主要內容電磁感應定律，自感與互感，能量與力。6-1電磁感應定律6-2電感6-3磁場能量6-4磁場力6-5恒定磁場的應用第06章電磁感應

本章作業：6-2、6-66-1電磁感應定律式中電動勢e的正方向規定為與磁通方向構成右旋關系。因此，當磁通增加時，感應電動勢的實際方向與磁通方向構成左旋關系；反之，當磁通減少時，電動勢的實際方向與磁通方向構成右旋關系。

電磁感應是指當穿過閉合回路所限定面的磁通發生變化時產生電動勢的現象。這樣產生的電動勢稱為感應電動勢。若回路為閉合導體回路，該電動勢將產生感應電流，這種現象由法拉第發現并通過大量實驗歸納為法拉第電磁感應定律：當穿過閉合導體回路所限定面的磁通發生變化時，在該導體回路中就產生感應電動勢和感應電流。感應電動勢的大小正比于磁通的時間變化率，其實際方向由楞次定律決定。楞次定律指出：感應電動勢的實際方向是企圖產生一電流，它所產生的磁通試圖抵制原來磁通的變化。感應電流產生的感應磁通方向總是阻礙原有磁通的變化，所以感應磁通又稱為反磁通。又知，得上式稱為電磁感應定律，它表明穿過線圈中的磁場變化時，導線中產生感應電場。它表明，時變磁場可以產生時變電場。

eI根據斯托克斯定理，由上式得感應電流產生意味著導線中存在電場，這種電場稱為感應電場，以

表示。感應電場強度沿線圈回路的閉合線積分等于線圈中的感應電動勢，即由于該式對于任一回路面積S均成立，因此，其被積函數一定為零，即此式為電磁感應定律的微分形式。它表明某點磁感應強度的時間變化率負值等于該點時變電場強度的旋度。

電磁感應定律是時變電磁場的基本定律之一，也是下一章將要介紹的描述時變電磁場著名的麥克斯韋方程組中方程之一。值得注意的是：感應電場不僅出現于導體內而且出現于導體周圍的空間。感應電場強度是磁場隨時間變化的結果，并不是有了導體回路才發生的

6-2電感

在線性媒質中，單個閉合回路電流產生的磁感應強度與回路電流I成正比，因此穿過回路的磁通也與回路電流

I成正比。式中L

稱為回路的電感，單位為H（亨利）。由該定義可見，電感又可理解為與單位電流交鏈的磁通鏈。單個回路的電感僅與回路的形狀及尺寸有關，與回路中電流無關。與回路電流I交鏈的磁通稱為回路電流I的磁通鏈，以

表示，令與I

的比值為L，即應注意，磁通鏈與磁通不同，磁通鏈是指與某電流交鏈的磁通。若交鏈N次，則磁通鏈增加N倍；若部分交鏈，則必須給予適當的折扣。因此，與N匝回路電流I交鏈的磁通鏈為=N。那么，由N

匝回路組成的線圈的電感為與回路電流I1交鏈的磁通鏈是由兩部分磁通形成的，其一是I1本身產生的磁通形成的磁通鏈11，另一是電流I2在回路l1中產生的磁通形成的磁通鏈12。dl10zyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r1那么，與電流l1交鏈的磁通鏈1為同理，與回路電流I2交鏈的磁通鏈為在線性媒質中，比值，，及均為常數。令兩個回路間的互感與電感式中L11稱為回路l1的自感，M12稱為回路l2對l1的互感。同理定義式中L22稱為回路l2的自感，M21稱為回路l1對l2的互感。將上述參數L11，L22，M12及M21代入前式，得可以證明，在線性均勻媒質中

因為可以導出任意兩個回路之間的互感公式為

若dl1與dl2處處保持垂直，則互感。因此，在電子電路中，如果需要增強兩個線圈之間的耦合，應彼此平行放置；若要避免兩個線圈相互耦合，則應相互垂直。

互感可正可負，其值正負取決于兩個線圈的電流方向，但電感始終應為正值。若處處保持平行，則互感M值達到最大。若互磁通與原磁通方向相同時，則使磁通鏈增加，互感應為正值；反之，若互磁通與原磁通方向相反時，則使磁通鏈減少，互感為負值。例1計算右圖所示無限長直導線與矩形線圈之間的互感。設線圈與導線平行，周圍媒質為真空，如圖示。abdrrD0I1I2zS2考慮到，所以由上兩式可見，解:建立圓柱坐標系，令z

軸方向與電流I1一致，則I1產生的磁感應強度為與線圈電流I2

交鏈的磁通鏈21為若線框電流如圖所示的順時針方向，則dS

與B1方向相同。那么求得abdrrD0I1I2zS2若線圈電流為逆時針方向時，則B1與dS反向，M21為負。但在任何線性媒質中，M21=M12。例2計算圖示載有直流電流的同軸線單位長度內的電感。解：設同軸線內導體半徑為a，外導體的內半徑為b，外半徑為c。bcaO在同軸線中取出單位長度，沿長度方向形成一個矩形回路。內導體中電流歸并為矩形回路的內邊電流，外導體中電流歸并為外邊電流。

aIObcrcbaOdrIIe同軸線單位長度的電感定義為

式中I為同軸線中的電流，是單位長度內與電流

I交鏈的磁通鏈。該磁通鏈由三部分磁通形成：外導體中的磁通，內外導體之間的磁通以及內導體中的磁通。由于外導體通常很簿，穿過其內的磁通可以忽略。已知內外導體之間的磁感應強度

為該磁場形成的磁通稱為外磁通，以表示，則單位長度內的外磁通為該外磁通與電流I

完全交鏈，故外磁通與磁通鏈相等。又知內導體中的磁感應強度Bi

為這部分磁場形成的磁通稱為內磁通，以表示。那么穿過寬度為dr的單位長度截面的內磁通d為由此求得內導體中的磁場對總電流I提供的磁通鏈i為aIObcrcbaOdrIIe該部分磁通僅與內導體中自內導體軸線位置0至r之間部分電流交鏈，不是與總電流I

交鏈。因此，對于總電流I來說，這部分磁通折合成與總電流I形成的磁通鏈應為那么，與總電流I

交鏈的總磁通鏈為（o+i）。因此，同軸線的單位長度內電感為式中第一項稱為外電感，第二項稱為內電感。當同軸線傳輸電磁波時，內外導體均可看作理想導體，因此若同軸線傳輸電磁波時，內外導體中的磁通皆可忽略，同軸線單位長度內的電感等于外電感，即6-3磁場的能量若在回路中加入外源，回路中產生電流。在電流建立過程中，回路中產生的反磁通企圖阻礙電流增長，為了克服反磁通產生反電動勢，外源必須作功。

磁場能夠推動載流導體運動而做功，表明磁場具有能量。該能量儲存于整個磁場空間。

由此可見，磁場具有能量。若電流變化非常緩慢，可以不計輻射損失，則外源輸出的能量全部儲藏在回路電流周圍的磁場中。根據外源在建立磁場過程中作的功即可計算磁場能量。設單個回路的電流從零開始逐漸緩慢地增加到最終值I，因而回路磁通也由零值逐漸緩慢地增加到最終值。已知反電動勢為為了克服這個反電動勢，外源必須在回路中產生的電壓

U=-e

，即若時刻t

回路中的電流為i(t)，則此時刻回路中的瞬時功率為在dt時間內外源作的功為

已知單個回路的磁通鏈與回路電流的關系為那么，在線性媒質中，由于回路電感L與電流i無關，求得dt時間內外源作的功為當回路電流增至最終值I時，外源作的總功

W

為單個回路電流的磁通鏈即是穿過回路的磁通，因此這個總功在回路中建立的電流為I，在其周圍建立磁場。因電流增長很慢，輻射損失可以忽略，外源作的功完全轉變為周圍磁場的能量。若以Wm表示磁場能量，那么此式又可改寫為由此可見，若已知回路電流及其磁場能量，可利用上式計算電感。考慮到，則單個回路電流周圍的磁場能量又可表示為式中為與電流I

交鏈的磁通鏈。對N個回路，可令各個回路電流均以同一比例同時由零值緩慢地增加到最終值。根據能量守恒原理，最終的總能量與建立過程無關，因此這樣的假定是允許的。已知各回路磁通鏈與各個回路電流之間的關系是線性的，第j

個回路的磁通鏈j為設第j個回路在某一時刻t

的電流，式中Ij為電流最終值，

為比例系數，其范圍為。那么，在dt

時間內，外源在

N

個回路中作的功為當各個回路電流均達到最終值時，外源作的總功

W為那么，具有最終值電流的N

個回路產生的磁場能量為即若已知各個回路的電流及磁通鏈，由上式即可計算這些回路共同產生的磁場能量。

那么，N個回路周圍的磁場能量又可矢量磁位表示為若電流分布在體積

V

中，電流密度為

，已知，則上式變為體積分，此時磁場能量可以表示為式中

為周圍回路電流在第j個回路所在處產生的合成矢量磁位。因為回路磁通可用矢量磁位

表示為，因此第j個回路的磁通鏈也可用矢量磁位

表示為若電流分布在表面

S上，則產生的磁場能量為式中S

為面分布的電流密度所在的面積。磁場能量的分布密度已知，代入上式，得利用矢量恒等式，上式又可寫為式中V

為電流所在的區域。顯然，若將積分區域擴大到無限遠處，上式仍然成立。令S為半徑無限大的球面，則由高斯定理知，上式第一項的式中V

為體分布的電流密度

所占據的體積。當電流分布在有限區域時，磁場強度與距離平方成反比，矢量磁位與距離一次方成反比，因此無限遠處的面積分

再考慮到，求得式中V

為磁場所占據的整個空間?？梢姡鲜街械谋环e函數即是磁場能量的分布密度。若以小寫字母wm

表示磁場能量密度，則已知各向同性的線性媒質，，因此磁場能量密度又可表示為可見，磁場能量與磁場強度平方成正比，磁場能量也不符合疊加原理。上節例2同軸線內導體內電感的計算：同軸線內導體半徑r處的磁場強度為單位長度同軸線內導體的磁場的總能量為于是，單位長度同軸線內導體的內電感為例

計算同軸線中單位長度內的磁場能量。設同軸線中通過的恒定電流為I

，內導體的半徑為a，外導體的厚度可以忽略，其半徑為b，內外導體之間為真空。解已知同軸線單位長度內的電感為因此，單位長度內同軸線中磁場能量為我們也可以通過磁場密度計算同軸線的磁場能量。已知內導體中的磁場強度為

因此內導體中單位長度內的磁場能量為又知內外導體之間的磁場強度Ho為所以內外導體之間單位長度內的磁場能量為單位長度內同軸線的磁場能量應為，此結果與前式完全相同。已知，可見，通過磁場能量也可計算電感。作業：6-2、6-66-4磁場力dl1Ozyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r1已知式中磁感應強度B1為因此，B1對于整個回路l2的作用力F21為那么，由回路電流I1產生的磁場B1對于電流元I2dl的作用力dF21為同理，回路電流I2產生的磁場B2對于整個回路l1的作用力F12為一、由安培力定律來求磁場力上述兩式稱為安培定律。根據牛頓定律得知，應該。這個結論也可直接由上式獲得證明。如果回路形狀復雜，上述積分計算是很困難的，甚至無法求得嚴格的解析表達式。為了計算磁場力，類似計算電場力一樣，也可采用虛位移方法，利用能量關系可以獲得計算磁場力的簡便方式。二、虛位移法求磁場力下面直接利用前述廣義力和廣義坐標的概念，導出計算磁場力的一般公式。

設在電流I1產生的磁場廣義力F的作用下，使得回路l2的某一廣義坐標變化的增量為dl，同時磁場能量的增量為dWm。兩個回路中的外源作的總功dW應該等于磁場廣義力作的功與磁場能量的增量之和，即下面分為兩種情況：

第一，若電流I1和I2不變，這種情況稱為常電流系統，則磁場能量的增量為兩個回路中外源作的功分別為

由此可見，兩個回路中的外源作的總功dW為求得常電流系統中的廣義力F

為即第二，若各回路中的磁通鏈不變，即磁通未變，這種情況稱為常磁通系統