《相交線與平行線》全章復習與鞏固(提高)知識講解【知識網絡】一股情況相S兩條直線垂錢—鄰補角互補對頂角相等—存在性和唯一性L垂線段漿短一股情況相S兩條直線垂錢—鄰補角互補對頂角相等—存在性和唯一性L垂線段漿短鄰補角對頂角第三條所截兩峯直線被點到直統的距離同位角、內錯角“同旁內角平行線平廿公理及其推論平行踐的判定平行線的性質兩條平行線的距離【要點梳理】要點一、兩條直線的位置關系同一平面內兩條直線的位置關系：相交與平行.要點詮釋：只有一個公共點的兩條直線叫做相交直線，這個公共點叫做交點在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線平行用符號“〃”表示.對頂角、補角、余角定義：由兩條直線相交構成的四個角中，有公共頂點且兩邊互為反向延長線的兩個角叫做對頂角.如果兩個角的和是180°，那么這兩個角互為補角，簡稱互補，其中一個角叫做另一個角的補角.類似地，如果兩個角的和是90°，那么這兩個角互為余角.簡稱互余，其中一個角叫做另一個角的余角.性質：同角或等角的余角相等.同角或等角的補角相等.對頂角相等.垂線(1)垂線的定義：兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就稱這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫垂足.垂直用符號“丄”表示,如下圖.垂線的性質：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.垂線段最短.點到直線的距離：從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.要點二、平行線的判定與性質1平行線的判定判定方法1：同位角相等，兩直線平行.判定方法2：內錯角相等，兩直線平行.判定方法3：同旁內角互補，兩直線平行.要點詮釋：根據平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有：平行線的定義：在同一平面內，如果兩條直線沒有交點(不相交)，那么兩直線平行.如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行(平行線的傳遞性)?在同一平面內，垂直于同一直線的兩條直線平行.平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.平行線的性質性質1：兩直線平行，同位角相等；性質2：兩直線平行，內錯角相等；性質3：兩直線平行，同旁內角互補.要點詮釋：根據平行線的定義和平行公理的推論，平行線的性質還有：若兩條直線平行，則這兩條直線在同一平面內，且沒有公共點.如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直，那么它必與另一條直線垂直.兩條平行線間的距離如圖，直線AB〃CD,EF丄AB于E,EF丄CD于F,則稱線段EF的長度為兩平行線AB與CD間的距離.要點詮釋：兩條平行線之間的距離處處相等.初中階級學習了三種距離，分別是兩點間的距離、點到直線距離、平行線間的距離?這三種距離的共同點在于都是線段的長度，它們的區別是兩點間的距離是連接這兩點的線段的長度,點到直線距離是直線外一點引已知直線的垂線段的長度平行線間的距離是一條直線上的一點到與之平行的另一直線的距離.如何理解“垂線段”與“距離”的關系：垂線段是一個圖形，距離是線段的長度，是一個量，它們之間不能等同.要點三、用尺規作線段和角用尺規作線段用尺規作一條線段等于已知線段.用尺規作一條線段等于已知線段的倍數.用尺規作一條線段等于已知線段的和.用尺規作一條線段等于已知線段的差.用尺規作角用尺規作一個角等于已知角.用尺規作一個角等于已知角的倍數.用尺規作一個角等于已知角的和.用尺規作一個角等于已知角的差.【典型例題】類型一、兩條直線的位置關系▼1.⑴如圖(1)已知直線AB，CD相交于點0.(2)如圖(2)已知直線AE，BD相交于點C.分別指出兩圖中哪些角是鄰補角？哪些角是對頂角？

【答案與解析】解：(1)鄰補角是ZD0A與ZA0C,ZA0E與ZE0B,ZB0C與ZC0A,ZC0E與ZD0E,ZD0A與ZDOB,ZDOB與ZB0C；對頂角是ZAOD與ZC0B,ZA0C與ZD0B.(2)鄰補角是ZACB與ZACD,ZECD與ZDCA,ZDCE與ZECB,ZECB與ZACB；對頂角是ZACB與ZDCE,ZBCE與ZACD.【總結升華】當需要寫出的角較多時，寫完后再計算一下個數，可以檢驗是否寫全如圖，直線AB、CD相交于點0,過點0作兩條射線0M、0N,且ZA0M=ZC0N=90°若0C平分ZAOM,求ZA0D的度數.若Z1=2zB0C，求ZA0C和ZM0D.4【答案與解析】解：①ZA0M=ZC0N=90°,0C平分ZA0M,.??Z1=ZA0C=45°,.??ZA0D=180°-ZA0C=180°-45°=135°；②VZA0M=90°,.??ZB0M=180°-90°=90°,VZ1^ZB0C,4.??Z1=gzB0M=30°,.??ZA0C=90°-30°=60°,ZM0D=180°-30°=150°.

【總計升華】本題考查了角平分線定義和角的有關計算的應用，解此題的關鍵是能根據角平分線定義和已知求出各個角的度數.舉一反三：【變式】如圖，已知直線AB和CD相交于0點，ZC0E=90°,OF平分ZA0E,ZC0F=28°,D【答案】解：由角的和差，得ZE0F=ZC0E-C0F=90°-28°=62°由角平分線的性質，得ZA0F=ZE0F=62°.由角的和差，得ZA0C=ZA0F-ZC0F=62°-28°=34°.由對頂角相等，得ZB0D=ZA0C=34°.類型二、平行線的性質與判定Z1=ZB，Z2=ZD，試說明Z1=ZB，Z2=ZD，試說明BE丄DE.【思路點撥】這是初學幾何時較為復雜的題目，通常是過“拐點”（拐角處的頂點）作平行線為輔助線，把一個大角分成兩個角，分別與兩個已知角建立起了聯系.【答案與解析】解：過E點作EF〃AB,因為AB〃CD（已知），

所以EF〃CD.所以Z4=ZD（兩直線平行，內錯角相等）.又因為ZD=Z2（已知），所以Z4=Z2（等量代換）.同理，由EF〃AB,Z1=ZB,可得Z3=Z1.因為Z1+Z2+Z3+Z4=180°（平角定義），所以Z1+Z2=Z3+Z4=90°，即ZBED=90°.故BE丄DE.【總結升華】解此題的關鍵是如何構造平行關系，即過哪一點作哪條直線的平行線，只有通過適當的練習才能逐步達到熟練解題的目的.舉一反三：【變式1】已知直線AB〃CD，當點E在直線AB與CD之間時，有ZBED=ZABE+ZCDE成立；而當點E在直線AB與CD之外時，下列關系式成立的是（）.ZBED=ZABE+ZCDE或ZBED=ZABE-ZCDEZBED=ZABE-ZCDEZBED=ZCDE-ZABE或ZBED=ZABE-ZCDEZBED=ZCDE-ZABE【答案】C（提示：過點E作EF〃AB）【變式2】如圖，兩直線AB、CD平行，則Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6= .【答案】900°【答案】900°0.如圖，已知CD//EF—ABC，求證：AB//GF.【答案與解析】證明：如圖，過點C做CK〃FG，并延長GF、CD交于點H,???ZCHG=Z1（兩直線平行，同位角相等）.又TCK〃FG,???ZCHG+Z2+ZBCK=180°（（兩直線平行，同旁內角互補）.???Z1+Z2+ZBCK=180°（等量代換）.???Z1+Z2=ZABC（已知）,???ZABC+ZBCK=180°（等量代換）.???CK〃AB（同旁內角互補，兩直線平行）.???AB〃GF（平行的傳遞性）.【總結升華】反復應用平行線的判定與性質，見到角相等或互補，就應該想到判斷直線是否平行，見到直線平行就應聯想到角相等或互補.類型三、用尺規作線段和角5.已知：如圖，AB//CD，BC//DE,ZB=70°,（1） 求ZD的度數.（2） 用尺規在圖上作一個Zd,使Za=ZD—ZB（不寫作法，保留痕跡）.CDCD【思路點撥】（1） 根據作一個角等于已知角的方法即可作出；（2） 根據平行線的性質即可求解.【答案與解析】解：（1）TAB//CD,BC//DE,???ZC=ZB=70°,ZD=180°-ZC=180°-70°=110°.（2）作法如圖：【總結升華】本題考查了基本作圖：作一個角等于已知角的差，以及平行線的性質定理，正確掌握基本作圖是關鍵.類型四、實際應用6?手工制作課上，老師先將一張長方形紙片折疊成如圖所示的那樣，若折痕與一條邊BC的夾角ZEFB=30。，你能說出ZEGF的度數嗎？【思路點撥】長方形的對邊是平行的，所以AD〃BC,可得ZDEF=ZEFG=30°，又因為折后重合部分相等，所以ZGEF=ZDEF=30°，所以ZDEG=2ZDEF=60。，又因為兩直線平行，同旁內角互補，所以ZEGC=180°—ZDEG，問題可解.【答案與解析】解：因為AD〃BC（已知）,所以ZDEF=ZEFG=30°（兩直線平行，內錯角相等）.因為ZGEF=ZDEF=30°（對折后重合部分相等），所以ZDEG=2ZDEF=60°.所以ZEGC=180°—ZDE