隨機變量前面討論了隨機變量的分布函數,從中知道隨機變量的分布數能完整地描述隨機變量的統計規律性.但在許多實際問題中,人們并不需要去全面察隨機變量的變化情而要知道它的某些數字特征即.例如在價地區糧食產量的水平通只要知道該地區糧食的平均產;又如,在價一批棉花的質量時,既要注意纖維的平均度又要注意纖維長度與平均長度之間的偏離程度,平長度較大,偏程度小則量就較.等實際上描隨機變量的平均值和偏離程度的某些數字特征在理論和實踐上都具有重要的意義,它能更直接、更簡潔更清晰和更實用地反映出隨機變量的本.本章將要討論的隨機變量的常用數字特征包:數期望、方差、相關系數、第一節隨變量的學期望內容要：一離型機量數期平均值是日常生活中最常用的一個數字特,它評判事物決等具有重要作.定義設是離散型隨機變量的概率分布為P{X}p,iii如果p絕收斂,則義的學期望又均值為()p.iiiii二連型機量數期定義設是連續型隨機變量,其度函數為(x)如

i

xf()dx絕對收斂,定的數學期望為E()

xf()三隨機量數數期設是隨機變量,()為實函數,則Yg()也是一隨機變量,理上,雖可通過的布求出(X的布,再定義求出(的學期望E[g()]但種求法般比較復雜.下不加證明地引入有關計算隨機變量函數的數學期望的定.定理設X是個隨機變量,(),(Y)存在則（1若為散型隨機變量其率分布為P{X}iii則Y的學期望為E))]iii1（2）若X連續型隨機變,概率密度為Y學期望為)E)]注:的性在于E必知道的,只道X的布即可.這給求隨機變量函數的數學期望來很大方;上理可推廣到二維以上情,即定理2是二維隨機向,Zg(X))存,（1）若為離散型隨機向,概率分布為P{Xy}i則Z的數望為g(x,y)p,ijijj1i1（2）若)為連續型隨機向量,率密度為Z的學期望為E)]四數期的質C,E)．常數，則);E

1

)E212立,則E)E)注E)E)定能推出X獨例如，在10中計算得EE

94

，31但P{X1，顯然48P{XP{X故X與Y不立這質可推廣到有限個隨變量之和的情例題選：離型機量數期例1講例1)甲乙人進行打所得數記為121,02831i試評定他們的成績的好.

,們的分布律分別為解

我們來計算的期,得E)022)11這意味著,果甲進行很多次的,那,分數的算術平均就接近而得4k0.814kk4k0.814kk分數的數學期望為0.30.10.5().很明顯乙成績遠不如甲的成績.例(講例2)某產品的每件表面上的疵點數服從參數

0.8的松分布,若定疵點數不超過個一等品價10元;疵數大于個不多為二等,價8元;疵點數超過個為廢求產品的廢品率;產品價值的平均.解設代表每件產品上的疵點,由意知

因為{4}P{X

k

0.8k!

e

所以產品的廢品率為

0.001411.(2)設代產品的價值,那Y概率分布為Y0P{P4}P{X4}所以產品價值的平均值為Y){X4}{10

ek!kk

k!

e9.61(元)例3按定某車站每天8:00~9:00和之都恰有輛客車到,但站的時刻是隨機,且者到站的時間相互獨其律為8:00~9:00站時間9:00~10:00到站時間概率

:108:30:109:301/63/62/6一旅客8:20到站求候車時間的數學期.解設客的候車時間為X(以分計)的布律為pi

103050316

7016

90166在上表中例如P{70}AB)AP(B

13其為件“第班車在6:10到”B為第二班車在到”.候車時間的數學期望3E(X636

27.22(分)連型機量數期x例4講義例已知隨機變量的分布函數)/4,x求().x412/101112/1011解

4,4隨機變量的分布密度為()F它故E)

)dx

1x48

X

例(講例4)某店對某種家用電器的銷售采用先使用后付款的記用壽命為(以年計)規定:設壽命

X

一臺付1500;X一臺付款2元;2,一臺付款2元;一臺付000.X服從指數分布,概密度為e/10x0fx0.試求該商店一臺電器收費的數學期望.解先出壽命落各個時間區間的概,即有{

0

110

dx

PX

1

110

dx

0.0861,P{2X

312

dx

0.0779,P{

3

110

dx

則Y的分布律為200030000.09520.08610.07790.7408得EY)即平均一臺收費2732.15元例6

設隨機變量~f(),E()

,且,f(x)0,求a與b的,并分布函數().

解

由題意知

f(x)

0

()

a2

EX

xf(x)dx

0

x

a7,312解方程組得b1/2.2/x/2x/2/x/2x/當0有F(x

1xxf(t)dt022所以x)

x(x2),0x例有2相互獨立工作的電子裝置,它的壽命概率密度為

(

服從統一指數分其f(

e,x0,

0.若將這電子裝置串聯聯接組成整,求機壽命(以小時計)N的數學期解

/x0X(分布函數為F(),0,xNX}的分布函數為min

(x)(x)],因而N的率密度為f

min

(x)Fmin

()

e

x于是N的學期望為E()

xf

min

(x)

0

2

x/

2

隨變函的學望例8(講義例設X,Y)的合概率分布:Y03X03/801/81/8求E(),(),().解要E(X)E(Y),需求出X和Y的邊緣分關X和Y的邊緣分布為3233/4P1/81/8則有E(X

334421333(Y)8823(X(38

18

/4.2022232x3x1/x432022232x3x1/x43例9(講義設隨機變量

X在

上從均勻分布求E(sin),(

2

)及[()]解

根據隨機變量函數數學期望的計算公有E)

xf()

0

x

1

2

sinxfx

sin(x)|0

2,(X)

xf(x)

x

1

3

E[X(X)]E

1dx012

例10設隨機變量X,Y)的率密度f()

xx0,

它.求數學期望E(Y),

1解

(Y)

yf(x,y)dydx11/x

32

1[lny]dxxx

3ln2

1xE

1

xy)1x

3.5例講例設際市場上對我國某種出口商品的每年需求量是隨機變量X(單位噸它從區間[4000]上均勻分布每售出一噸商可國家賺取外匯萬;若銷售不出,則噸商品需貯存費1萬,問組織多少貨才使國家收益最?解設織貨源噸,顯應要求20004000,國收單:萬元是的數Y(表式為(X

tX

XX

2000,x設的概率密度函數為f(則f(x0,

于Y的望為E(Y)

()f()dx

40002000

(2222222ii202020202222222ii20202020

12000

t1x)dx3tdx(t

2

14000t

6

考慮的值使(Y)達最大,易t

3500,因組織噸商品為好.例12設((

)均在，證明E[()]

2

(X

2

)E(X)]

2

證

因為[X()]

2

X

2

X)(X)]

2

,于是[(X)]{XX)E()]}()())E(X)]()E()]例13（二項分布的數學期望）若Xb,),求().解因(n,p),則X表n重努利試驗中的“成功次數.如第i成功若設X第i驗失敗

(i

1,2,

,)則X,12因為P{p,P{0}pEX)p,iiin所以E(XE()ii可見服參為n和p的項分布的隨機變量X的學期望是.數期的質例14講義8)一航送各車載有位旅客自機場開出,旅有10個站可以如到達一個車站沒有旅客下車就不停.以表示停車的次數,求(X(每位旅客在各個車站下車是等可能的,并各旅客是否下車互獨).解

i站沒有人下車引入隨機變量1,i站沒有人下車

i

易知.1210現在來求().按意任旅客不在第i站車的概率為因