...wd......wd......wd...概率論與數理統計復習題〔一〕填空1.。假設與獨立，那么；假設中至少有一個事件發生的概率為，那么。2．且，那么。3．設，且，那么；。4．。假設服從泊松分布，那么；假設服從均勻分布，那么。5．設，那么6．那么。7．，且與獨立，那么〔用表示〕，。8．的期望為5，而均方差為2，估計。9．設和均是未知參數的無偏估計量，且，那么其中的統計量更有效。10．在實際問題中求某參數的置信區間時，總是希望置信水平愈愈好，而置信區間的長度愈愈好。但當增大置信水平時，那么相應的置信區間長度總是。二．假設某地區位于甲、乙兩河流的集合處，當任一河流泛濫時，該地區即遭受水災。設某時期內甲河流泛濫的概率為0.1；乙河流泛濫的概率為0.2；當甲河流泛濫時，乙河流泛濫的概率為0.3，試求：〔1〕該時期內這個地區遭受水災的概率；〔2〕當乙河流泛濫時,甲河流泛濫的概率。三．高射炮向敵機發射三發炮彈〔每彈擊中與否相互獨立〕，每發炮彈擊中敵機的概率均為0.3，又知假設敵機中一彈，其墜毀的概率是0.2，假設敵機中兩彈，其墜毀的概率是0.6，假設敵機中三彈那么必墜毀。〔1〕求敵機被擊落的概率；〔2〕假設敵機被擊落，求它中兩彈的概率。X的概率密度為且E(X)=。〔1〕求常數k和c；(2)求X的分布函數F(x)；〔X,Y〕的概率密度。求〔1〕常數k；〔2〕X與Y是否獨立；〔3〕；六．.設X，Y獨立，下表列出了二維隨機向量〔X，Y〕的分布，邊緣分布的局部概率，試將其余概率值填入表中空白處.ＹＹＸ七．.某人壽保險公司每年有10000人投保，每人每年付12元的保費，如果該年內投保人死亡，保險公司應付1000元的賠償費，一個人一年內死亡的概率為0.006。用中心極限定理近似計算該保險公司一年內的利潤不少于60000元的概率.四、解：由密度函數的性質及數學期望的定義，有①即②由①知x的密度函數為當x；當時當時五、由〔x、y〕聯合密度的性質有：①．即②．由①可求出〔x，y〕的聯合密度：故x,y相互獨立。③．由②知相互獨立。六、略七、解：令x為一年內死亡人數，題中10000人投標，每人每年死亡率0.006且每人每年死亡相互獨立，故x~N〔10000*0.006，10000*0.006*0.994〕即x~N〔60，59.64〕設A：保險公司一年內的利潤不少于60000元。即A：10000*12-1000x60000概率論與數理統計復習題〔二〕本復習題中可能用到的分位數：，，，。一、填空題〔此題總分值15分，每題3分〕1、設事件互不相容，且那么。2、設隨機變量的分布函數為：那么隨機變量的分布列為。3、設兩個相互獨立的隨機變量和分別服從正態分布和，那么=。4、假設隨機變量服從上的均勻分布，且有切比雪夫不等式那么,。二、單項選擇題〔此題總分值15分，每題3分〕1、設那么有〔〕。(A)互不相容；(B)相互獨立；(C)或；(D)。2、設離散型隨機變量的分布律為：且，那么為〔〕。(A)；(B)；(C)；(D)大于零的任意實數。3、設隨機變量和相互獨立，方差分別為6和3，那么=〔〕。(A)9；(B)15；(C)21；(D)27。4、對于給定的正數，，設，，，分別是，，，分布的下分位數，那么下面結論中不正確的選項是〔〕〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕5、設()為來自總體的一簡單隨機樣本，那么以下估計量中不是總體期望的無偏估計量有〔〕。(A)；(B)；(C)；(D)。三、〔此題總分值12分〕人們為了解一支股票未來一定時期內價格的變化，往往會去分析影響股票價格的基本因素，比方利率的變化。現在假設人們經分析估計利率下調的概率為60%，利率不變的概率為40%，根據經歷，人們估計，在利率下調的情況下，該支股票價格上漲的概率為80%，而在利率不變的情況下，其價格上漲的概率為40%，求該支股票將上漲的概率。四、〔此題總分值12分〕設隨機變量的分布密度函數為試求：〔1〕常數；〔2〕落在內的概率；〔3〕的分布函數五、〔此題總分值10分〕為估計一分鐘一次廣告的平均費用，隨機抽取了100個電臺作為樣本，計算得樣本的平均值元，樣本標準差為元，在廣告費用X的分布未知時，試求平均廣告費的置信區間。｛解答：由于X的樣本容量較大，故認為X近似服從正態分布，臨界值，，于是一分鐘一次平均廣告費的置信區間為[，]｝六、〔此題總分值12分〕設為來自總體的一個樣本，服從指數分布，其密度函數為，其中為未知參數，試求的矩估計量和極大似然估計量。七、〔此題總分值12分〕設某市青少年犯罪的年齡構成服從正態分布，今隨機抽取9名罪犯，其年齡如下：22，17，19，25，25，18，16，23，24，試以95%的概率估計犯罪青少年年齡的置信區間。概率論與數理統計復習題(二)參考解答填空題:P()=1-p-q分析:P()=1-p-q2、x-112P0.30.30.4分析:依離散型隨機變量的分布函數可得.3、P=0.5分析:x+y～N(1,3)P{x+y1}=F(1)=()=(0)=0.54、b=3,=2分析:二.單項選擇題1.D分析:(A)中,A和B互不相容P(AB)=0,但不能反推;(B)中,P(AB)=P(A)·P(B)A、B相互獨立;(C)中,P(A)=0或P(B)=0與P(AB)=0無關;(D)中,P(A-B)=P(A)2.A分析:由分布律的性質可知:0<<1且=1即=1;由等比數列求和可知:=1=3.D分析:D(2x-y)=274.B分析:由各對應分布的分位數性質可得.5.B分析:(A)顯然為總體期望的無偏估計(B)E(++…+)=E+E+…+E=n顯然不是總體期望的無偏估計;(C)E[0.1(6+4)]=E(0.6+0.4)=0.6E+0.4E=0.6+0.4=(D)E(+-)=E+E+E=+-=三.解答:設A為事件〝利率下調〞,那么即為〝利率不變〞,記B為事件〝股票價格上漲〞,由題設P(A)=60%P()=40%P(A)=80%P(B)=40%于是P(B)=P(AB)+P(B)=P(A)·P(A)+P()·P(B)=60%80%+40%40%=64%四.解:由密度函數的性質.=1++=1=1A===(+)=x落在(,)內的概率為.3)x<-1時F(x)=0-1x<1時F(x)=x1時F(x)=F(x)=五.解答題見資料六.解:x服從指數分布,其密度函數為f(x,)=Ex===+===為的矩估計量極大似然估計:L()==為的極大似然估計量七.解:設x為青少年犯罪的年齡,依題中各樣本值知:由于未知,故適用,得置信區間為所求犯罪青少年年齡的置信區間為(18.44,23.56)概率論與數理統計復習題〔三〕一.選擇題〔18分，每題3分〕1．設為隨機事件，且，那么必有是必然事件；；；.2．口袋中有6只紅球，4只白球，任取1球，記住顏色后再放入口袋。共進行4次，記為紅球出現的次數，那么的數學期望；；；.3．設隨機變量的分布密度函數和分布函數為和,且為偶函數,那么對任意實數,有4．設隨機變量和相互獨立,且都服從區間上的均勻分布,那么仍服從均勻分布的隨機變量是5．隨機變量和都服從正態分布:,設,,那么只對的某些值,有對任意實數,有對任意實數,有對任意實數,有6．設未知，那么的置信度為的置信區間為二.填空題〔21分，每題3分〕1．隨機事件，有概率，，條件概率，那么．2.隨機變量的聯合分布密度函數如下,那么常數3某人射擊直到中靶為止,每次射擊中靶的概率為0.75.那么射擊次數的數學期望與方差分別為=,4.二維隨機變量的聯合分布函數為，試用表示概率.5.設是取自的樣本，是的無偏估計量那么常數6．設〔〕是來自正態分布的樣本，當＝時，服從分布，＝.7．設離散型隨機變量的聯合分布律為假設，那么.三.計算題〔54分，每題9分〕1．某種產品分正品和次品，次品不許出廠。出廠的產品件裝一箱，并以箱為單位出售。由于疏忽，有一批產品未經檢驗就直接裝箱出廠，某客戶翻開其中的一箱，從中任意取出一件，求：〔1〕取出的是件正品的概率；〔2〕這一箱里沒有次品的概率2．設二維隨機變量〔X,Y〕在區域上服從均勻分布。求：邊緣密度函數.3．隨機變量，，試求：方差，協方差，相關系數4．學校某課程的考試，成績分優秀，合格，不合格三種，優秀者得3分，合格者得2分，不合格者得1分。根據以往的統計，每批參加考試的學生中考得優秀、合格、不合格的，各占20％、70％、10％。現有100位學生參加考試，試用中心極限定理估計100位學生考試的總分在180至200分之間的概率。〔〕5．設是取自總體的一個樣本，總體，。試求：(1)未知參數的矩估計量；(2)未知參數的極大似然估計量；(3)的極大似然估計量.6．某種產品的一項質量指標，在5次獨立的測試中，測得數據〔單位：〕1.231.221.201.261.23試檢驗〔〕〔1〕可否認為該指標的數學期望1.23〔2〕假設指標的標準差，是否可認為這次測試的標準差顯著偏大附分布數值表概率論與數理統計復習題〔三〕答案一.選擇題〔18分，每題3分〕cbacdb二.填空題〔21分，每題3分〕1．；2．24；3．4/39/44．；5．4；6．1/32；7．0,1三.計算題〔54分，每題9分〕解：令A={取出為正品}，={箱子中有t個正品}，.由條件，，,，〔1〕由全概率公式，,〔2〕由Bayes公式，.2.解：3．解：4．解：設為第I位學生的得分，那么總得分5．解：〔1〕矩估計量〔2〕極大似然估計量〔3〕的極大似然估計量7.解：〔1〕假設.當為真，檢驗統計量，拒絕域，[]，承受.[，拒絕]〔2〕假設.當為真，檢驗統計量，拒絕域.，拒絕.概率論與數理統計復習題〔四〕一．判斷題〔10分，每題2分〕1.在古典概型的隨機試驗中，當且僅當是不可能事件()2．連續型隨機變量的密度函數與其分布函數相互唯一確定()3．假設隨機變量與獨立，且都服從的(0，1)分布，那么()4．設為離散型隨機變量,且存在正數k使得，那么的數學期望未必存在()5．在一個確定的假設檢驗中，當樣本容量確定時,犯第一類錯誤的概率與犯第二類錯誤的概率不能同時減少()二．選擇題〔15分，每題3分〕設每次試驗成功的概率為，重復進展試驗直到第次才取得次成功的概率為.(a)；(b)；(c)；(d).2.離散型隨機變量的分布函數為，那么.(ａ)；(ｂ)；(ｃ)；(ｄ).3.設隨機變量服從指數分布，那么隨機變量的分布函數.(ａ)是連續函數；(ｂ)恰好有一個連續點；(ｃ)是階梯函數；(ｄ)至少有兩個連續點.4.設隨機變量的方差相關系數那么方差.(ａ)40；(ｂ)34；(ｃ)25.6；(ｄ)17.65.設為總體的一個樣本，為樣本均值，那么以下結論中正確的選項是.(ａ)；(ｂ)；(ｃ)；(ｄ).二.填空題〔28分，每題4分〕1.一批電子元件共有100個,次品率為0.05.連續兩次不放回地從中任取一個,那么第二次才取到正品的概率為設連續隨機變量的密度函數為，那么隨機變量的概率密度函數為3.設為總體中抽取的樣本()的均值,那么＝.4.設二維隨機變量的聯合密度函數為那么條件密度函數為,當時,5.設,那么隨機變量服從的分布為(需寫出自由度)6.設某種保險絲熔化時間〔單位：秒〕，取的樣本，得樣本均值和方差分別為，那么的置信度為95%的單側置信區間上限為7.設的分布律為123一個樣本值，那么參數的極大似然估計值為三.計算題〔40分，每題8分〕一批產品中96%是合格品.檢查產品時，一合格品被誤認為是次品的概率是0.02；一次品被誤認為是合格品的概率是0.05．求在被檢查后認為是合格品的產品確實是合格品的概率2．設隨機變量與相互獨立，，分別服從參數為的指數分布，試求的密度函數.3．某商店出售某種貴重商品.根據經歷，該商品每周銷售量服從參數為的泊松分布.假定各周的銷售量是相互獨立的.用中心極限定理計算該商店一年內〔52周〕售出該商品件數在50件到70件之間的概率.4.總體，為總體的一個樣本.求常數k,使為的無偏估計量.5．〔1〕根據長期的經歷，某工廠生產的特種金屬絲的折斷力〔單位：kg〕.kg，現從該廠生產的一大批特種金屬絲中隨機抽取10個樣品，測得樣本均值kg.問這批特種金屬絲的平均折斷力可否認為是570kg〔〕〔2〕維尼綸纖度在正常條件下服從正態分布.某日抽取5個樣品，測得其纖度為:1.31，1.55，1.34，1.40，1.45.問這天的纖度的總體方差是否正常試用作假設檢驗.證明題〔7分〕設隨機變量相互獨立且服從同一貝努利分布.試證明隨機變量與相互獨立.附表：標準正態分布數值表分布數值表t分布數值表概率論與數理統計復習題〔四〕參考答案一.判斷題〔10分，每題2分〕是非非非是.二.選擇題〔15分，每題3分〕〔ａ〕〔ｄ〕〔ｂ〕〔ｃ〕〔ｄ〕.三.填空題〔28分，每題4分〕1.1/22；2.；3.0.9772；4.當時；5.6.上限為15.263.7.5/6.四.計算題〔40分，每題8分〕1.被查后認為是合格品的事件，抽查的產品為合格品的事件.(2分)，(4分)(2分)2.(1分)時，，從而；(1分)時，(2分)(2分)所以[](2分)3.設為第i周的銷售量,(1分)那么一年的銷售量為，,.(2分)由獨立同分布的中心極限定理，所求概率為(4分).(1分)4.注意到5.(1)要檢驗的假設為(1分)檢驗用的統計量，拒絕域為.(2分)，落在拒絕域內，故拒絕原假設，即不能認為平均折斷力為570kg.[,落在拒絕域外，故承受原假設，即可以認為平均折斷力為571kg.](1分)(2)要檢驗的假設為(1分)[]檢驗用的統計量，拒絕域為或(2分)[],落在拒絕域內，[,落在拒絕域內，]故拒絕原假設，即認為該天的纖度的總體方差不正常.(1分)證明題(7分)由題設知01012(2分)；；；；；.所以與相互獨立.(5分)概率論與數理統計復習題〔五〕及參考答案1：2：3：4：5：6：7：8：9：10：答：增大樣本容量二：11：12：13：14：15：16：17：18:19:20：21：證明題：復習題〔六〕答案與評分標準一．填空題〔〕1．,,,那么。2．有零件8件，其中5件為正品，3件為次品。從中任取4件，取出的零件中有2件正品2件次品的概率為；3．拋擲均勻的硬幣，直到出現正面向上為止，那么拋擲次數的概率分布為，服從分布。4．設隨機變量的密度函數為，那么常數1，的分布函數。5．設隨機變量的密度函數為，那么隨機變量的密度函數。6．的聯合分布函數為，且，那么。7．設，，且和相互獨立，那么的密度函數。8．，那么，8。9．設的聯合概率分布為0100.10.110.8001P0.20.8那么的概率分布為相關系數。10．設隨機變量獨立同分布,,,記，那么用切比雪夫不等式估計。二．簡答題〔〕表達數學期望和方差的定義〔離散型〕，并且說明它們分別描述什么數學期望：絕對收斂，那么。〔2分〕描述取值的平均。〔1分〕方差：存在，那么〔2分〕描述相對于的偏差。〔1分〕三．分析判斷題〔判斷結論是否正確，并說明理由，〕1．設隨機變量的分布函數為，，那么。不一定正確。〔2分〕如為連續型隨機變量，那么；如為離散型隨機變量，且，那么〔或舉反例〕。〔3分〕2．假設隨機變量和不相關，那么。正確。〔2分〕四．計算題〔〕1．〔〕進展4次獨立試驗，在每次試驗中出現的概率均為。如果不出現，那么也不出現；如果出現一次，那么出現的概率為；如果出現不少于兩次，那么出現的概率為1。試求：〔1〕4次獨立試驗中出現次的概率；〔2〕出現的概率；〔3〕在出現的情況下，出現一次的概率。記為4次獨立試驗中出現的次數，〔1〕〔4分〕〔2〕〔1分〕〔1分〕〔1分〕〔3〕〔3分〕2．〔〕向某一個目標發射炮彈，設彈著點到目標的距離〔單位：米〕的密度函數為，如果彈著點距離目標不超過米時，即可摧毀目標。求：〔1〕發射一枚炮彈，摧毀目標的概率；〔2〕至少應發射多少枚炮彈，才能使摧毀目標的概率大于〔1〕〔5分〕〔2〕設至少發射枚炮彈，那么，〔3分〕〔2分〕3．〔〕設二維隨機向量的聯合密度函數為，試求：〔1〕常數；〔2〕邊際密度函數，并討論和的獨立性；〔3〕。〔1〕〔3分〕〔3分〕〔2〕〔2分〕〔2分〕不獨立〔2分〕〔3〕〔2分〕4．〔〕如果你提前分鐘赴約，花費為〔單位：元〕；如果遲到分鐘，花費為〔單位：元〕。假設從現在的位置到赴約地點所用的時間〔單位：分鐘〕。欲使平均花費最小，確定應該提前離開的時間。設赴約前分鐘離開，那么花費，(3分)〔3分〕最小，〔2分〕5．〔〕紅黃兩種番茄雜交的第二代結紅果的植株與結黃果的植株的比率為。現種植雜交種400株，試求結黃果植株介于到之間的概率。記為結黃果植株數，那么〔3分〕，〔4分〕〔3分〕參考數據：復習題七單項選擇〔在每題的四個備選答案中，選出一個正確的答案，并將答案其代碼填入題干后的括號內，每題2分，共20分〕1.設隨機事件A,B互斥，那么=〔〕ABCD2.設=0.6，=0.3，=0.1，那么=〔〕A0.3B0.2C0.5D0.43.甲、乙、丙三人各自獨立地向某一目標射擊一次，三人的命中率分別為0.5，0.6和0.7，那么至多有兩人擊中目標的概率為〔〕A0.09B0.21C0.44D0.794.隨機變量，且=6，=2那么=〔〕ABCD5.隨機變量X和Y相互獨立,且都服從參數為λ的泊松分布，那么X+Y與2X的關系是A數學期望相等B一樣的分布C方差相等D以上均不成立6.設隨機變量X服從N(μ,1),φ(x)為標準正態分布的分布函數,P(X≤μ)=Aφ(μ)B0.5Cφ(1)D1-φ(μ)7.設隨機變量X的分布列為:X0123P0.10.30.40.2設F(X)為其分布函數,那么F(2)=A0.2B0.4C0.8D18.設為取自總體的X的樣本,,那么以下結論正確的一個是()A是的無偏估計量B是的無偏估計C是的無偏估計D是的無偏估計9.設總體~，未知，如需通過樣本，,檢驗假設，需用的檢驗統計量是〔〕ＡＢＣＤ１０.一元線性回歸模型，且相互獨立，那么～〔〕ABCD二、填空題〔每空2分，共20分〕1．有甲、乙兩批種子，發芽率分別為0.8和0.7，在這兩批種子中隨機各地抽取1粒，那么這兩粒種子都能發芽的概率是＿＿＿，這兩粒種子仲恰好有１粒發芽的概率是＿＿＿。２.設離散型隨即變量Ｘ的分布律為ｐ〔Ｘ＝ｋ〕＝，ｋ＝１，２，……５，那么ｃ＝＿＿＿．Ｐ〔Ｘ＜３〕＝＿＿＿。３.假設隨機變量，那么隨機變量服從＿＿＿分布，而服從＿＿＿分布。４.設……為取自總體的樣本，為樣本均值，服從分布，那么ｋ的值應是＿＿＿，其自由度應該是＿＿＿。５.假設檢驗中，犯第一類錯誤的概率為＿＿＿＿＿＿犯第二類錯誤的概率為＿＿＿＿＿。三.判斷題〔認為對的，再題后的括號內打“√〞，認為錯的打“×〞。每題2分，共十分〕1.假設事件A,B的概率滿足.那么必有()2.假設事件A、B互斥，那么P(AB)=0.反之亦然。〔〕3.假設隨機變量,那么隨機變量.()4、隨機變量X,Y相互獨立的充要條件是它們的相關系數=0()5、或為未知總體X的方差，=為樣本方差，那么有=()四、計算題〔每題8分，共40分〕1、設一個袋子里裝了1－５號的五只球，今從中任意地取出３只球，以Ｘ表示取出的三只球中的最小號碼，求：〔１〕Ｘ的分布律；〔２〕E(X)和D(X).2、連續性隨機變量Ｘ的密度函數為，如果Ｙ的密度函數為,，試求常Ｃ