專題五立體幾何第2講空間中的平行與垂直主干知識梳理熱點分類突破真題與押題1.以選擇、填空題的形式考查，主要利用平面的基本性質及線線、線面和面面的判定與性質定理對命題的真假進行判斷，屬基礎題.2.以解答題的形式考查，主要是對線線、線面與面面平行和垂直關系交匯綜合命題，且多以棱柱、棱錐、棱臺或其簡單組合體為載體進行考查，難度中等．考情解讀3主干知識梳理1.線面平行與垂直的判定定理、性質定理線面平行的判定定理線面平行的性質定理線面垂直的判定定理線面垂直的性質定理2.面面平行與垂直的判定定理、性質定理面面垂直的判定定理面面垂直的性質定理面面平行的判定定理面面平行的性質定理提醒使用有關平行、垂直的判定定理時，要注意其具備的條件，缺一不可.3.平行關系及垂直關系的轉化熱點一空間線面位置關系的判定熱點二平行、垂直關系的證明熱點三圖形的折疊問題熱點分類突破例1

(1)設a，b表示直線，α，β，γ表示不同的平面，則下列命題中正確的是(

)A.若a⊥α且a⊥b，則b∥αB.若γ⊥α且γ⊥β，則α∥βC.若a∥α且a∥β，則α∥βD.若γ∥α且γ∥β，則α∥β熱點一空間線面位置關系的判定思維啟迪判斷空間線面關系的基本思路：利用定理或結論；借助實物模型作出肯定或否定.解析A：應該是是b∥α或b?α；B：如果是是墻角出出發的三三個面就就不符合合題意；；C：α∩β＝m，若a∥m時，滿足足a∥α，a∥β，但是是α∥β不正確確，所所以選選D.答案D(2)平面α∥平面β的一個個充分分條件件是()A.存在一一條直直線a，a∥α，a∥βB.存在一一條直直線a，a?α，a∥βC.存在兩兩條平平行直直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD.存在兩兩條異異面直直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α解析若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，則a∥α，a∥β，故排排除A.若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，故排排除B.若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，故排除C.故選D.答案D解決空間點、線、面位置關系的組合判斷題，主要是根據平面的基本性質、空間位置關系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關系的判定定理和性質定理進行判斷，必要時可以利用正方體、長方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時要注意平面幾何中的結論不能完全引用到立體幾何中.思維升華變式訓練1對于平面α，β，γ和直線a，b，m，n，下列命題題中真命題題是()A.若a⊥m，a⊥n，m?α，n?α，則a⊥αB.若α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，則a∥bC.若a∥b，b?α，則a∥αD.若a?β，b?β，a∥α，b∥α，則β∥α解析A中：由線面面垂直的判判定定理知知，還需m與n相交才能得得a⊥α，故A錯.C中：由線面面平行的判判定定理，，還需知a?α，故C錯.D中：由面面面平行的判判定定理知知，還需a與b相交才能得得β∥α，故D錯.所以選B.答案B例2如圖，在在四棱錐錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點，，求證：：(1)PA⊥底面ABCD；熱點二平平行、、垂直關關系的證證明(1)PA⊥底面ABCD；思維啟迪迪利用平面面PAD⊥底面ABCD的性質，，得線面面垂直；；證明因為平面面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于這這兩個平平面的交交線AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)BE∥平面PAD；思維啟迪迪BE∥AD易證；證明因為AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點，，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四邊邊形ABED為平行四四邊形.所以BE∥AD.又因為BE?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)平面BEF⊥平面PCD.思維啟迪迪EF是△CPD的中位線線.證明因為AB⊥AD，而且ABED為平行四四邊形.所以BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥底面ABCD.所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因為E和F分別是CD和PC的中點，，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.所以CD⊥平面BEF.又CD?平面PCD，所以平面面BEF⊥平面PCD.垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型.(1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直.(4)證明面面垂直，需轉化為證明線面垂直，進而轉化為證明線線垂直.思維升華變式訓練練2如圖所示示，已知知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形形，AD＝DE＝2AB，F為CD的中點.求證：(1)AF∥平面BCE；證明如圖，取CE的中點G，連接FG，BG.∵F為CD的中點，∴GF∥DE且GF＝

DE.∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB.又AB＝

DE，∴GF＝AB.∴四邊形GFAB為平行四邊形形，則AF∥BG.∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2)平面BCE⊥平面CDE.證明∵△ACD為等邊三角形形，F為CD的中點，∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF.又CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.例3如圖(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖(2).熱點三圖圖形的折折疊問題(1)求證：DE∥平面A1CB；思維啟迪折疊問題要注注意在折疊過過程中，哪些些量變化了，，哪些量沒有有變化.第(1)問證明明線面面平行行，可可以證證明DE∥BC；證明因為D，E分別為為AC，AB的中點點，所以DE∥BC.又因為為DE?平面A1CB，BC?平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)求證：：A1F⊥BE；思維啟啟迪第(2)問證明明線線線垂直直轉化化為證證明線線面垂垂直，，即證證明A1F⊥平面BCDE；證明由題圖圖(1)得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F?平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因為為A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE，又BE?平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)線段A1B上是否否存在在點Q，使A1C⊥平面DEQ？請說說明理理由.思維啟啟迪第(3)問取A1B的中點點Q，再證證明A1C⊥平面DEQ.解線段A1B上存在在點Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如如下：：如圖，分別取A1C，A1B的中點P，Q，則PQ∥BC.又因為為DE∥BC，所以以DE∥PQ.所以平平面DEQ即為平平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因為為P是等腰腰三角角形DA1C底邊A1C的中點點，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.從而A1C⊥平面DEQ.故線段段A1B上存在在點Q，使得得A1C⊥平面DEQ.(1)解決與折疊有關的問題的關鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量.一般情況下，折線同一側線段的長度是不變量，而位置關系往往會發生變化，抓住不變量是解決問題的突破口.(2)在解決問題時，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形.思維升華變式訓訓練3如圖(1)，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝2AD＝4，E，F分別是AB，CD上的點，EF∥BC，AE＝x.沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如圖(2)所示)，G是BC的中點.(1)當x＝2時，求求證：：BD⊥EG；證明作DH⊥EF，垂足為H，連接BH，GH，因為為平平面面AEFD⊥平面面EBCF，交交線為為EF，DH?平面面AEFD，所以以DH⊥平面面EBCF，又又EG?平面面EBCF，故EG⊥DH.因為EH＝AD＝

BC＝BG＝2，BE＝2，EF∥BC，∠EBC＝90°，所以以四四邊邊形形BGHE為正正方方形形，，故故EG⊥BH.又BH，DH?平面面DBH，且且BH∩DH＝H，故EG⊥平面面DBH.又BD?平面面DBH，故故EG⊥BD.(2)當x變化化時時，，求求三三棱棱錐錐D－BCF的體體積積f(x)的函函數數式式.解因為為AE⊥EF，平平面面AEFD⊥平面面EBCF，交交線線為為EF，AE?平面面AEFD，所以以AE⊥平面面EBCF.由(1)知，，DH⊥平面面EBCF，故故AE∥DH，所以以四四邊邊形形AEHD是矩矩形形，，DH＝AE，故以以B，F，C，D為頂頂點點的的三三棱棱錐錐D－BCF的高高DH＝AE＝x.1.證明明線線線線平平行行的的常常用用方方法法(1)利用平行行公理，，即證明明兩直線線同時和和第三條條直線平平行；(2)利用平行行四邊形形進行轉轉換；(3)利用三角角形中位位線定理理證明；；(4)利用線面面平行、、面面平平行的性性質定理理證明.本講規律律總結2.證明線面面平行的的常用方方法(1)利用線面面平行的的判定定定理，把把證明線線面平行行轉化為為證線線線平行；；(2)利用面面面平行的的性質定定理，把把證明線線面平行行轉化為為證面面面平行.3.證明面面面平行的的方法證明面面面平行，，依據判判定定理理，只要要找到一一個面內內兩條相相交直線線與另一一個平面面平行即即可，從從而將證證面面平平行轉化化為證線線面平行行，再轉轉化為證證線線平平行.4.證明線線線垂直的的常用方方法(1)利用特殊殊平面圖圖形的性性質，如如利用直直角三角角形、矩矩形、菱菱形、等等腰三角角形等得得到線線線垂直；；(2)利用勾股股定理逆逆定理；；(3)利用線面面垂直的的性質，，即要證證線線垂垂直，只只需證明明一線垂垂直于另另一線所所在平面面即可.5.證明線面面垂直的的常用方方法(1)利用線面面垂直的的判定定定理，把把線面垂垂直的判判定轉化化為證明明線線垂垂直；(2)利用面面面垂直的的性質定定理，把把證明線線面垂直直轉化為為證面面面垂直；；(3)利用常見見結論，，如兩條條平行線線中的一一條垂直直于一個個平面，，則另一一條也垂垂直于這這個平面面.6.證明面面面垂直的的方法證明面面面垂直常常用面面面垂直的的判定定定理，即即證明一一個面過過另一個個面的一一條垂線線，將證證明面面面垂直轉轉化為證證明線面面垂直，，一般先先從現有有直線中中尋找，，若圖中中不存在在這樣的的直線，，則借助助中點、、高線或或添加輔輔助線解解決.真題感悟悟押題精練練真題與押押題12真題感悟悟1.(2014·遼寧)已知m，n表示兩條條不同直直線，α表示平面面.下列說法法正確的的是()A.若m∥α，n∥α，則m∥nB.若m⊥α，n?α，則m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，則n∥αD.若m∥α，m⊥n，則n⊥α12真題感悟解析方法一若若m∥α，n∥α，則m，n可能平行、、相交或異異面，A錯；若m⊥α，n?α，則m⊥n，因為直線線與平面垂垂直時，它它垂直于平平面內任一一直線，B正確；若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，C錯；若m∥α，m⊥n，則n與α可能相交，，可能平行行，也可能能n?α，D錯.12真題感悟方法二如如圖，在正正方體ABCD－A′B′C′D′中，用平面面ABCD表示α.A項中，若m為A′B′，n為B′C′，滿足m∥α，n∥α，但m與n是相交直線線，故A錯.B項中，m⊥α，n?α，∴m⊥n，這是線面面垂直的性性質，故B正確.12真題感悟C項中，若m為AA′，n為AB，滿足m⊥α，m⊥n，但n?α，故C錯.D項中，若m為A′B′，n為B′C′，滿足m∥α，m⊥n，但n∥α，故D錯.答案B真題感悟212.(2014·遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互互相垂直，，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分別為AC，DC，AD的中點.真題感悟21(1)求證：EF⊥平面BCG；證明由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC.又G為AD的中點，所所以CG⊥AD.同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BGC.又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.真題感悟21(2)求三棱錐D－BCG的體積.附：錐體的體積公式V＝

Sh，其中S為底面面積，h為高.解在平面ABC內，作AO⊥BC，交CB的延長線于于O.由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC.又G為AD中點，因此此G到平面BDC的距離h是AO長度的一半半.真題感悟21押題精練121.如圖，AB為圓O的直徑，點點C在圓周上(異于點A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面面，點M為線段PB的中點.有以下四個個命題：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面