廈門大學《高等代數》課程試卷數學科學學院全部系2004年級各專業主考教師：林鷺、杜妮試卷種類：（A卷）注意：全部答案請寫在答題紙上一選擇題(7題×4分）1．設n階實對稱矩陣A是正交矩陣，則___。A。A=I;B。A與I相似;C.A2I；D。A與I合同.2．以下說法錯誤的選項是___。A。A、B為n階實對稱矩陣,若存在n階可逆方陣C，使得CACB，則A與B合同；B.A為n階實對稱矩陣，且對任意n維向量x，都有xAx0，則A=0；兩個n階實對稱矩陣合同的充分必需條件是它們有同樣的秩；實對稱矩陣的秩r和符號差s擁有同樣的奇偶性.3．設A為n階實對稱矩陣，則以下條件中有___個必保證A為負定。①A的正慣性指數=0；②A的全部序次主子式〈0；③A的全部特點值〈0;④對任意非零向量x,都有xAx0.A。1B。2C。3D.44．以下表達中錯誤的選項是___。A.A為可逆矩陣，則A2必是正定矩陣；B。A為正定矩陣，則存在可逆矩陣Q，使AQQ；C.A為正定矩陣，則A的全部對角元必大于零；D.A為正定矩陣,則A必正交相似于對角矩陣。5．設n階實對稱矩陣A的特點值為1,2,,n，則當t___時，AtI為正定矩陣。A。min{1,2,,n}B.min{1,2,,n}；C.max{1,2,,n}；D.max{1,2,,n}。16．設是歐氏空間V的線性變換，則以下命題中___不能夠作為是正交變換的等價命題.A.在某一組基下表示矩陣是正交陣；B。1*；C.保積同構;D.保持距離不變。7．設是歐氏空間V的自陪同算子，則以下命題中正確的有___個.①在V的某組基下表示矩陣是對角陣；②的特點值模為1；③的屬于不同樣特點值的特點向量必正交；④x,yV,((x),y)((y),x)。A.1;B.2；C。3；D。4。二填空題（7題×4分）1．n階實對稱矩陣按合同分類，共有___類；而n階對稱正交矩陣按相似分類,共有___類。1111012．設A1,B1,C11，D10是R上3階方陣。則在B,C，2222D中，___與A正交相似，___與A合同。103．設Aaijnn為n階正交矩陣，且a111,則矩陣方程Ax0

的解x=___。4．R13中，定義內積為標準內積，則向量(1,2,2),(1,0,1)的夾角是___，距離是___。5．設1,2,3,4是歐氏空間V的一組標準正交基,V1L(1,2)，此中123，2124，則___是V1的一組標準正交基.12346．在R14中，與矩陣A2345的每個行向量都正交的全體向量所組成的子空間W的維數為___.34567．設1,2,,n是n維歐氏空間V的一組基，關于這組基的胸襟矩陣G,V上線性變換在這組基下的矩陣為A，則的陪同算子*在這組基下的矩陣是___,進而為自陪同算子的充分必需條件是___。2三（12分)已知二次型f(x,y,z)(x2y2z2)2xy2xz2yz。1．請寫出該二次型的相伴矩陣；2．取什么值時，f是正定的？3．當=1時，將二次型f化為標準型并求出相應的非退化線性替代。四（12分）設A,B都是實對稱矩陣，證明：存在正交矩陣T，使得T1ATB的充分必需條件是A，B有同樣的特征值。(10分）設A，B都是實對稱矩陣,且B是正定的。若BA的特點值都大于0，證明A是正定矩陣。(10分)設是n維歐氏空間V上的正交變換，令V1