第四章三角函數同角三角函數的關系與誘導公式第講2考點搜索●同角三角函數的三個基本關系式●誘導公式●“1”在化簡、求值、證明中的妙用●已知tanα的值，求sinα和cosα構成的齊次式(或能化為齊次式)的值●三角恒等式的證明高考猜想以同角三角函數的基本關系式與誘導公式作為工具對三角函數進行恒等變換.

一、同角三角函數間的基本關系式1.平方關系：

;1+tan2α=sec2α，1+cot2α=csc2α;2.商數關系：

，

3.倒數關系：

,cosαsecα=1,sinαcscα=1.

二、誘導公式sin2α+cos2α=1tanα·cotα=11.2kπ+α(k∈Z)，-α，π±α，2π-α的三角函數值等于α的

三角函數值，前面加上一個把α看成

角時原函數值的符號.

2.

±α，

±α的三角函數值等于α的

函數值，前面加上一個把α看成

角時原函數值的符號.記憶口訣為：奇變偶不變，符號看象限.(注：奇、偶指

的奇數倍或偶數倍.)

同名銳互余銳1已知△ABC中，則cosA=()先由知A為鈍角，則cosA<0,排除A和B；再由和sin2A+cos2A=1,求得故選D.DC3.已知tanθ=2，則sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=()sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ故選D.

考點1：運用同角三角函數關系求值1.(1)已知求tanα;(1)因sinα=＞0，所以α為第一或第二象限角.當α為第一象限角時，當α為第二象限角時，由(1)知，tanα=.(2)已知知sinαα=m(m≠0,m≠±±1),求tanαα.(2)因為為sinα=m(m≠0，m≠±±1)，所以以(當α在第第一一、、四四象象限限時時取取正正號號,當α在第第二二、、三三象象限限時時取取負負號號).所以以，，當當α為第第一一、、四四象象限限角角時時，，當α為第第二二、、三三象象限限角角時時，，【點評評】：同角角三三角角函函數數關關系系式式是是化化異異名名(函數數)為同同名名(函數數)的基基礎礎.主要要的的三三個個關關系系式式為為sin2x+cos2x=1，tanx·cotx=1.轉化時注注意符號號的取舍舍，如果果角的范范圍不能能確定，，則注意意分類討討論.已知tanα=m(m＜0)，求sinα的值.因為tanα=m＜0，所以α在第二、、四象限限.當α在第二象象限時,當α在第四象象限時，，2.設θ是第二、、三象限限的角，，求證：證明：因為θ是第二、、三象限限的角，，所以cosθ＜0.所以左邊邊題型2：運用同同角三角角函數關關系化簡簡、證明明=右邊，，所以結論論成立.【點評】：解決有關關三角函函數式的的化簡與與證明的的問題,關鍵是合合理選擇擇公式和和變形方方向,如異名化化同名、、整體代代換、切切化弦,等等.3.化簡下列列各式：：(1)(2)(1)原式=題型3:誘導公式式的應用用(2)原原式=【點評】：誘導公式式是化任任意角的的三角函函數為銳銳角三角角函數的的公式，，也是化化異角為為同角的的公式，，化簡時時特別注注意符號號的規定定.已知(1)化簡f(α)；(2)若求求f(α)的值；(3)若α=-1860°°，求f(α)的值.(1)(2)由及及得(3)4.已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π).求下列各各式的值值：(1)tanθ;(2)sinθ-cosθ;(3)sin3θ+cos3θ.題型4：sinα±cosα與方程思思想解法1：因為sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),所以(sinθ+cosθ)2==1+2sinθcosθ,所以sinθcosθ=-<0.由根與系數的的關系知，sinθ,cosθ是方程x2-x-=0的兩根,解方程得x1=,x2=-.因為sinθ>0,cosθ<0,所以sinθ=,cosθ=-.所以，(1)tanθ=-；(2)sinθ-cosθ=；(3)sin3θ+cos3θ=.解法2：(1)同解法1.因為sinθ>0,cosθ<0，所以sinθ-cosθ>0，所以sinθ-cosθ=.(3)sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)=【點評】：由sin2α+cos2α=1知,在式子sinα+cosα,sinα-cosα及sinαcosα中，知道其中中一個，便可可求得其余兩兩個式子的值值.求解中注意符符號的討論與與取舍.化簡解法1：原式=題型：“1”的妙用

參考題解法2：原式=2.已知求求下下列各式的值值:（1）;（2）sin2α+sinααcosα+2.由已知得(1)題型：切割化化弦與齊次式式的應用(2)1.已知角α的某一個三角角函數值，求求角α的其余三角函函數值時，要要注意公式的的合理選擇.一般思路是按按“倒、平、、倒、商、倒倒”的順序求求解，特別是是要注意開方方時的符號選選取.2.