2.712{樣本X中的信息={T(X)中所含樣本的信息+{在知道T(X)后樣本X含有的剩余信息因此T(X)為充分統計量的要求歸結要求后一項信息為用統計語言描述為，即要P(XA|Tt)3樣本X的條件分布與參數無關，則稱Ｔ(Ｘ)充分統計量必存順序(次序)統計量是充分統計4nT(X)

為充分統計n件概率與參數無關.nxit0P(X1x1,X2 ,Xnxn|T5P(X1x1,X2 ,Xnxn|Tt0P(X1x1,X2 ,Xnxn,Tt0)P(X1x1,X2 ,Xnt0-

t0 nt t0

nt t06因此P(X1x1,X2

,Xnxn|T(x)t0)n

xinnt0

xinnn因此TXXi是充分統計量i 例2.7.2設X=(X1,X2,…,Xn)是從正態總體n中抽取的樣nT(X)

Xini

為充分統計時X的概率分布與參數無關.但是計算復其中A是正交陣,8nn1 1 1nn nA

a2naann因

nn1Xi nnnnn,Y X,j,

k

9ii ii由定理2.2.3的證明過程可

Y2X2Y,Y

,Y1~N( Yi~N(0,1),i2,,，XX(X1,X2, ,Xn性Y1Y1,Y2, Y1,Y2 n/

1

y21(y 2f(y1,y2

22

n)

f(y exp1(y f(y,

,y|y)=f(y1,y2,yn ,yn

fY(1

1

i2i

y2TXX

例2.7.3設X=(X1,X2,…,Xn)是從指數分布Exp(中抽取的樣nT(X)

為充分統計證明：X1的概率密度f(x,) xn則X=(X1,X2,…,Xn)的聯合nf(x,)ne

ii作變

Y1Yn1Xn1XnX1XXnnnTX)Xi 對原樣本 的充分性等價 因此只要證明給定Yn=ynTt)(Y1,Y2,…,Yn)的條件密度和無關即可 , ,t)=n

,n1n由 T(X)Xi~G(n,nn因此TXXinfT(t)

n

[t

n

[ n給定Tt(Y1,Y2,…,Yn)的條件密nf(

,

,y|Tt)=f(

fT(t)f(

,

,y|Tt)=f(

fT(t)n n yi0,yit,i

n [t

[tf(

,

,y|Tt)=f(

fT(t)n n

[tnTX)Xin例2.7.4設X=(X1,X2,…,Xn)是從正態總TXX1不是充分統計證明：在T(XX1X1,X2,…,Xn的條件密度f(x,x ,x|T(x)x)f

,xn,T(x)

f(x ,x)

(x)2

TXX1充分性的判別準則—— ，TTX)TTX)fx,) 推論2.7.1設TTX)為S(T) 例2.7.5設X=(X1,…,Xn)是從正態總體N(,2中抽取的樣本，

)2T(X)(Xi,Xi)2

為充分統計 XX1X2,

n/

2 exp

)n/

1

2 exp

xi

2xin

其中 根據因子分解定 T(X)(X,X2為充分統計量

由

X,

X2

(X,S2

(X,S2例2.7.6設X=(X1,X2,…,Xn)是從總體nT(X)XiXX1

為充分統計nf(x,)=P(X1 nnn

其中根據因子分解定為充分統計量

T(X)Xinn例2.7.7設X=(X1,…,Xn)是從均勻分布U(0,中抽取的樣本T(X)X(n) ,

為充分統計X(X1,X2 f(x,其中

根據因子分解定理，知TXX(n)為充分統計量例2.7.8設X=(X1,…,Xn)是從均勻分U(12,12中抽取的樣本，利用因子分解定理驗X不是充分統計量,Xn,XnX(n),XnX(1)T(X)(X(1),X(n) f(x,

-1/2<x

x(

(n)

其中

根據因子分解定T(X)(X(1),X(n)為充分統計量 根據因子分解定T(X)(X(1),X(n)為充分統計量若 為充分統計量則它必能由因子分解定理表示出來根據上述證明說不能表示

f(x,g(x,的形式 因此，X不是充分統計量例設X(X1 ,Xn)是從指數族中抽取的樣kf(x,)C()exp{Qi()Ti(x)}h(ki則T(X)(T1(X),T2(X ,Tk(X))為充分統計量證明:樣本X的聯合密度為kf(x,)C()exp{Qi()ti(x)}h(kig(t(x),)h(kf(x,)C()exp{Qi()ti