為常量D.既非單調，也非常量

25.

26.

27.設y=sinx，則y'|x=0等于()．A.1B.0C.-1D.-2

28.

29.

30.

31.設y=2x3，則dy=()．

A.2x2dx

B.6x2dx

C.3x2dx

D.x2dx

32.

A.f(x)－f(a)B.f(a)－f(x)C.f(x)D.f(a)

33.

34.交變應力的變化特點可用循環特征r來表示，其公式為()。

A.

B.

C.

D.

35.

A.必定收斂B.必定發散C.收斂性與α有關D.上述三個結論都不正確

36.

37.

38.

39.

40.A.2B.1C.1/2D.-1二、填空題(50題)41.

42.43.44.已知當x→0時，-1與x2是等價無窮小，則a=________。45.46.

47.

48.

49.

50.微分方程y'-2y=3的通解為__________。

51.微分方程y'=0的通解為__________。

52.

53.

54.

55.56.57.二元函數z=xy2+arcsiny2，則=______．

58.

59.

60.

61.設f(x)=sin(lnx)，求f(x)=__________．

62.

63.

64.

65.

66.67.過點Mo(1，-1，0)且與平面x-y+3z=1平行的平面方程為_______.68.69.70.71.72.

73.

74.

75.76.

77.

78.冪級數的收斂區間為______．79.設x2為f（x)的一個原函數，則f（x)=_____

80.

81.設函數f(x)=x-1/x，則f'(x)=________.

82.

83.

84.

85.設Ф(x)=∫0xln(1+t)dt，則Ф"(x)=________。

86.

87.

88.

89.90.三、計算題(20題)91.求微分方程的通解．92.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．93.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．94.

95.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

96.97.

98.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．99.證明：100.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

101.

102.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

103.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．104.105.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

106.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

107.

108.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．109.110.求曲線在點(1，3)處的切線方程．四、解答題(10題)111.

112.

113.114.115.求微分方程的通解．116.117.設函數f(x)=x3-3x2-9x，求f(x)的極大值。

118.

119.

120.

五、高等數學(0題)121.求六、解答題(0題)122.求垂直于直線2x-6y+1=0且與曲線y=x3+3x2-5相切的直線方程．

參考答案

1.D

2.D由重要極限公式及極限運算性質，可知故選D．

3.D本題考查的知識點為－階微分方程的求解．

可以將方程認作可分離變量方程；也可以將方程認作－階線性微分方程；還可以仿二階線性常系數齊次微分方程，并作為特例求解．

解法1將方程認作可分離變量方程．

解法2將方程認作－階線性微分方程．由通解公式可得

解法3認作二階常系數線性齊次微分方程特例求解：

特征方程為r＋1＝0，

特征根為r＝－1，

4.A由復合函數鏈式法則可知，因此選A．

5.A解析：本題考查的知識點為判定極值的必要條件．

由于y=x3-ax，y'=3x2-a，令y'=0，可得

由于x=1為y的極小值點，因此y'|x=1=0，從而知

故應選A．

6.A解析：

7.B

8.C

9.A本題考查的知識點為無窮級數的收斂性．

由于收斂，可知所給級數絕對收斂．

10.D

11.D

12.C本題考查的知識點為不定積分的性質．

(∫f5x)dx)'為將f(5x)先對x積分，后對x求導．若設g(x)=f(5x)，則(∫f5x)dx)'=(∫g(x)dx)'表示先將g(x)對x積分，后對x求導，因此(∫f(5x)dx)'=(∫g(x)dx)'=g(x)=f(5x)．

可知應選C．

13.C

14.D本題考查了函數的極值的知識點。

15.C本題考查的知識點為微分運算．

因此選C．

16.A定理：閉區間上的連續函數必有界；反之不一定。

17.D

18.D

19.C

20.B

21.C解析：

22.C解析：

23.C本題考查的知識點為羅爾定理的條件與結論。

24.A本題考查的知識點為利用導數符號判定函數的單調性．

由于f(x)在(0，1)內有f(x)>0，可知f(x)在(0，1)內單調增加，故應選A．

25.D

26.A

27.A由于

可知應選A．

28.C

29.C解析：

30.C

31.B由微分基本公式及四則運算法則可求得．也可以利用dy=y′dx求得故選B．

32.C

本題考查的知識點為可變限積分求導．

33.A解析：

34.A

35.D本題考查的知識點為正項級數的比較判別法．

36.A

37.B

38.D解析：

39.C

40.A本題考查了函數的導數的知識點。

41.2

42.43.44.當x→0時，-1與x2等價，應滿足所以當a=2時是等價的。

45.46.1/6

本題考查的知識點為計算二重積分．

47.[-11)

48.

49.

50.y=Ce2x-3/2

51.y=C52.1

53.yf''(xy)+f'(x+y)+yf''(x+y)

54.55.2xsinx2；本題考查的知識點為可變上限積分的求導．

56.

57.y2

；本題考查的知識點為二元函數的偏導數．

只需將y，arcsiny2認作為常數，則

58.1

59.1/e1/e解析：

60.

解析：

61.

62.6x26x2

解析：

63.

64.

65.

66.67.由于已知平面的法線向量，所求平面與已知平面平行，可取所求平面法線向量，又平面過點Mo(1，-1，0)，由平面的點法式方程可知，所求平面為

68.31/16;2本題考查了函數的最大、最小值的知識點.

f'(x)=3ax2-12ax,f'(x)=0,則x=0或x=4,而x=4不在[-1,2]中,故舍去.f''(x)=6ax-12a,f''(0)=-12a,因為a＞0,所以f"(0)＜0,所以x=0是極值點.又因f(-1)=-a-6a+b=b-7a,f(0)=b,f(2)=8a-24a+b=b-16a,因為a＞0,故當x=0時,f(x)最大,即b=2;當x=2時，f(x)最小.所以b-16a=-29,即16a=2+29=31,故a=31/16.69.170.0

71.

72.

73.-ln2

74.y=f(0)75.1．

本題考查的知識點為反常積分，應依反常積分定義求解．

76.e-1/2

77.y=2x+178.(-2，2)；本題考查的知識點為冪級數的收斂區間．

由于所給級數為不缺項情形，

可知收斂半徑，收斂區間為(-2，2)．79.由原函數的概念可知

80.

81.1+1/x2

82.

83.

84.1/2485.用變上限積分公式(∫0xf(t)dt)"=f(x)，則Ф"(x)=ln(1+x)，Ф"(x)=。

86.0

87.

解析：

88.連續但不可導連續但不可導89.

本題考查的知識點為二階線性常系數齊次微分方程的求解．

二階線性常系數齊次微分方程求解的－般步驟為：先寫出特征方程，求出特征根，再寫出方程的通解．

90.

91.

92.

列表：

說明

93.由二重積分物理意義知

94.

則

95.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

96.97.由一階線性微分方程通解公式有

98.

99.

100.

101.

102.

103.函數的定義域為

注意

104.

105.由等價無窮小量的定義可知

106.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

107.

108.

109.

110.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

111.

112.解

113.

114.115.所給方程為一階線性微分方程

其通解為

本題考杏的知識點為求解一階線性微分方程．

116.

117.

118.

119.

120.

121.

122.由于直線2x-6y+1=0的斜率k=1/3，