第五模塊平面向量第二十三講平面向量的概念及線性運算回歸課本1.向量的概念(1)把既有大小又有方向的量叫做向量.(2)把只有大小,沒有方向的量(如年齡?身高?長度?面積?體積?質量等),稱為數量.(3)向量的大小叫做向量的長度(或模).長度為零的向量叫零向量,記作0,零向量的方向任意,規定零向量與任意向量平行(共線).(4)相等向量是指大小相等,方向相同的向量;相反向量是指大小相等,方向相反的向量,規定零向量的相等向量是0,零向量的相反向量是0.(5)方向相同或相反的向量叫平行向量,也叫共線向量.長度為1的向量叫做單位向量.2.向量的線性運算(1)向量加法的定義已知向量a?b,如圖,平面內任取一點A,作b,再作則叫做a與b的和,記作a+b.即求兩個向量和的運算叫做向量的加法.(2)向量求和的三角形法則利用向量加法的定義求兩個向量和的作圖法則,叫做向量求和的三角形法則.在運用此法則時,要注意“首尾相接”,即兩個向量的和向量是從第一個向量的起點指向第二個向量終點的向量.(3)向量求和的平行四邊形法則已知兩個不共線向量a?b,作對A?B?D三點不共線,以AB?AD為鄰邊作平行四邊形ABCD,則對角線上的向量是=a+b,這個法則叫做兩向量求和的平行四邊形法則.(4)向量的減法向量a加上向量b的相反向量叫做a與b的差,記作a-b,若則(5)實數與向量積的定義:實數λ與向量a的積是一個向量,記作λa,|λa|=|λ||a|,當λ>0時,λa與a方向相同;λ<0時,λa與a方向相反;λ=0時,λa=0.(6)向量的加法?減法和向量的數乘的綜合運算通常叫做向量的線性運算.向量加法的交換律表達式為a+b=b+a;向量加法的結合律表達式為(a+b)+c=a+(b+c).若λ,μ為實數,則(λ+μ)a=λa+μaλ(μa)=λμaλ(a+b)=λa+λb.3.向量共線的的條件平行向量基基本定理:如a=λb,則a∥b,如果a∥b(b≠0),則存在惟一實數λ使a=λb.考點陪練答案:B答案:BA.A?B?C三點必在同同一直線上上B.△ABC必為等腰三三角形且∠∠B為頂點C.△ABC必為直角三三角形且∠∠B為直角D.△ABC必為等腰直直角三角形形答案:C答案:D答案:C類型一向向量的有關關概念解題準備:準確理解向向量的基本本概念是解解決這類題題目的關鍵鍵.共線向量即即為平行向向量,非零向量平平行具有傳傳遞性,兩個向量方方向相同或或相反就是是共線向量量,與向量長度度無關,兩個向量方方向相同且且長度相等等,才是相等向向量.共線向量或或相等向量量均與向量量起點無關關.【典例1】判斷下列命命題是否正正確(1)若|a|=|b|,則a=b;(2)若A?B?C?D是不共線的的四點,則是是四邊邊形ABCD為平行四邊邊形的充要要條件;(3)若a=b,b=c,則a=c;(4)a=b的充要條件件是(5)|a|=|b|是a=b的必要不充充分條件.(6)平行向量就就是共線向向量;(7)相反向量一一定是平行行向量;(8)平面內4個不同點A?B?C?D共線的充要要條件是存存在非零實實數k,使得(9)已知a是任一個非非零向量,則是是一個單單位向量.[解](1)不正確,兩個向量的的長度相等等,但它們的方方向不一定定相同,因此,由|a|=|b|不能推出a=b.(2)正確,∵,且又又∵A?B?C?D是不共線的的四點,∴四邊形ABCD是平行四邊邊形.反之,若四邊形ABCD是平行四邊邊形,則且且與與方向相同,因此(3)正確,∵a=b,∴a??b的長度相等等且方向相相同.又∵b=c,∴∴b?c的長度相等等且方向相相同.∴a?c的長度相等等且方向相相同,故a=c.(4)不正確,當a∥b且方向相反反時,即使|a|=|b|也不能得到到a=b.故不不是a=b的充要條件件,而是必要不不充分條件件.(5)正確,∵|a|=|b|?a=b,但a=b?|a|=|b|.∴|a|=|b|是a=b的必要不充充分條件.(6)正確.不同于平面面幾何中的的平行與共共線的概念念,向量的平行行與共線是是同一概念念.(7)正確.由相反向量量的定義可可知(7)正確.(8)不正確.點的共線與與向量的共共線是不同同的概念.(9)正確.由單位向量量的定義可可知模長為為1的向量即為為單位向量量,而[答案](1)(4)(8)不正確,(2)(3)(5)(6)(7)(9)正確[反思感悟]熟練掌握有有關基本概概念是解決決此類小題題的關鍵.類型二向向量的線性性運算及應應用解題準備:1.向量的加法法:(1)定義:求兩個向量量和的運算算,叫做向量的的加法;(2)法則:三角形法則則,平行四邊形形法則;(3)運算律:a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c).2.向量的減法法:(1)定義:求兩個向量量差的運算算,叫做向量的的減法;(2)法則:三角形法則則.(3)常用于向量式式的化簡.3.實數與向量的的積:(1)定義:實數λ與向量a的積是一個向向量,記作λa,規定:|λa|=|λ||a|.當λ>0時,λa的方向與a的方向相同;當λ<0時,λa的方向與a的方向相反;當λ=0時,λa=0.由此可見,總有λa與a平行;(2)運算律:λ(ua)=(λu)a,(λ+u)a=λλa+ua,λ(a+b)=λa+λb.[反思感悟]在求向量時要要盡可能轉化化到平行四邊邊形或三角形形中,選用從同一頂頂點發現的基基本向量或首首尾相連的向向量,運用向量加、、減法運算及及數乘運算來來求解,即充分利用相相等向量、相相反向量和線線段的比例關關系,運用三角形、、平行四邊形形法則,充分利用三角角形中的中位位線,相似三角形對對應邊成比例例的平面幾何何的性質,把未知向量轉轉化為與已知知向量有直接接關系的向量量來求解.類型三 數乘乘向量與共線線向量定理的的應用解題準備:(1)向量共線是指指存在實數λ使兩向量互相相表示.(2)向量共線的充充要條件中,通常只有非零零向量才能表表示與之共線線的其他向量量,要注意待定系系數法的運用用和方程思想想.(3)證明三點共線線問題,可用向量共線線來解決,但應注意向量量共線與三點點共線的區別別與聯系,當兩向量共線線且有公共點點時,才能得出三點點共線.(2)∵ka+b與a+kb共線,∴存在實數λ,使ka+b=λλ(a+kb),即ka+b=λλa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a、b是不共線的兩兩個非零向量量.∴k-λ=λλk-1=0,∴k2-1=0.∴k=±1.[反思感悟](1)向量共線的充充要條件中要要注意當兩向向量共線時,通常只有非零零向量才能表表示與之共線線的其他向量量,要注意待定系系數法的運用用和方程思想想.(2)證明三點共線線問題,可用向量共線線來解決,但應注意向量量共線與三點點共線的區別別與聯系,當兩向量共線線且有公共點點時,才能得到三點點共線.錯源一 忽視視零向量性質質致誤【典例1】下列敘述錯誤誤的是________.①若a∥b,b∥∥c,則a∥c;②若非零向量a與b方向相同或相相反,則a+b與a、b之一的方向相相同;③|a|+|b|=|a+b|a與b方向相同;④向量b與向量a共線的充要條條件是有且只只有一個實數數λ,使得b=λa;⑤⑥若λa=λb,則a=b.[剖析]忽視零向量的的特殊性是本本題出錯的主主要原因,本題前四個結結論都與此有有關;另外兩個相反反向量的和是是一個零向量量,不是實數零;最后一個結論論可能忽視了了λ=0的情況.[正解]這六個命題都都是錯誤的,因為對于①,當b=0,a不一定與c平行;對于②,當a+b=0時,其方向任意,它與a、b的方向都不相相同;對于③,當a、b之一為零向量量時結論不成成立;對于④,當a=0,且b=0,λ有無數個值;當a=0但b≠0,λ不存在.對于⑤,由于兩個向量量之和得到的的仍是一個向向量,所以對于⑥,當λ=0時,不管a與b的大小與方向向如何,都有λa=λb,此時不一定有有a=b.[答案]①②③④⑤⑤⑥[評析]零向量的特殊殊性零向量是向量量中最特殊的的向量,規定零向量的的長度為0,其方向是任意意的,零向量與任意意向量都共線線.它在向量中的的位置正如實實數中0的位置一樣,但有了它容易易引起一些混混淆,稍微考慮不到到就會出錯,考生應給予足足夠的重視.錯源二 錯用用實數運算律律或運算法則則[錯解]|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=[剖析]上述解法受實實數運算律和和運算法則的的影響致錯.[答案]4技法一 數形形結合思想【典例1】已知任意四邊邊形ABCD,O為其內部一點點,且滿足試確定該點的的位置.[解題切入點]條件中涉及四四個向量的和和的問題,為了利用向量量的加法法則則,我們可把四個個向量之和的的問題,轉化為向量兩兩兩相加的情情形來解決.[解]點O是四邊形ABCD對邊中點連線線的交點,證明如下:如圖,以OA、OD為鄰邊作AODE,設OE與AD交于I;以OB、OC為鄰邊作BOCF,設OF與BC交于J,于是I、J分別是AD