第8課時三角形中的幾何計算、解三角形的實際應(yīng)用舉例1．仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線

的角叫仰角，在水平線

的角叫俯角(如圖①)．2．方位角從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)．上方下方【思考探究】1.仰角、俯角、方位角有什么區(qū)別？提示：

三者的參照不同．仰角與俯角是相對于水平線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的．3．方向角相對于某一正方向的水平角(如圖③)(1)北偏東α°即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α°到達目標方向．(2)北偏西α°即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α°到達目標方向．(3)南偏西等其他方向角類似．【思考探究】2.如何用方位角、方向角確定一點的位置？提示：

利用方位角或方向角和目標與觀測點的距離即可唯一確定一點的位置．1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β之間的關(guān)系是()A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°解析：

根據(jù)仰角與俯角的含義，畫圖即可得知．答案：

B2．若點A在點B的北偏西30°，則B點在A點的()A．西偏北30°B．西偏北60°C．南偏東30° D．東偏南30°解析：

如圖，可知B在點A的南偏東30°或東偏南60°.答案：

C答案：

A4．輪船A和輪船B在中午12時同時離開海港O，兩船航行方向的夾角為120°，兩船的航行速度分別為25nmile/h、15nmile/h，則下午2時兩船之間的距離是________nmile.答案：705．．如如圖圖，，為為了了測測量量河河的的寬寬度度，，在在一一岸岸邊邊選選定定兩兩點點A，B望對岸的的標記物物C，測得∠CAB＝30°°，∠CBA＝75°°，AB＝120m，，則這條條河的寬寬度為________m.解析：如圖，在在△ABC中，過C作CD⊥AB于D點，則CD為所求寬寬度，在在△ABC中，∵∠CAB＝30°°，∠CBA＝75°°，∴∠ACB＝75°°，∴AC＝AB＝120m.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝120sin30°＝60(m)，因此這條條河寬為為60m.答案：60以平面幾幾何圖形形為背景景，求解解有關(guān)長長度、角角度、面面積、最最值和優(yōu)優(yōu)化等問問題，通通常是轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化到三三角形中中，利用用正、余余弦定理理加以解解決．在在解決某某些具體體問題時時，常先先引入變變量(如邊長、、角度等等)，然后把把要解的的三角形形的邊或或角用所所設(shè)變量量表示出出來，再再利用正正、余弦弦定理列列出方程程，解之之．如右圖，，D是直角△ABC斜邊BC上一點，，AB＝AD，記∠CAD＝α，∠ABC＝β.(1)證明明：sinα＋cos2β＝0；；(2)若AC＝DC，求β的值．．解析：：(1)證明明：∵AB＝AD，則∠ADB＝β，∴∠C＝β－α.又∠B＋∠C＝90°，，即2β－α＝90°，，則2β＝90°＋＋α，cos2β＝－sinα，即cos2β＋sinα＝0.①【變式式訓(xùn)練練】1.如圖圖，在在四邊邊形ABCD中，已已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠∠BDA＝60°，，∠BCD＝135°°，則則BC的長為為________．解析：：在△ABD中，設(shè)設(shè)BD＝x，則BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2··10x·cos60°，，整理得得x2－10x－96＝0，求距離離問題題要注注意：：(1)選定定或確確定要要創(chuàng)建建的三三角形形，要要首先先確定定所求求量所所在的的三角角形，，若其其他量量已知知則直直接解解；若若有未未知量量，則則把未未知量量放在在另一一確定定三角角形中中求解解．(2)確定定用正弦定定理還是余余弦定理，，如果都可可用，就選選擇更便于于計算的定定理．測量高度問問題一般是是利用地面面上的觀測測點，通過過測量仰角角、俯角等等數(shù)據(jù)計算算物體的高高度，這類類問題一般般用到立體體幾何知識識，先把立立體幾何問問題轉(zhuǎn)化為為平面幾何何問題，再再通過解三三角形加以以解決．如如圖，，測量河對對岸的塔形形建筑AB，A為塔的頂端端，B為塔的底端端，河兩岸岸的地面上上任意一點點與塔底端端B處在同一海海拔水平面面上，現(xiàn)給給你一架測測角儀(可可以測量仰仰角、俯角角和視角)，再給你你一把尺子子(可以測測量地面上上兩點間距距離)，圖圖中給出的的是在一側(cè)側(cè)河岸地面面C點測得仰角角∠ACB＝α，請設(shè)計一一種測量塔塔建筑高度度AB的方法(其其中測角儀儀支架高度度忽略不計計，計算結(jié)結(jié)果可用測測量數(shù)據(jù)所所設(shè)字母表表示)．【變式訓(xùn)練練】3.A、B是海平面上上的兩個點點，相距800m，在A點測得山頂頂C的仰角為45°，∠∠BAD＝120°°，又在B點測得∠ABD＝45°，，其中D是點C到水平面的的垂足，求求山高CD.測量角度問問題也就是是通過解三三角形求角角問題，求求角問題可可以轉(zhuǎn)化為為求該角的的函數(shù)值．．如果是用用余弦定理理求得該角角的余弦，，該角容易易確定，如如果用正弦弦定理求得得該角的正正弦，就需需要討論解解的情況了了．在海海岸岸A處，，發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)北北偏偏東東45°°方方向向，，距距離離A處(－－1)nmile的的B處有有一一艘艘走走私私船船，，在在A處北北偏偏西西75°°的的方方向向，，距距離離A2nmile的的C處的的緝緝私私船船奉奉命命以以10nmile/h的的速速度度追追截截走走私私船船．．此此時時，，走走私私船船正正以以10nmile/h的的速速度度從從B處向向北北偏偏東東30°°方方向向逃逃竄竄，，問問緝緝私私船船沿沿什什么么方方向向能能最最快快追追上上走走私私船船？？1．．解解三三角角形形的的一一般般步步驟驟(1)分分析析題題意意，，準準確確理理解解題題意意分清清已已知知與與所所求求，，尤尤其其要要理理解解應(yīng)應(yīng)用用題題中中的的有有關(guān)關(guān)名名詞詞、、術(shù)術(shù)語語，，如如坡坡度度、、仰仰角角、、俯俯角角、、方方位位角角等等．．(2)根根據(jù)據(jù)題題意意畫畫出出示示意意圖圖．．(3)將將需需求求解解的的問問題題歸歸結(jié)結(jié)到到一一個個或或幾幾個個三三角角形形中中，，通通過過合合理理運運用用正正弦弦定定理理、、余余弦弦定定理理等等有有關(guān)關(guān)知知識識正正確確求求解解．．演演算算過過程程中中，，要要算算法法簡簡練練，，計計算算正正確確，，并并作作答答．．(4)檢驗驗解解出出的的答答案案是是否否具具有有實實際際意意義義，，對對解解進進行行取取舍舍．．2．．解解斜斜三三角角形形實實際際應(yīng)應(yīng)用用舉舉例例(1)常常見見幾幾種種題題型型測量量距距離離問問題題、、測測量量高高度度問問題題、、測測量量角角度度問問題題、、計計算算面面積積問問題題、、航航海海問問題題、、物物理理問問題題等等．．(2)解解題題時時需需注注意意的的幾幾個個問問題題①要注注意意仰仰角角、、俯俯角角、、方方位位角角等等名名詞詞，，并并能能準準確確地地找找出出這這些些角角；；②要注意將平面面幾何中的性性質(zhì)、定理與與正、余弦定定理結(jié)合起來來，發(fā)現(xiàn)題目目中的隱含條條件，才能順順利解決．(3)解題的的基本思路運用正、余弦弦定理處理實實際測量中的的距離、高度度、角度等問問題，實質(zhì)是是數(shù)學(xué)知識在在生活中的應(yīng)應(yīng)用，要解決決好，就要把把握如何把實實際問題數(shù)學(xué)學(xué)化，也就是是一個抽象、、概括的問題題，即建立數(shù)數(shù)學(xué)模型．從近兩年的高高考試題來看看，利用正弦弦定理、余弦弦定理解決與與測量、幾何何計算有關(guān)的的實際問題是是高考的熱點點，一般以解解答題的形式式考查，主要要考查計算能能力和分析問問題、解決實實際問題的能能力，常與解解三角形的知知識及三角恒恒等變換綜合合考查．(本小小題滿滿分12分分)(2009·海海南、、寧夏夏卷)為了了測量量兩山山頂M、N間的距距離，，飛機機沿水水平方方向在在A、B兩點進進行測測量．．A、B、M、N在同一一個鉛鉛垂平平面內(nèi)內(nèi)(如如示意意圖)．飛飛機能能夠測測量的的數(shù)據(jù)據(jù)有俯俯角和和A、B間的距距離．．請設(shè)設(shè)計一一個方方案，，包括括：①指出需需要測測量的的數(shù)據(jù)據(jù)(用用字母母表示示，并并在圖圖中標標出)；②用文字字和公公式寫寫出計計算M、N間的距距離的的步驟驟．【規(guī)范范解答答】方方案案一：：①需要測測量的的數(shù)據(jù)據(jù)有：：A點到M、N點的俯俯角α1、β1；B點到M、N的俯角角α2、β2；A、B間的距距離d(如圖圖所示示).3分分【閱后后報告告】本題要要求考考生設(shè)設(shè)計方方案解解決問問題，，方案案的第第一步步都應(yīng)應(yīng)該是是充分分的、、完整整的，，2009年考考生普普遍犯犯的錯錯誤是是方案案一中中步驟驟不夠夠完整整，第第一步步、第第二步步?jīng)]能能由正正弦定定理把把AM、AN應(yīng)用所所測數(shù)數(shù)據(jù)表表示出出來，，造成成因解