§3.1多維隨機變量及其聯合分布函數§3.2多維（離散型）隨機變量的聯合分布列§3.3多維（連續型）隨機變量的概率密度函數§3.4邊際分布于條件分布§3.5隨機變量的獨立性§3.6多維隨機變量函數的分布第三章多維隨機變量

(Multidimensionalrandomvariable&itsdistributions)一、多維隨機變量的概念

定義3.1.1

若X,Y是兩個定義在同一個樣本空間上的隨機變量，則稱(X,Y)是二維隨機變量.

同理可定義n維（元）隨機變量

(隨機向量).§3.1

多維隨機變量及其聯合分布函數二維隨機變量圖示:ω.(X(ω),Y(ω))炮彈的彈著點的位二維隨機變量(X,Y)

的性質不僅與X

，Y考查某一地區學說明

實例1實例2而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關系.有關,構成二維隨機變量(H,W).童的身高H

和體重W就前兒童的發育情況,機變量.置(X,Y)就是一個二維隨則兒推廣:n維隨機變量的概念二、多維隨機變量的聯合分布函數

定義3.1.2

F(x,y)=P(X

x,Yy)為(X,Y)的（聯合）分布函數.

(以下僅討論兩維隨機變量)任對實數x

和y,

稱注意：F(x,y)為(X,Y)落在點(x,y)的左下區域的概率.XYxy(x,y)分布函數的三維圖像F(x,y)的用處：？圖示證明如：

聯合分布函數的基本性質(1)F(x,y)關于x和y分別單調增.(2)0F(x,y)1，且F(,y)=F(x,)

=0，F(-,-)=0,

F(+,+)=1.(3)F(x,y)關于x和y分別右連續.(4)當a<c,b<d時，有F(c,d)

F(a,d)-F(c,b)+F(a,b)0.注意：上式左邊=P(a<Xc,b<Yd).(單調性)(有界性)(右連續性)(非負性)推廣:n維隨機變量的分布函數

二維離散隨機變量

一、二維離散型隨變量的聯合分布列定義3.2.1若(X,Y)的可能取值為有限對、或可列對，則稱(X,Y)為二維離散隨機變量.§3.2

多維（離散型）隨機變量的聯合分布列二維離散型分布的聯合分布列稱pij

=P(X=xi,Y=yj)，i,j=1,2,...,為(X,Y)的聯合分布列，其表格形式如下:YXy1

y2…yj…x1x2…xi…

p11

p12…p1j…

p21

p22…p2j………………

pi1

pi2…pij………………聯合分布列的基本性質(1)pij

0,

i,j=1,2,…(2)pij

=1.

(非負性)(規范性)(3)

P{(X,Y)∈D}=說明離散型隨機變量(X,Y)

的分布函數歸納為確定聯合分布列的方法

(1)確定隨機變量(X,Y)的所有取值數對.

(2)計算取每個數值對的概率.

(3)列出表格.解且由乘法公式得例3.2.1設隨機變量X

在1，2，3三個整數中等可能地取值，另一個隨機變量Y在1到X

中等可能地取一整數值。試求（X,Y）的聯合分布列及P（X=Y）.YX12311/30021/61/6031/91/91/9P（X=Y）=P（X=1，Y=1）+P（X=2，Y=2）+P（X=3，Y=3）=1/3+1/6+1/9=11/18.例

設隨機變量Y~N(0,1),解:

(X1,X2)的可能取值數對及相應的概率如下：P(X1=0,X2=0)=P(|Y|≥1,|Y|≥2)=P(|Y|≥2)=22Φ(2)=0.0455P(X1=0,X2=1)=P(|Y|≥1,|Y|<2)=P(1≤|Y|<2)=2[Φ(2)Φ(1)]=0.2719P(X1=1,X2=0)=P(|Y|<1,|Y|≥2)=0P(X1=1,X2=1)=P(|Y|<1,|Y|<2)=P(|Y|<1)=0.6826求

的聯合分布列.列表為：X101X2010.04550.271900.68261、多項分布二、常用的多維離散型分布

若每次試驗有r

種結果：A1,A2,……,Ar記P(Ai)=pi

,i=1,2,……,r記Xi

為n

次獨立重復試驗中Ai

出現的次數.則(X1,X2,……,Xr)的聯合分布列為：例3.2.2

一批產品100件,其中一等品，二等品，三等品各有50，30，20件。從中有放回任取3件,以X,Y

分別記取到的第一等和第二等品件數,求(X,Y)

的分布列.

(X,Y)

服從三項分布解

YX012300.0080.0360.0540.02710.0600.1800.135020.1500.2250030.1250002、多維超幾何分布從中任取n

只，記Xi

為取出的n

只球中，第i

種球的只數.口袋中有N只球，分成r

類。第i

類球有Ni

只，

N1+N2+……+Nr

=N.則(X1,X2,……,Xr)的聯合分布列為：例3.2.3

一批產品7件,其中一等品，二等品，三等品各有3，2，2件。從中不放回任取4件,以X,Y

分別記取到的第一等和第二等品件數,求(X,Y)

的分布列.

(X,Y)

服從二維超幾何分布解YX0120001/35106/356/3523/3512/353/3532/352/350P（X≤2,Y≤1）=21/35.定義3.3.1設二維隨機變量(X,Y)的分布函數為F(x,y)，若存在非負可積函數f(x,y)，使得一、二維連續型隨機變量的概率密度函數則稱(X,Y)為二維連續型隨機變量。稱f(x,y)

為(聯合)概率密度函數?！?.3

多維（連續型）隨機變量的概率密度函數多維隨機變量及其分布用mvnpdf和mvncdf函數可以計算二維正態分布隨機變量在指定位置處的概率和累積分布函數值。下面左圖和右圖分別為二維正態分布隨機變量的概率密度圖和累積分布圖。聯合密度函數的基本性質(1)f(x,y)

0.

(非負性)

(2)(規范性)

注意：表示介于f(x,y)和xoy

平面之間的空間區域的全部體積等于1.

說明例3.3.1

若(X,Y)～試求常數A及F(x,y).解:所以,A=6=A/6例3.3.1(續)若(X,Y)～試求

P(X<1,Y>1);

P(X<Y).xy解:P(X<1,Y>1)11{x<1,y>1}例3.3.1續若(X,Y)～試求

P{(X,Y)D},其中D為2x+3y≤6.322x+3y=6xy0解:例

設二維隨機變量(X,Y)的密度函數為求概率P{X+Y≤1}.解:

P{X+Y≤1}=y=xx+y=11/2例3.3.2

設二維隨機變量(X,Y)的分布函數為推廣：n維聯合概率密度函數1、二維均勻分布若二維連續隨機變量(X,Y)的聯合密度為：則稱(X,Y)服從D

上的

二維均勻分布，記為(X,Y)

U(D).其中SD為D的面積.二、常用的多維連續型分布

特別地，當D為矩形區域時，即D＝｛（x，y）｜a≤x≤b，c≤y≤d｝則此二維均勻分布的聯合密度函數為推廣：n維均勻分布例

設D是以原點為圓心、以r為半徑的圓，（X，Y）服從D上的二維均勻分布,求概率P(|X|≤r/2).

(X,Y)

服從D上二維均勻分布，解2、二維(元)正態分布若二維連續型隨機變量(X,Y)的聯合密度為：則稱(X,Y)

服從二維(元)正態分布，記為(X,Y)

N(

).正態密度的圖形二維標準正態概率密度圖像二維正態分布的圖形：例3.3.2§3.4

邊際分布與條件分布問題：已知二維隨機變量(X,Y)的分布，如何求出X和Y各自的分布（稱為邊際分布(marginaldistribution)）？一、邊際分布1.

邊際分布函數結論：巳知(X,Y)的聯合分布函數為F(x,y)，則

YFY

(y)=F(+,y).

XFX

(x)=F(x,+),事實上:解例3.4.1

其它依次類推.推廣：多維邊際分布函數2.

邊際分布列結論：巳知(X,Y)的聯合分布列為pij，則

X的分布列為：

Y的分布列為：

事實上:XY1例如求邊際分布列：X01Y010.050.300.65例3.4.5

一批產品7件,其中一等品，二等品，三等品各有3，2，2件。從中不放回任取4件,以X,Y

分別記取到的第一等和第二等品件數,求(X,Y)

的聯合分布列及邊際分布列.

(X,Y)

服從二維超幾何分布解

YX012pi.0123001/3506/356/35

3/3512/353/352/352/3501/3512/3518/354/35p.j1/74/72/71X0123P1/3512/3518/354/35即：Y012P

1/74/72/73.

邊際密度函數結論：巳知(X,Y)的聯合密度函數為f(x,y)，則

X的密度函數為：

Y的密度函數為：

設連續型二維隨機變量(X,Y)的概率密度函數為f(x,y)則從而得到X和Y的概率密度函數分別為例3.4.4

設二維隨機變量(X,Y)的密度函數為求fX(x),fY(y).解:y=x

1y=-x例

設(X,Y)服從區域D={(x,y),x2+y2<1}

上的均勻分布，求X的邊際密度fX(x).解:

由題意得xy-11當|x|≥1時，f(x,y)=0，所以fX(x)=0當|x|<1時,二維均勻分布的邊際分布不一定是一維均勻分布.二維正態分布的邊際分布是一維正態（例3.4.3，P106）：

即若(X,Y)

N(

)，注意點(1)

則X

N(

)，

Y

N(

).二維正態分布的兩個邊際分布都是一維正態分布,并且不依賴參數ρ.（1）（X,Y）關于X的邊際密度函數

（2）（X，Y）關于Y的邊際密度函數二維正態分布的邊際分布是一維正態（例3.4.3，P106）：解由于于是則有即同理可得二維正態分布的兩個邊緣分布都是一維正態分布,由聯合分布可以求出邊際分布.但由邊際分布一般無法求出聯合分布.所以聯合分布包含更多的信息.注意點(2)聯合分布邊際分布問由

的邊緣分布能否確定聯合分布？固定

x,截面曲邊梯形面積正態密度的圖形及邊緣密度的幾何意義

邊緣密度是正態曲線是否是正態曲線？二維正態分布和其邊際分布的關系單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出推廣：多維邊際概率密度函數1.二維離散型隨機變量的

條件分布列：二、條件分布

條件分布函數：例

已知隨機變量X，Y的聯合分布列為求在Y=1下，X的條件分布列。XY01-110.20.40.20.2

得在Y=1下，X的條件分布列：解即X|Y=1下的條件分布列為：而X的無條件分布列為：01X|Y=1P2/31/301

XP0.60.4解:例

設在一段時間內進入某一商店的顧客人數X服從泊松分布，每個顧客購買某種物品的概率為p，并且各個顧客是否購買該種物品相互獨立，求進入商店的顧客購買這種物品的人數Y的分布列.在進入商店的人數X=m的條件下，購買某種商品的人數Y的條件分布為,B(m,p)，即2.二維連續型隨機變量的條件分布密度函數例3.4.7解例

設(X,Y)~N(μ1,μ2;σ12,σ22;ρ),求條件概率密度函數.三、

連續場合的全概率公式與貝葉斯公式：例

（習題3.28）設X服從區間（0,1）上的均勻分布，在X=x(0<x<1)的條件下，隨機變量Y

在區間(0,x)上服從均勻分布，求Y的密度函數.解:

由題意得例3.4.8解：主要介紹兩個隨機變量的獨立性.若滿足以下之一:i)F(x,y)=FX(x)FY(y)ii)pij=pipjiii)f(x,y)=fX(x)fY(y)

則稱X與Y是獨立的，一、兩個隨機變量的獨立性§3.5隨機變量的獨立性1.定義3.5.1兩事件A,B獨立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨立

.解例(1)X與Y是獨立的其本質是：注意點任對實數a,b,c,d，有(2)

X與Y是獨立的直觀含義與判定：X與Y取值互不影響，互不關聯.(3)X與Y是獨立的，則g(X)與h(Y)也是獨立的.2.判定定理

(1)若離散隨機變量(X,Y)的聯合分布列為例

(X,Y)的聯合分布列為:X01Y01

0.30.40.20.1問X與Y是否獨立？解:

邊際分布列分別為:X01P0.70.3Y01P0.50.5因為所以不獨立例3.5.3已知(X,Y)的聯合密度為

問X與Y是否獨立？所以X與Y獨立。注意：f(x,y)可分離變量.解:

邊際分布密度分別為:例3.5.2

設二維隨機變量(X,Y)的密度函數為解:y=x

1y=-x問X與Y是否獨立？例3.5.4在長為a

的線段中點的兩邊各任取一點X與Y，求兩點間的距離小于a/3的概率.注意:(2)在獨立的條件下，聯合分布與邊際分布相互唯一確定。

(1)簡言之，隨機變量相互獨立的充要條件是：聯合分布等于邊際分布之積；聯合分布邊際分布(3)二維正態分布

的兩個分量X與Y獨立充要條件是=0.

證明:因為X,Y的聯合分布概率密度為又因為關于X,Y的邊緣概率密度函數分別為所以(1)若ρ=0,則對于所有的x,y,有f(x,y)=fX(x)fY(y)即X和Y相互獨立.(2)如果X和Y相互獨立,則對于所有的x,y有f(x,y)=fX(x)fY(y)特別,令x=μ1,y=μ2,則有注意點(1)

(1)

(X,Y)服從矩形上的均勻分布，則X與Y獨立.

(2)

(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，則X與Y不獨立.

見前面例子

(3)聯合密度f(x,y)的表達式中，若x

的取值與y

的取值有關系，則X與Y不獨立.注意點(2)

(4)若聯合密度f(x,y)可分離變量，即

f(x,y)=g(x)h(y)

則X與Y獨立。

(5)若(X,Y)服從二元正態N(

)

則X與Y獨立的充要條件是=0.推廣：n維隨機變量的獨立性二、多個隨機變量的獨立性例3.5.5設X~B（n,p),將其分解為獨立變量之和：由二項分布的背景，X是n重貝努利試驗中事件A發生的次數，每次試驗中P（A）=p.

相互獨立性進一步推廣：三、隨機變量函數的獨立性（P126)定理

定理3.6.1

§3.6

多維隨機變量函數的分布問題：已知二維隨機變量(X,Y)的分布，如何求出Z=g(X,Y)的分布？一般地，設(X1,X2,……,Xn)是n維隨機變量，如何求Z=g(X1,……,Xn)的分布？(1)

設(X1,X2,……,Xn)是n維離散隨機變量，則Z=g(X1,……,Xn)是一維離散隨機變量.一、二（多）維離散隨機變量函數的分布（律）(2)多維離散隨機變量函數的分布是容易求的：

i)對(X1,X2,……,Xn)的各種可能取值對，寫出Z

相應的取值.

ii)對Z的

相同的取值，合并其對應的概率.結論例3.6.1

已知隨機變量X，Y的聯合分布列為求如下隨機變量的分布列.解：隨機向量(X,Y)總共有六對取值，我們將它們情況與概率列于下表中,并根據此表求出Z的取值如下：化簡整理，得各函數的分布列為：例

設X與Y獨立，且X,Y等可能地取值0

和1.求Z=max(X,Y)的分布列.解:X01P1/21/2Y01P1/21/2Z=max(X,Y)的取值為:0,1P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0)=1/4P(Z=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=3/4離散場合的卷積公式設離散隨機變量X與Y獨立，則

Z=X+

Y的分布列為分布的可加性若同一類分布的獨立隨機變量和的分布仍是此類分布，則稱此類分布具有可加性.泊松分布的可加性（例3.6.2）若XP(1)，Y

P(2)，注意：

X

Y不服從泊松分布.且獨立，則Z=X+

YP(1+2).解：依題意

由卷積公式i=0,1,2,…j=0,1,2,…即Z服從參數為的泊松分布.k=0,1，…二項分布的可加性(例3.6.3)若XB(n,p)，Y

B(m,p)，注意：若Xi

B(1,p)，且獨立，則

Z=X1+

X2+……+Xn

B(n,p).且獨立，則Z=X+

YB(n+m,p).

我們給出不需要計算的另一種證法:回憶第二章對服從二項分布的隨機變量所作的直觀解釋:同樣，Y是在m次獨立重復試驗中事件A出現的次數,每次試驗中A出現的概率為p.若X~B(n,p),則X

是在n次獨立重復試驗中事件A出現的次數,每次試驗中A出現的概率都為p.故Z=X+Y是在n+m次獨立重復試驗中事件A出現的次數，每次試驗中A出現的概率為p，于是Z是以（n+m，p）為參數的二項隨機變量，即Z~B(n+m,p).

解依題知X+Y的可能取值為0,1,2,...,n+m,因此對于k(k=0,1,2,...,n+m)，由獨立性有由得所以Z=X+Y服從二項分布B(n+m,p)k=0,1,2,...,n+m設隨機向量(X,Y)的聯合密度函數為f(x,y),記Z=g(X,Y).(1)求Z的分布函數(2)對FZ(z)求導即得Z的概率密度函數fZ(z).隨機變量函數的概率密度函數一般求法--分布函數法:二、二維連續型隨機變量函數的分布

例

（習題3-44）設隨機變量X

與Y

相互獨立，且均服從

N（0，1），試求的密度函數

解由于X和Y相互獨立，且服從N（0，1）則（X，Y）的聯合密度函數為：所以1.Z=X+Y和的分布公式（卷積公式）：

設連續隨機變量(X,Y)密度函數為f(x,y)，則

Z=X+

Y的密度函數為

和的分布（卷積公式）推導:由此可得Z=X+Y概率密度函數為(卷積公式）：由于X與Y

對稱,獨立情形卷積公式：

設連續隨機變量X與Y獨立，則

Z=X+

Y的密度函數為卷積公式的應用例3.6.4

X與Y是獨立的正態變量,

求Z=X+

Y的分布.解：正態分布的可加性若XN(

)，Y

N(

)，注意：

X

Y不服從N().且獨立，則Z=X+YN().

X

YN().獨立正態變量的線性組合仍為正態變量.(見下)獨立正態變量的線性組合仍為正態變量Xi

~N(i,i2),i=1,2,...n.且Xi

間相互獨立,實數a1,a2,...,an

不全為零,則伽瑪分布的可加性(例3.6.5)若XGa(1,)，Y

Ga(2,)，注意：

X

Y不服從Ga(12,).且獨立，則Z=X+YGa(1+2,).證明2分布的可加性若X2(n1

)，Y

2(n2

)，注意：

(1)X

Y不服從2分布.且獨立，則Z=X+Y2(n1+n2).

(2)若Xi

N(0,1)，且獨立，則

Z=2(n).注意點

(1)獨立的0-1分布隨機變量之和服從二項分布.

(2)獨立的指數分布隨機變量之和服從伽瑪分布.例

設X與Y獨立，X～U(0,1),Y～Exp(1).

試求

Z=X+Y的密度函數.解:被積函數的非零區域為：0<x<1且

zx>0用卷積公式：(見下圖)xz1z=x因此有(1)z<0時fZ(z)=0;(2)0<z<1時,fZ(z)=(3)1<z時,fZ(z)=1***.Z=X-Y差的分布公式：

設連續隨機變量(X,Y)密度函數為f(x,y)，則

Z=X-Y的密度函數為2.Z=XY積的分布公式：

設連續隨機變量(X,Y)密度函數為f(x,y)，則

Z=XY的密度函數為3.Z=X/Y商的分布公式：

設連續隨機變量(X,Y)密度函數為f(x,y)，則

Z=X/Y的密度函數為三、極值的分布Y=max{X1,X2,…,Xn};Z=min{X1,X2,…,Xn}.一般情況結論(例3.6.7-3.6.10)例解

例

設系統L由兩個相互獨立的子系統L1和L2聯接布成，聯接方式分別為（1）串聯（2）并聯（3）備用（當系統L１損壞時，系統L２開始工作），如圖所示。設L１和L２的壽命X,

Y分別服從指數分布