第八章8.1成對數據的統計相關性學習目標1.會畫出成對樣本數據的散點圖.2.會通過散點圖判斷成對樣本數據的相關性.3.結合實例，了解樣本相關系數的統計含義，了解樣本相關系數與“標準化”處理后的成對數據兩分量向量夾角的關系.4.結合實例，會通過相關系數比較多組成對數據的相關性.

核心素養：數據分析、數學運算、邏輯推理、數學抽象.新知學習

我們知道，一個人的體重與他的身高有關系.一般而言，個子高的人往往體重值較大，個子矮的人往往體重值較小.但身高并不是決定體重的唯一因素，例如生活中的飲食習慣、體育鍛煉、睡眠時間以及遺傳因素等也是影響體重的重要因素.像這樣，兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系.

探究：在對人體的脂肪含量和年齡之間關系的研究中，科研人員獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機樣本數據，如表8.1-1所示.表中每個編號下的年齡和脂肪含量數據都是對同一個體的觀測結果，它們構成了成對數據.

表8.1-1

根據以上數據，你能判斷人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關系嗎？編號1234567年齡/歲23273941454950脂肪含量/%9.517.821.225.927.526.328.2

編號891011121314年齡/歲53545657586061脂肪含量/%29.630.231.430.833.535.234.6為了更加直觀地描述上述成對樣本數據中脂肪含量與年齡之間的關系，類似于用直方圖描述單個變量樣本數據的分布特征，我們用圖形展示成對樣本數據的變化特征.用橫軸表示年齡，縱軸表示脂肪含量，則表中每個編號下的成對樣本數據都可用直角坐標系中的點表示出來，由這些點組成了如圖8.1-1所示的統計圖.我們把這樣的統計圖叫做散點圖.觀察上圖，可以發現，這些散點大致落在一條從左下角到右上角的直線附近，表明隨年齡值的增加，相應的脂肪含量值呈現增高的趨勢.這樣，由成對樣本數據的分布規律，我們可以推斷脂肪含量變量和年齡變量之間存在著相關關系.圖8.1-1如果從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現增加的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關；如果當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值呈現減少的趨勢，則稱這兩個變量負相關.脂肪含量與年齡這兩個變量正相關.思考：（1）兩個變量負相關時，成對樣本數據的散點圖有什么特點？

（2）你能舉出生活中兩個變量正相關或負相關的一些例子嗎？圖8.1-1散點圖是描述成對數據之間關系的一種直觀方法.觀察散點圖8.1-1，從中我們不僅可以大致看出脂肪含量和年齡呈現正相關性，而且從整體上可以看出散點落在某條直線附近.一般地，如果兩個變量的取值呈現正相關或負相關，而且散點落在一條直線附近，我們就稱這兩個變量線性相關.圖8.1-1觀察散點圖8.1-2，我們發現：圖（1）中的散點落在某條曲線附近，而不是落在一條直線附近，說明這兩個變量具有相關性，但不是線性相關；類似地，圖（2）中的散點落在一條折線附近，這兩個變量也具有相關性，但它們既不是正相關，也不是負相關；圖（3）中的散點雜亂無章，無規律可言，看不出兩個變量有什么相關性.

一般地，如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，那么我們就稱這兩個變量非線性相關或曲線相關.

圖8.1-2

利用上述方法處理表8.1-1中的數據，得到圖8.1-3.我們發現，這時的散點大多數分布在第一象限、第三象限，大多數散點的橫、縱坐標同號.顯然，這樣的規律是由人體脂肪含量與年齡正相關所決定的.圖8.1-3一般地，如果變量x和y正相關，那么關于均值平移后的大多數散點將分布在第一象限、第三象限，對應的成對數據同號的居多，如圖8.1-4（1）所示；如果變量x和y負相關，那么關于均值平移后的大多數散點將分布在第二象限、第四象限，對應的成對數據異號的居多，如圖8.1-4（2）所示.

圖8.1-4（1）

（2）思考：根據上述分析，你能利用正相關變量和負相關變量的成對樣本數據平移后呈現的規律，構造一個度量成對樣本數據是正相關還是負相關的數字特征嗎？

變形形式

圖8.1-5

典例剖析

例1

根據表8.1-1中脂肪含量和年齡的樣本數據，推斷兩個變量是否線性相關，計算樣本

相關系數，并推斷它們的相關程度.編號1234567年齡/歲23273941454950脂肪含量/%9.517.821.225.927.526.328.2

編號891011121314年齡/歲53545657586061脂肪含量/%29.630.231.430.833.535.234.6表8.1-1解：先畫出散點圖，如圖8.1-1所示.觀察散點圖，可以看出樣本點都集中在一條直線附近，由此推斷脂肪含量和年齡線性相關.根據樣本相關系數的定義，圖8.1-1

例3在某校高一年級中隨機抽取25名男生，測得他們的身高、體重、臂展等數據，如表8.1-3所示.編號身高/cm體重/kg臂展/cm

編號身高/cm體重/kg臂展/cm1234567891011121317317917517918217318017016917717717817455715262826355815454596756169170172177174166174169166176170174170141516171819202122232425

166176176175169184169182171177173173

666149604886585458615851

161166165173162189164170164173165169

體重與身高、臂展與身高分別具有怎樣的相關性？解：根據樣本數據分別畫出體重與身高、臂展與身高的散點圖，分別如圖8.1-7（1）和（2）所示，兩個散點圖都呈現出線性相關的特征.圖8.1-7（1）