高考試題中直觀想象的

考查趨勢分析及教學建議高考試題中直觀想象的考查趨勢分析及教學建議一、直觀想象核心素養的基本內涵及概念理解二、高中數學哪些內容隱含或滲透該素養三、高考如何考查直觀想象核心素養四、對今后教學的建議一、直觀想象核心素養的基本內涵及概念理解數學核心素養的含義直觀想象核心素養的基本內涵直觀想象核心素養概念的理解對直觀想象核心素養的反思數學核心素養的含義數學核心素養是具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的人的思維品質與關鍵能力，是數學課程目標的集中體現，它是數學學習的過程中逐步形成的.數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析.這些數學核心素養既有獨立性，又相互交融，形成一個有機整體.直觀想象核心素養的基本內涵高中數學課程標準修訂組的專家將直觀想象定義為：借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的思維過程。主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述分析數學問題；建立數與形的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。價值：直觀想象是發現和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎。主要表現為：(1)利用圖形描述數學問題，建立形與數的聯系;(2)利用圖形理解數學問題;(3)利用圖形探索和解決數學問題;(4)構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。目標：通過高中數學的學習，學生能提升數形結合的能力，發展幾何直觀和空間想象的能力；增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識，提升數形結合的能力；形成數學直觀感覺，在具體的情境中感悟事物的本質。直觀想象核心素養概念的理解直觀想象與數學抽象的關系：和抽象一樣，直觀想象是認識事物的基本方式.和抽象不同，直觀想象簡單、直接、付諸感官，容易掌握和使用.而且，直觀想象是進一步抽象的必要基礎，作為直觀與想象的重要結果，圖形是數學研究的基本對象之一，圖形表示則是數學研究的一個重要方法，在數學教學中，利用圖形可以更簡單、直接地刻畫和描述問題，探索和形成思路，尋找和發現結論，記憶和理解知識以及建立良好直覺，把握本質規律.因此《義務教育數學課程標準（2011年版）》將幾何直觀和空間觀念作為十大核心概念之二，而高中數學課程標準修訂組的專家也將直觀想象視為六大數學核心素養之一.直觀想象是數學抽象的基礎，數學抽象是直觀想象的升華，直觀想象與數學抽象一樣，都體現了數學的一般性。從直觀想象的4個表現，我們可以做這樣的解讀首先，從數學學科角度那就是直觀、想象的載體是“圖形”.數、形是數學研究和學習的基本對象，相對而言，形直觀，數抽象，正如華羅庚名言：數缺形難達直觀，形缺數難以入微.其次，相對以往，對“圖形”概念擴大了范圍，由幾何圖形，拓展包括各種函數圖像及其變換、向量的幾何意義與運算等.還應考慮現代技術手段的介入，特別是一些強大軟件的作圖功能，將原先難以做到的變為直觀，為想象提供更高平臺和起點.再次，直觀想象還是發現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎，是培養創新思維的基本要素.簡單地說，直觀想象就是看圖想事，看圖說理，看題想圖，看題想構直觀模型探思路.對直觀想象核心素養的反思反思1：高中對空間觀念的要求比初中的要求高，為什么反而不提空間觀念了？

為什么不與2011年修訂的義務教育數學課程標準接軌？空間觀念主要是指：根據物體抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等.“普通高中數學課程標準（實驗）”將“直觀感知”和“空間想象”是作為學習數學和運用數學解決問題需經歷的思維過程、具體體現提出來的6條具體課程目標中的第2條，將空間想象要求為五大基本能力之一.從這一比較，我們也可將“直觀想象”這一數學核心素養視為“幾何直觀”、“空間想象”觀念的發展和融合，但直觀想象不單是空間想象能力，也不單是數形結合思想，它是一些數學思想、數學能力的融合.反思2：把“想象”去掉，這一指標的內容實際上就是“數形結合”，為什么不把問題解決中更普遍、更重要的化歸“數學結合”作為數學核心素養？請問這是不是“撿了芝麻丟了西瓜”？數形結合只是化歸的一種手段，僅僅把數學思想的內容之一“數形結合”作為核心素養是不夠的，直觀想象高于幾何直觀、空間想象、數形結合.二、高中數學哪些內容隱含或滲透直觀想象核心內容函數與基本初等函數（指數函數、

對數函數、冪函數）平面解析幾何初步數列立體幾何初步算法初步集合平面向量統計與概率參數方程與極坐標三角函數與解三角形導數微積分及其應用數系的擴充與復數的引入空間向量與立體幾何圓錐曲線與方程不等式與線性規劃排列與組合三、高考如何考查直觀想象核心素養1.運用“直觀想象”，精準作圖，化抽象為形象。2.運用“直觀想象”，從變換的視角，將復雜化簡單3.運用“直觀想象”，從極端特殊位置出發，預測相關量的變化規律4.運用“直觀想象”，引入變量，構建問題的求解模型，引領通法的實施5.運用“直觀想象”，以形助數，引領數形關系的轉換

6.運用“直觀想象”，以數解形，引領形數關系的轉換

7.運用“直觀想象”，數形結合，轉化為位置關系問題

8.運用“直觀想象”，從幾何意義出發，構造新函數

9.運用“直觀想象”，抓住對稱性，將圖式化數式極

值

點

偏

移

問

題

10.運用“直觀想象”，探幾何解釋，尋命題背后的故事

極值點

偏移

問題

VS

拐點

偏移

問題

三、高考如何考查直觀想象核心素養1.運用“直觀想象”，精準作圖，將抽象化形象2.運用“直觀想象”，變換視角，將復雜化簡單3.運用“直觀想象”，從極端或特殊位置出發，預測相關量的變化規律4.運用“直觀想象”，引入變量，構建問題的求解模型，引領通法的實施5.運用“直觀想象”，以形助數，引領數形關系的轉化6.運用“直觀想象”，以數解形，引領形數關系的轉化7.運用“直觀想象”，數形結合，轉化為位置關系問題8.運用“直觀想象”，從幾何意義出發，構造新函數9.運用“直觀想象”，抓住對稱性，將圖式化數式10.運用“直觀想象”，探幾何解釋，尋命題背后的故事四、對今后教學的建議

1.精準復習，靶向考點“考什么、教什么、學什么”是高考備考的最大命題，高考復習成效的高低，取決于教師能否精準復習，靶向考點，科學備考.當前，高考格局和教學態勢不斷變革，課程精神、考試要求、命題思路均被注入了新的思維、新的氣息，若教師不了解新課程改革的“一體四層四翼”（一體：立德樹人、服務選拔、導向教學的核心立場；四層：考查考生必備知識、關鍵能力、學科素養和核心價值四個圈層、四翼：基礎性、綜合性、應用性、創新性）的評價體系，教學便難以立于高處；了解新課程改革“一體四層四翼”的評價體系，將教學立于高處若教師不仔細閱讀考試大綱、樣題的微小變化，便難以精準定位復習要求.2017年的高考考試大綱主要修訂內容：在能力要求內涵方面，增加了基礎性、綜合性、應用性、創新性的要求，增加了數學文化的要求.同時對能力要求進行了加細說明，使能力要求更加明確具體.在現行考試大綱三個選考模塊中刪去“幾何證明選講”，其余2個選考模塊的內容和范圍都不變.考生從“坐標系與參數方程”“不等式選講”2個模塊中任選1個作答.1（專家對這一變化的解讀：北京大學數科院教授劉和平：考查內容刪去“幾何證明選講”模塊的直接理由是因為這部分內容考查的是初中平面幾何的知識，幾何的主要知識內容在立體幾何和解析幾何中均有體現，不需要再單獨列為專題考查.同時在過去的教學大綱和2017年修訂后的課程標準中，都不包含這部分內容.）

仔細閱讀考試大綱、樣題的微小變化，精準定位復習要求知曉考試說明、考試大綱、課程標準三者之間的關系考試說明、考試大綱、課程標準三者之間的關系：高考命題的依據是<<考試說明>>.但最根本的依據是教材，教材是課程的具體化,因此,高考命題最根本的依據是教材，試題考什么?依據<<考試說明>>制定，試題內容怎么呈現?依據教材.

堅持閱讀學術刊物，了解高考難度的定位，仔細研究近年全國卷，感知細微變化若教師不堅持閱讀學術刊物，便不會了解高考難度的定位，如教育部考試中心任子朝的文章《高考試卷難度與區分性能分析研究》（數學通報2017.1）指出，“單就現有統計數據，難度在0.4左右標準差和變異系數能達到比較好的平衡”；若教師沒有仔細研究近年的全國1卷，便難以感知其弱化求深求難的取向而轉向“考寬考活”、“學寬學活”的變化，難以知曉其對閱讀能力、應用能力和創新能力考查有新的視角，難以發現解析幾何部分更重視考查幾何作圖和幾何知識應用能力，更重視圓在研究直線與圓錐曲線位置關系中的作用……精準復習，道阻且長，行則將至精準復習言之容易，行之路長，理解數學、理解教學、理解高考、理解學生是一道道值得深究的學問，教師就要宏觀著眼更要精細落實，既要抓準考綱要求，又要針對學情校情，算好明細賬.2．成敗關鍵在基礎，無基礎不素養

數學全國卷最大的特色規律就是“穩定”，全國Ⅰ卷每年80%的試題內容都是穩定的，只有20%的內容是創新的..2017年全國Ⅰ卷總體評價：遵循考試大綱，整體保持平穩；

穩中有變，立意創新,平凡中見功底；突出了對數學核心素養和數學文化與應用的考查；命題更加科學.雖然每年高考數學的主基調基本穩定，不少考題的類型都是學生見過也做過，但考試結果卻不盡如意，花了功夫卻收效甚微.以解析幾何為例，復習教學成效長期徘徊在低水平，成為考生丟分的重災區，其中的是非曲直、酸甜苦辣，非親歷者無法體會.解析幾何涉及的基礎面大，技巧多、運算繁、交匯多，問題的理解與解決，往往發于簡單、紛繁于變化、作圖、設點、列式、求值、檢驗、作答，每一步看似都是“規定動作”，演變卻各有巧妙，不同的考生得分也是千差萬別.試題敘述簡明清晰，題意通透順暢，沒有復雜的文字包裝，沒有紛繁的情境設置，但不少考生解答起來舉步維艱、頻頻失分：（1）問只有結果，沒有緣由，以圖代征，思維粗糙，對而不全；（2）問看似掌握了直線與圓錐曲線的必殺技“坐標法”，但一路下來卻“傷痕累累”，有的解方程組不過關，留下滿紙的遺憾，有的忘了k和判別式的討論，思維缺漏導致無謂失分；有的遇見了字母計算便底氣不足，逃之夭夭；有的將K1+K2=-1坐標化后，不知整體消元，半途而廢；有的對直線過定點的代數意義本質領悟不到便止步，離成功只有一步之遙……當下，“基礎問題”成為教學之癢，數學之痛“基礎”關乎教學、關乎能力、關乎過程、關乎記憶、關乎經驗……無基礎何來素養.當下，“基礎問題”成為教學之癢，數學之痛.基礎的落實與強化，有賴于教學示范、學生演練、示范矯正、錯題訂正、分層作業、分層教學等等措施，有賴于長期堅持不懈、科學合理的推進.數學日作業、周練習、月考、錯題訂正、及時講評、課后輔導等每一步看似簡單樸素，其實最難落實，夯實基礎需要工匠精神、釘子精神和知行合一精神的堅持，誰能持之以恒，誰便能笑傲高考.3．穿插“微專題”，對傳統復習進行補充和完善

“微專題”是指一個相關聯的、可以單獨研究的知識體系，或者某種數學思想方法、一個研究主題等，根據學生不同學習階段具有一定彈性，又稱“小專題”.“微專題”教學是指針對某一具體知識點，從該知識的基本概念、基本原理、基本規律入手，內化知識，構建結構進行知識遷移，整合并運用概念和原理解決實際問題的一種“小切口”教學方法.其涵蓋的內容適量，知識間聯系緊密，可以在學習基礎知識的同時，幫助學生形成良好的認識結構，活化知識的運用，提升解決問題的能力.有機地在傳統復習模式中穿插“微專題”，可以彌補傳統的復習教學中的一些不足與缺陷，可以通過“考點”的細化、“知識點”的延伸、“易錯易混點”的辨析、“思維角度”的轉換等方式構建“微專題”.案例：“阿波羅尼斯圓”定理及其運用

例如：源于“知識點”的延伸構建“微專題”，這類知識點往往是命題的熱點，具有深遠的背景，教師通過教學積累或閱讀雜志文章，根據學情控制拓展的深度、廣度和難度，有效提升學生對此類問題的處理能力.例如，近幾年活躍在各類考試中的“阿波羅尼斯圓”，根據課本題的延伸拓展，可以設置一節“微專題”.環節一：教材入手，奠定基礎環節二：特殊到一般，完善定理

環節三：數學運用，鏈接高考環節四：延伸拓展，深化思維“微專題”切口小、主題強、形式多、角度新由于“微專題”切口小、主題強、形式多、角度新，抓住問題內隱的思維線索，從低結構到高結構，從知識層面到核心價值層面，讓學生在知識的碰撞中、在問題的辨別中找關系、尋規律、抓本質，達到“綱舉目張”的效果