4.3立體與立體相交

兩基本立體相交，也稱相貫，在兩基本體表面上所產生的交線稱為相貫線，兩相交的基本立體稱為相貫體。

相貫線既是兩相貫體表面的共有線，又是它們的分界線。

全貫兩條相貫線

互貫空間折線圍合的一條相貫線共面相貫線不封閉4.3.1平面立體與平面立體相交一、相貫線的特點

相貫線的每一條線段是兩立體參與相交的表面之間的交線。相貫線上的各轉折點，是一個立體參與相交的棱線與另一個立體參與相交的表面的交點。二、求相貫線的畫法

可以歸結為：求平面與平面立體的截交線和棱線與平面的貫穿點。

作圖方法：求平面與平面立體的截交線（棱線法、棱面法）若兩立體全貫，相貫線是由直線圍合的平面多邊形；若兩立體互貫，則相貫線是由直線圍合而成的空間多邊形。例1求兩正交三棱柱的相貫線。a′b′c′d′e′f′1′2′3′4′5′6′def3546acb12a″c″b″d″e″f″3″4″5″6″1″2″投影分析：兩三棱住正交，直立三棱住的H面投影和水平三棱住的W面投影有積聚性，只需求出相貫線的V面投影。4.3.2平面立體與曲面立體相交一、相貫線的特點

如果平面體上只有一個平面與曲面體相交，則交線是一條平面曲線。如果平面體上由多個平面參與相交，則交線是由若干段平面曲線或直線所組成的空間封閉曲線。二、求相貫線的畫法

可歸結為：求平面與曲面立體的截交線和棱線與曲面的貫穿點。

作圖方法：求平面與曲面立體的截交線（表面取點法）。例2求四棱錐與圓柱的相貫線。12345678mn5′6′1′2′7′m′n′7″m″5″1″4″8″sts″●●●●4.3.3曲面立體與曲面立體相交

一、相貫線的特點

相貫線一般為光滑封閉的空間曲線。相貫線的形狀決定于曲面的形狀、大小及兩曲面之間的相對位置。

相貫線是兩回轉體表面的共有線，相貫線上的點是兩曲面立體表面的共有點。

兩曲面立體表面相交有三種形式：立體的外表面相交；外表面與內表面相交；內表面與內表面相交。實實相貫實虛相貫虛虛相貫相貫線的形式兩曲面立體相貫的形式二、求相貫線的畫法1、先找特殊點。作圖過程確定交線的彎曲趨勢確定交線的范圍3、判斷可見性。4、順序光滑連接各點。

求作兩曲面立體的相貫線，實質上就是求兩立體表面的一系列共有點的投影問題。●●●作圖方法1、積聚投影法2、輔助平面法2、再找中間點。3、輔助球面法（了解）相貫線的求法一、積聚投影法求作相貫線

如果兩回轉體相交，其中有一個是軸線垂直于投影面的圓柱，則相貫線在該投影面上的投影積聚在圓柱面上。利用圓柱面積聚投影，將求相貫線的其余投影作圖轉化為在另一立體上取點、取線的問題，這一方法稱為積聚投影法。例1.已知兩圓柱的三面投影，求作它們的相貫線。

分析：由投影圖可知，直徑不同的兩圓柱軸線垂直相交，由于大圓柱軸線垂直于W面，小圓柱軸線垂直于H面，所以，相貫線的側面投影和水平投影為圓，只有正面投影需要求作。相貫線為前后左右對稱的空間曲線。求正交兩圓柱的相貫線求正交兩圓柱的相貫線（1）求特殊點：作圖步驟：13421’3’1”3”2”4”2’4’

直接定出相貫線的最左點Ⅰ和最右點Ⅲ的三面投影。

再求出出相貫線的最前點Ⅱ和最后點Ⅳ的三面投影。ⅠⅢⅡⅣ求正交兩圓柱的相貫線12341’2’1”3”2”4”2’4’（2）求一般點：在已知相貫線的側面投影圖上任取一重影點5″、6″，找出水平投影5、6，然后作出正面投影5′、6′。5”6”565’6’

(3)光滑連相貫線：相貫線的正面投影左右、前后對稱，后面的相貫線與前面的相貫線重影，只需按順序光滑連接前面可見部分的各點的投影，即完成作圖。（1）求一般點：

圓柱面相貫有外表面與外表面相貫、外表面與內表面相貫和兩內表面相貫。三種情況的相貫線的形狀和作圖方法相同。(a)兩外表相交

(b)外表面與內表面相交

(c)兩內表面相交

求正交兩圓柱的相貫線兩圓柱正交時，相貫線的簡便畫法。交線向大圓柱一側彎軸線垂直相交兩圓柱的相貫線，可用圓弧代替：1、圓弧的半徑R是大圓柱的半徑；2、圓心在小圓柱的軸線上；3、圓弧向大圓柱的軸線一側彎曲。正交圓柱相貫線變化規律內外分別求先求特殊點本例可以用圓弧近似代替相貫線返回例2兩圓柱筒相貫圓柱與半球的相貫線輔助平面P

基本原理：作一輔助平面P，使它與回轉體都相交，求出P平面與兩回轉體的截交線，作出兩回轉體表面截交線的交點，即為兩回轉體表面的共有點，亦即相貫線上的點。二、輔助平面法求相貫線

根據三面共點的原理，利用輔助平面求出兩回轉體表面上的若干共有點，從而畫出相貫線的投影，稱為輔助平面法。三面共點作圖方法：1、假想用輔助平面截切兩回轉體，分別得出兩回轉體表面的截交線。2、求出截交線的交點，即三面的共有點，因而是相貫線上的點。3、作一系列輔助平面，便可求得相貫線上的一系列點。4、判別可見性后，依次光滑連接各點的同面投影。輔助平面的選擇原則：

使輔助平面與兩回轉體表面的截交線的投影簡單易畫，例如直線或圓。一般選擇投影面平行面作為輔助面。18yyPW2PV24"yy4'PV1PW13"PV3PW35"11'1"2'

2"2453'35'例：求圓柱與圓錐正交時相貫線的投影三、輔助球面法求相貫線作圖原理：

圓柱與圓錐的軸線相交，以交點O為圓心作一輔助球面，同時截切柱面與錐面，其截交線分別為兩平面圓，兩平面圓之交點，即是相貫線上的點。求相貫線的條件：兩回轉體的軸線應同時平行于某一投影面，使球面與它們的交線（圓）在該投影面上的投影積聚成直線段。O·例

求圓柱與圓錐斜交的相貫線解題步驟1．圓柱與圓錐軸線斜交，相貫線的三個投影均未知，只有利用輔助球面法求共有點。1'2'1"3"2"1233'2．求特殊點Ⅰ、Ⅱ，其中Ⅱ點也是最大輔助球面上的點3．求小輔助球面上的點Ⅲ作最大和最小輔助球面求共有點4．求一般點Ⅳ、Ⅴ4"5"6．整理輪廓線。5．順次連接各點，并判別可見性544'5'1、軸線平行的柱體或共錐頂的錐體相貫時，其相貫線為兩條直線。

兩曲面立體相交，一般情況下相貫線為空間曲線，但特殊情況下可能是平面曲線或直線。

四、相貫線的特殊情況2、若兩回轉體相交，具有公共回轉軸線時，則其相貫線為圓。

當公共軸線處于投影面垂直線時，相貫線有一個投影反映圓的實形，其余投影積聚為直線段。2、外切于同一球面的圓錐、圓柱相交時，其相貫線為兩條平面曲線—橢圓。

當兩立體的相交兩軸線同時平行于某一投影面時，則此兩橢圓曲線在該投影面上的投影，為相交兩直線段。例：補全正面投影圖●●●●●●●●●●●●●●●●●●●★外形交線◆

兩外表面相貫◆一內表面和一外表面相貫★內形交線◆

兩內表面相貫

無輪是兩外表面相貫，還是一內表面和一外表面相貫，或者兩內表面相貫，求相貫線的方法和思路是一樣的。小結：1、平面立體與平面立體相交

可以歸結為：求平面與平面立體的截交線和棱線與平面的貫穿點。2、平面立體與曲面立體相交

可以歸結為：求平面與曲面立體的截交線和棱線與曲面的貫穿點。小結一、本節的基本內容3、曲面立體與曲面立體相交求相貫線的基本方法：積聚投影法輔助平面法二、解題過程⒈交線分析

⑴空間分析：

⑵投影分析：

是否有積聚性投影？找出相貫線的已知投影，預見未知投影，從而選擇解題方法。

分析相交兩立體的表面形狀，形體大小及相對位置，預見交線的形狀。⒉作圖

當相貫線的投影為非圓曲線時，其作圖步驟為：⑴找點：先找特殊點，補充若干中間點⑵判斷可見性、連線：可見與不可見的分界點⑶檢查、加深：尤其注意檢查回轉體輪廓素線的投影。三、兩曲面體相貫⒈