1.3.2空間向量運算的坐標表示一、空間向量運算坐標表示向量運算向量表示坐標表示加法a＋b______________________減法a－b________________________數乘λa______________數量積a·b________________設向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)知識梳理(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3重要：(1)空間向量運算的坐標表示與平面向量的坐標表示完全一致.(2)設A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則

＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1).即一個空間向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.(3)運用公式可以簡化運算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(4)向量線性運算的結果仍是向量，用坐標表示；數量積的結果為數量.例1

(1)已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，則(2a＋3b)·(a－b)＝_____.解析

易得2a＋3b＝(4,4,5)，a－b＝(－3,2,0)，則(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.－4①求頂點B，C的坐標；解

設B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，所以點B的坐標為(6，－4,5).所以點C的坐標為(9，－6,10).解設P(x2，y2，z2)，反思

空間向量坐標運算的規律及注意點(1)由點的坐標求向量坐標：空間向量的坐標可由其兩個端點的坐標確定.(2)直接計算問題：首先將空間向量用坐標表示出來，然后代入公式計算.(3)由條件求向量或點的坐標：把向量坐標形式設出來，通過解方程(組)，求出其坐標.4∴a·b＝1＋0＋3＝4.二、空間向量平行、垂直的坐標表示及應用設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有平行關系：當b≠0時，a∥b?a＝λb?

，

，________(λ∈R)；垂直關系：a⊥b?a·b＝0?

.a1＝λb1a2＝λb2知識梳理a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0注意點：(1)要證明a⊥b，就是證明a·b＝0；要證明a∥b，就是證明a＝λb(b≠0).所以2a－b＝(3,2，－2)，所以2a－b＝－2c，所以(2a－b)∥c.②若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k.所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).又因為(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.解如圖所示，以點D為原點，由題意，可設點P的坐標為(a，a,1)，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，跟蹤訓練2

如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝

CE＝EF＝1.(1)求證：AF∥平面BDE；證明設AC與BD交于點G，連接EG.所以四邊形AGEF為平行四邊形，所以AF∥EG.因為EG?平面BDE，AF?平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)求證：CF⊥平面BDE.證明因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.如圖，以C為原點，建立空間直角坐標系Cxyz.即CF⊥BE，CF⊥DE.又BE∩DE＝E，且BE?平面BDE，DE?平面BDE，所以CF⊥平面BDE.三、夾角和距離的計算注意點：(1)空間兩點間的距離公式類似于平面中的兩點之間的距離公式，可以類比記憶.知識梳理例3

如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是AA1，CB1的中點.(1)求BM，BN的長.解以C為原點，以CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖.(2)求△BMN的面積.反思

利用空間向量的坐標運算的一般步驟(1)建系：根據題目中的幾何圖形建立恰當的空間直角坐標系.(2)求坐標：①求出相關點的坐標；②寫出向量的坐標.(3)論證、計算：結合公式進行論證、計算.(4)轉化：轉化為平行與垂直、夾角與距離問題.跟蹤訓練3

如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為D1D，BD的中點，G在棱CD上，且CG＝H為C1G的中點.(1)求證：EF⊥B1C；證明如圖，建立空間直角坐標系Dxyz，D為坐標原點，(2)求FH的長；(3)求EF與C1G所成角的余弦值.1.知識清單：(1)向量的坐標的運算.(2)向量的坐標表示的應用.2.方法歸納：類比、轉化.3.常見誤區：(1)由兩向量共線直接得到兩向量對應坐標的比相等.(2)求異面直線所成的角時易忽略范圍；討論向量夾角忽略向量共線的情況.小結課堂練習1.已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O為坐標原點，

則點B的坐標應為A.(－1,3，－3) B.(9,1,1)C.(1，－3,3) D.(－9，－1，－1)√2.已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝

且λ>0，則λ等于A.5 B.4 C.3 D.2√1234解析λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，3.已知向量a＝(1,1,0)，b＝