淺談異面直線所成的角

/

則∠DB

E

就是異面直線DB

與BC

則∠DB

E

就是異面直線DB

與BC

DE交AB于

，∠DBE=

∴∠DB

E=

式法。一、幾何法：平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點通常選擇特殊位置的常用的方法之一。

ABCD—AB

，AA=4

B與

BC所成角的大小。直接平移：常見的利用其中一個直線

a

和另一個直線

b

上的一個已知點，構成一個平面，在此平面內做直線a

的平行線。解法一：如圖④，過

B

點作

交

CB

的延長線于

E

點。

?！螩

B

E=135°，C

E=3

，∠C

BE=

，∴∠C

BE=∠C

B

E=135°，C

E=3

，∠C

BE=

，∴∠C

BE=

。

則∠C

BE

就是異面直線

DB

與

BC

所成的角，連結

Ceq

\o\ac(△,1)E，在 B

C

E

中，

/

課堂思考：

j

Cj

B

A

B

C B2.在長方體

AB

B

=45,=60,

.

中位線平移法角轉化為平面問題，解三角形求之。解法一：如圖①連結

B

交

BC于

，過

點作

∥DB，則∠BOE

為所求的異面直線

DB與

BC

EB

B

，BC=5，

，∴∠BOE=

∴∠BOE=

解法二：如圖②，連

DB、AC

交于

O

點，過

O

點作

OE∥DB

，過

E

點作

EF

/

∥C

B，則∠OEF

或其補角就是兩異面直線所成的角，過

O

點作

OM∥DC，連結MF、OF。則

OF=

，∠OEF=

，∴異面直線

BD

與

BC

所成的角為

?；蚱溲a角就是異面直線 DB

與

BC

所成的角。在△

ADF

中

DF=

，

∠或其補角就是異面直線 DB

與

BC

所成的角。在△

ADF

中

DF=

，

∠

ABC

D

中過點

O

作

EF∥BC

交

C

于

DOF=

，∴∠DOF=

。 課堂練習1．在正四面體

BBC

所成的角，連BC

所成的角，連

C

D

，則△C

D

C

為

∠C

BD

，C補形法分析：在已知圖形外補作一個相同的幾何體，以例于找出平行線。解法一：

如圖⑥，以四邊形 ABCD

為上底補接一個高為 4

的長方體ABCD-A

B

C

D

，連結

D

B，則

DB

BD

或其補角就是異面直線DB

與

/

∴異面直線

DB與

BC所成的角是

。

之一。常有向量幾何法和向量代數法兩種。解法一：如圖⑦，連結

DB、DC

，設異面直線

DB

與

BC

所成的角為

，

，而

=

(

)=

+

+=

〈

，

〉

C

〈

，

〉+ ∵ BB

∴

〈

∴

〈

，

〉=〈

，

〉=∠D

DB

∠DDB=

/

〈

，

〉=180°－∠DB

C 〈

，

〉=180°－∠DB

C

∵∠DBC=

∴〈

，

〉=－∠DBC

=7 ∴

=

，

解法二：如圖⑧，建立如圖所示的空間直角坐標系，則

設

和

的夾角為

， 則

=

∴異面直線

與

所成的角為

。 課堂練習：

C（2，0，0），B（2，1，0）、D1（0，0，2），

/

?

?

?

?

?

/

PO、PB，垂足為

在直角△AOP

在直角△AOP

在直角△ABP

在直角△ABC

PB

C

CB

BA

A

C

CC

B

CC

, .

講解習題：例1

1

1

1

1

1

1

1例2

BC=45°，∠B

1

1

1

1

1

1

1

1例3

的中點，N

1

1

1

/

3）（1992

例4

ABCD－A

=c，AB=a，AD=b，且

1

1

1

1

1

1作業：

的中心，E，F

1 1 1 1

的距離；（2）異面直線

1

1

ABCD－A

1 1 1 1 1 1 1 1度數；（2）A

所成的角的度數；（3）AB

1

11

1

1

1

1

EF

AB

EF

BC

/

BE.CF

EGBG

BEG

BE.

BEG

.:

==2=1

EF

E

GF

A

B

E

F

E

F

E

GF

eq

\o\ac(△,B)GF

GF

GF

F

(

(

(

?GF

?

?

FG

E

F

MN

DE

Eeq

\o\ac(△,∠)

DE

DE

MN

_________ MF

M

N

N圖

E圖

EEDED

AE

BGED ED

/

圖

BEA

A

ABBCDE

BGAE

AE

AE

.B

A

_____AE

eq

\o\ac(△,Rt)

EF

.

DE

/

DE

. eq

\o\ac(△,A)

=

=DE=

,=

=

DE

.

b,

.

..解:

由已知得

b

,

,

,

,