第十章排列、組合、二項式定理和概率二項式定理第講4（第二課時）1題型4利用二項式定理求組合數的和1.求下列各式的和：(1)；(2).2

解:(1)原式=.(2)因為(1+x)n·(x+1)n=(x+1)2n

，所以

.比較等式兩邊xn-1的系數，得.

點評：逆用、變用二項式定理是解決組合數求和公式的關鍵.3

求

的和.解：設

，則

，倒序：

，兩式相加，得所以S=n·2n-1，即

.

42.(1)求證：4·6n+5n+1-9(n∈N*)能被20整除；

(2)求5555除以8的余數.解：(1)證明:因為4·6n+5n+1-9=4(6n-1)+5(5n-1)=4［(5+1)n-1］+5［(4+1)n-1］==，所以4·6n+5n+1-9能被20整除.題型5利用二項式定理解決整除性和余數問題5(2)因為5555=(56-1)55=，又56是8的倍數，故上面的展開式可設為8m-1.因為8m-1=8(m-1)+7，所以5555除以8的余數是7.點評：求整除或余數問題，一般是把被除式配湊成除式的倍式加余數的形式，如第(1)問中先分別把4·6n中的6n變為5的倍數加余數的形式，而5·5n的化為4的倍數加余數的形式，這樣就湊出20的倍數式和余數式.6若

能被7整除，則x,n的值可能為()A.x=4,n=3B.x=4,n=4C.x=5,n=4D.x=6,n=5解:,當x=5,n=4時，(1+x)n-1=64-1=35×37能被7整除，故選C.C73.求下列各數的近似值，使誤差小于0.001.(1)1.028；(2)0.9986.解：(1)1.028=(1+0.02)8=.因為精確度為0.001,比它小的數可以忽略，所以1.028≈1+0.16+0.0112=1.1712≈1.171.題型6利用二項式定理求近似值8(2)0.9986=(1-0.002)6=.因為T3==15×0.000004＜0.001，且以后各項的絕對值都小于0.001，這些項可忽略不計.所以0.9986≈1+6×(-0.002)=1-0.012=0.988.

點評：指數的近似值計算可轉化為二項式定理的展開式，由近似值的要求，轉化為求展開式的前兩項或前三項的值即可.9

某地現有耕地10000公頃，規劃10年后糧食單產比現在增加22%，人均糧食占有量比現在提高10%，如果人口年增長率為1%，那么耕地平均每年至多只能減小多少公頃(精確到1公頃)？

(糧食單產=

————,人均糧食占有量

=

————)

總產量耕地面積

總產量總人口數10解：設耕地平均均每年至多多只能減少少x公頃，又設該地區區現有人口口為P人，糧食單產為為M噸/公頃.依題意得,化簡得,11因為,所以x≤4(公頃頃).所以耕地平平均每年至至多只能減減少4公頃頃.12證明下列不不等式：(1)＞1，n∈N*，n≥2);(2)(1+x)n+(1-x)n＜2n(|x|＜1，n≥2).證明：(1)令a=1+x(x＞0)，則題型利利用二項項式定理證證不等式13又，即，所以.故.(2)(1+x)n+(1-x)n=.因為|x|＜1，所以0≤x2k＜1.所以(1+x)n+(1-x)n＜=2·2n-1=2n.141.求有關組合合數的和，，一般構造造一個二項項展開式，，再逆用二二項式定理理化簡求和和，或者構構造一個二二項式恒等等式，使所所求的組合合數的和為為展開式中中某項的系系數，再比比較等式兩兩邊相應項項的系數得得出結論.2.利用二項式式定理找出出某兩個數數(或式)之間的倍數數關系，是是解決有關關整除性問問題和余數數問題的基基本思路，，關鍵是要要合理地構構造二項式式，并將它它展開進行行分析判斷斷.153.利用二項式式定理進行行