第9

曲線與程．考查方程的曲線與曲線的方程的對應關系．．利用直接法或定義法求軌跡方程．．結合平面向量知識能確定動點軌跡，并會研究軌跡的有關性質．【復習指導】正確理解曲線與方程的概念，會用解析幾何的基本思想和坐標法研究幾何問題，用方程的觀點現幾何問題的代數化解決，并能根據所給條件選擇適當的方法求曲線的軌跡方程，常用方法有：接法、定義法、待定系數法、相關點法、參數法等。．曲線與方程一般地，在平面直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程fxy＝0的數解建立了如下關系：曲線上點的坐標都是這個方程的解．以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點么個方程叫做曲線的方程條曲線叫做方程的曲線．．直接法求動點的軌跡方程的一般步驟建立適當的坐標系，用有序實數(x，y)示曲線上任意一點M的坐標．寫出適合條件p的M集合P{Mp)}用坐標表示條件p(M，列出方程f(，)＝0.化方程fx，)＝0為簡形式．說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上．．兩曲線的交點由曲線方程的定義可知兩條曲交點的坐標應該是兩個曲線方程的公共解兩曲線方程組成的方程組的實數解；反過來，方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個交點，方程組無解，兩條線就沒有交點．兩條曲線有交點的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實數解．可見，求曲線的交點問題就是求由它們的方程所組成的方程組的實數解問題．一個主題通過坐標法，由已知條件求軌跡方程，通過對方程的研究，明確曲線的位置、形狀以及性質是析幾何需要完成的兩大任務，是解析幾何的核心問題，也是高考的熱點之一．四個步驟對于中點弦問題，常有的解題方法是點差法，其解題步驟為：22設點：即設出弦的兩端點坐標；代入：即代入圓錐曲線方程；作差：即兩式相減，再用平方差公式把上式展開；整理：即轉化為斜率與中點坐標的關系式，然后求解．五種方法求軌跡方程的常用方法直接法：直接利用條件建立x，之的關系F，)＝；待定系數法：已知所求曲線的類型，求曲線方根據條件設出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數；定義法據條件得出動點的軌跡是某種已知曲線曲的定義直接寫出動點的軌跡方程；代入轉移法：動點P)依賴于另一動點Q(x，y)變化而變化，并且Q(x，又在某已知曲0000線上，則可先用x，的數式表示，，將x，y代已知曲線得要求的軌跡方程；000參數法：當動點Px，y)坐標之間的關系不易直接找到，沒有相關動點可用時，可考慮將x，y均用一中間變量(參數)表示，得參數方程，再消去參數得普通程．．(x，＝0是點(x，)在曲線f(x，y)上的．00．充分不必要條件．必要不充分條件．充要條件．既不充分也不必要條件解析利用曲線與方程定義的兩件來確定其關系，∵(x，)＝可知點P(x，y)在曲線fx，y)＝0上又Px，在曲線fx，y)＝0上，有(x，0000y)＝00∴(x，)＝是Px，)在曲線fx，)＝0上充要條件．000答案C．泉州質檢方程＋xy＝的線是()．．一個點．一條直線．兩條直線．一個點和一條直線解析方程變為x(x＋y－＝0∴x＝0或x＋y－＝故方程表示直線x＝直線＋－1＝0.答案C22222222222222222222合肥月考)知點P是直線2－＋＝0上的一個動點定點M(－1,2)Q是段PM延線上的一點，且PM＝MQ，則Q的軌跡方程(．．2＋＋1＝0．x－y－5＝0．x－y－1＝0．2－＋5＝0解析由題意知，M為中，設(，)，則為(－2，4－)，代入x－y＋3＝得x－＋5答案D．福模擬)若點P到直線x＝－1的離比它到點的距離小1則點P的跡()A圓C．曲線

B橢圓D．物解析依題意，點P到直線＝－2的離等于它到(2,0)的距離故點P的跡是拋物線．答案D．北京)曲線C是面內與兩個定點F－1,0)和的離的積等于常數a(＞的點的12軌跡．給出下列三個結論：曲線過標點；曲線關坐原點對稱；③若點P在曲線上則eq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)的積不大于a122

2其中，所有正確結論的序號是．解析設動點M()到兩定點的離的積等于線C的程為x＋＋－1＋1＝a

2

，∵a1，故原點坐標不滿足曲線C的程，故①錯誤．以－x－分別代替曲線C的方程中的、y程不變線C關原點對稱正Seq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)＝PF∠≤121212121＝，面不大于a，以③正確．2答案②③考一

直法軌方【例】已知O的程x＋－2＝0⊙O的程是＋－x＋10＝0如圖所示．由動點向⊙O和所引的切線長相等，求動點P的跡方程．22222222222→→→→222222222222→→→→22[審題視由已知條件找出等量關系，直接寫點標滿足的等式化簡即得軌跡方程．解設(xy)，由圓O的程為－4)＋y＝，已|＝|，|－|＝O－O，則－＝O|－6.∴x

＋y

－2＝(x－＋y－，∴x＝，動點P的跡方程是＝.【反思與悟】直接求曲線方程的一般步驟：建立恰當的坐標系，設動點坐xy)列出幾何等量關系式；用坐標條件變為方程fx，y＝；變方程為最簡方程；檢驗，就是要檢驗點軌跡的純粹性與完備性．【變式】如所示，過點P作相垂直的直線ll.l交軸l交y軸，求線1段AB中M的跡方程解設M的標為x，y，∵M是線段AB的中點，∴點坐標為2x,，B點坐標為0,2．∴＝－2，－，PB＝－y－4)．由已知＝0∴－2(2x－2)4(2y－4)＝0，即x＋2－5＝∴線段AB點的跡方程為x＋y－＝考二

定法軌方【例2一動圓與圓x＋＋x＋5＝0外，同時與圓＋－x－910內，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么曲線．[審題視由曲線定義出發建立關系式，從而出軌跡方程．解如所示，設動圓圓心為M(，)，半徑為R，設已知圓的圓分別為、O，圓的方程分122222222222＝22222222222＝8，設點M的坐標為x，y，其軌跡方程為x2別配方得：＋3)

＋y

＝，(－3)＋y＝，當動圓與圓O相切時，1有OM＝＋2.①1當動圓與圓O相切時，OM＝10②22將①②兩式相加，得＋OM＝OO，1212∴動圓圓心Mx，y到O(－3,0)的離和是常數121所以點M的跡是焦點為－、O(3,0)，1長軸長等于12的圓．∴2＝6,2＝，∴＝，＝6∴＝－＝，x∴圓心軌跡方程為＋＝，軌跡為橢圓．【反思與悟】在利用圓錐曲線義求軌跡時，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據曲線的方程，寫出所求的軌跡方程，若所求軌跡是某種圓錐曲線上的特定點的軌跡，則利用圓錐線的定義列出等式，化簡求得方程，同時注意變量范圍．【變式】已圓：x＋3)＋y＝和：(x－＋y＝，動圓同與圓C及圓C相11外切，求動圓圓心M的軌跡方程．解如所示，設動圓M圓及分外切于點A和B，根據兩圓外切的充要條件，得1－＝MA，11－＝MB|.22因為MA＝MB，所以－MC＝－AC＝－1221這表明動點M到定點C、C的距離的差是常數2，且小于CC＝6.212根據雙曲線的定義，動點M的跡為雙曲線的左(點M到C的距離大，到C的距離小，這里2＝1＝3，則

2

y－＝x．考三

參法相點求跡程2222222222y2212222222222y221【例3】已知拋物線y＝4px>0)，O為點，AB為物線上兩動點，且滿足⊥，如果OM⊥ABM點求點M軌跡方程．[審題視點]設點的坐x，y后，直接找，y的系式不好求，故尋求他變量建立，y之間的聯系．解設Mx，y，直線AB方為y＋bx由OM⊥AB得＝－y由y＝＝kx消y，得k＋(2－4)＋b＝0.以xx＝.12k消去x，得

pb－py＋＝所以yy＝.12k由OA⊥，得y＝x，12pb所以＝－，＝4kpk故y＝＋b(x－4p)x把k＝－代，得＋－＝0(≠0)．即M的跡方程為x＋y－px＝≠0)．【反思與悟】在一很難找到形成曲線的動點(xy的坐標x所足的關系式的情況下，往往借助第三個變量，建立和t和y的系式＝)y＝x()再通過一些條件消掉t就接找到了x和所足的方程，從而求出動點(x，y所形成的曲線的普通方程．【變式3-1如圖示，從雙曲線x－y＝上點引線x＋y＝2的線，垂足為求線段QN的中點P的跡方程．解設點的標為，)點Q的標為，)，則點坐標為(2－x，2－y)．111∵點在線＋＝上∴2－x＋－y＝，①11又∵直于直線＋y＝y－y∴＝，即－＋y－＝0，②x－x112222222222222→→→→222222222222222→→→→22a1x＝x＋y－，1由①、②聯立，解得3y＝x＋y－1.1又Q在雙曲線－y＝1上∴x－＝，13即x＋y－1－x＋y－＝1整理得x－y－2＋y－1，這就是所求動點P的跡方程．如解求線方【問題研究】曲線方程是解析幾何的一條主線，雖然高考對曲線與方程的要求不是很高，但高考中也經常會有一些試題是以建立曲線方程作為切入點命制的．從近幾年的高考試題中可以現，無論客觀題還是主觀題都有曲線與方程的命題點．【解決方案】首先，要深入理求曲線的軌跡方程的各種方法及其適用的基本題型，注意參數法和交軌法的應用其求軌方程時要注意檢驗多余的點要扣除而漏的點要補上再，要明確圓錐曲線的性質，選相應的解題策略和擬定具體的解題方法，如參數的選取，相關點變的規律及限制條件等．x【示例】(2011·津在平面直角坐標系中點P(aa＞0)為點FF分為橢圓1ay＋＝1的、右焦點．已知eq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)PF為等腰三角形．1求橢圓的離心率e；設直線與橢圓相交于A兩，M直線上的點，滿足AMBM＝2求點的22跡方程．【審題視點】第1)設出焦點坐標，根PF＝F列等式，解方程即求得；(2)根據題212意設出A，兩坐標，代入關系BM－2即可求得點M的跡方程．解(1)F－c,，c＞0)．1由題意，可PF＝F|，2即

2

，c整理，得＋－10c1得＝1(舍，或＝a222→→→2222222→→→2222所以＝.由(1)知ac，bc，可得橢圓方程為＋4y＝12c，直線PF的程為＝x－c)2A，兩點的坐標滿足方程組

x2y23

消去y并理，得x－cx＝0解得x＝0，x＝c.1，得方程組的＝c，1

c，253y＝c.2533不妨設A，5

，，－3c).→8設點M坐標(x，y)則AM＝－，－c，BM＝x＋3．由y＝3(x－c)得＝x－

y→3→于是AM＝y－