專題02平面向量技巧導圖技巧導圖技巧詳講技巧詳講一：奔馳定理1：奔馳定理內容---三角形的面積比等于其所對應的系數比已知是內的一點，的面積分別為，，，求證：2.推導過程證明方法一：如圖延長與邊相交于點則推論是內的一點，且，則二.極化恒等式2.推導過程：三角形的四心1.推論重心：中線的交點，①是的重心②中線長度分成2：1③=內心：角平分線的交點（內切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等①是的內心②外心：①是的外心②垂心：高線的交點，高線與對應邊垂直①是的垂心:證明：如圖為三角形的垂心，同理得，②由，得，即，所以．同理可證，．技巧舉證技巧舉證技巧1奔馳定理【例1】是內一點，滿足，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】技巧法：公共點P，三角形ABC，則常規法：是內一點，且滿足，．延長到，使得，延長到，使得，連結、、，則．是的重心，設，則，，，，．故選：．技巧法注意事項技巧法注意事項條件一般是3個同起點的向量相加減且等于零向量，若系數有正有負則公共點在三角形外，系數都為正則公共點在三角形內三角形所對應的向量的找法圖像法：三角形頂上的向量頂點法：公共點即起點，剩余3點構成三角形的三個頂點，對應的向量兩個點其中一個點為公共點，另外一點則是三角形的頂點。【舉一反三】1.已知所在平面內一點，滿足，則與的面積的比值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】技巧法,所以,即公共點為P，三角形ABC，則所對應的向量，其系數為2，為整個三角形，其所對應的系數為三個向量的系數,6，所以面積比為常規法：如圖所示,,所以,即,所以,設和的中點分別為,則由可得,即,即點是的中位線上靠近點的三等分點,所以,故選:C2.（廣東省深圳外國語學校2020）點是所在平面上一點，若，則與的面積之比是（）A．3 B．2 C． D．【答案】D【解析】技巧法：公共點為A，三角形為PCB，則與對應的向量為，則與的面積之比為常規法：點是所在平面上一點，過作，如下圖所示：由，故，所以與的面積之比為，故選：D．3.（天津市紅橋區2019）已知點O是內一點，滿足，，則實數m為（）A．2 B．-2 C．4 D．-4【答案】D【解析】技巧法：，常規法：由得：設，則三點共線如下圖所示：與反向共線本題正確選項：技巧2三角形的四心【例2-1】點O是△ABC所在平面內的一點，滿足，則點O是的__________心．【答案】垂【解析】，即同理可得：，點為的垂心本題正確結果：垂【例2-2】（黑龍江省哈爾濱市哈爾濱師范大學附屬中學）在中，設，則動點M的軌跡必通過的（）A．垂心 B．內心 C．重心 D．外心【答案】D【解析】設為中點，則為的垂直平分線軌跡必過的外心本題正確選項：【舉一反三】1.（河北省保定市）過內一點任作一條直線，再分別過頂點作的垂線，垂足分別為，若恒成立，則點是的（）A．垂心 B．重心 C．外心 D．內心【答案】B【解析】本題采用特殊位置法較為簡單.因為過內一點任作一條直線，可將此直線特殊為過點A，則，有.如圖：則有直線AM經過BC的中點，同理可得直線BM經過AC的中點，直線CM經過AB的中點，所以點是的重心，故選B.2．（遼寧朝陽柳城高中）設點P是△ABC所在平面內一點，，則點P是△ABCA．內心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】D【解析】由于點P是△ABC所在平面內一點，，同理可知,則說明點P是三角形ACB的垂心，故選D.3．設點O是三角形ABC所在平面上一點，若，則點O是三角形ABC的________心．【答案】外心【解析】由可得點到三角形各頂點的距離相等，所以點是三角形的外心故答案為外心.4．設是平面內一定點，為平面內一動點，若，則為的（）A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】若可得，即為即有，則，故O為的外心，故選B.技巧3極化恒等式【例3】（1）（2020福建省南平市）在中，若，邊上中線長為3，則（）A．-7 B．7 C．-28 D．28（2）（2020屆河南省八市重點高中聯盟領軍）在中，，點在上，且，若，則的值是（）A． B． C． D．【答案】（1）A（2）A【解析】（1）在中，設的中點為，則.由題意知：.則故選A.（2）如圖，設的中點為.因為.因為，所以.又因為，所以，，所以.故選：A.【舉一反三】1.（2018?天津）如圖，在平面四邊形中，，，，．若點為邊上的動點，則的最小值為A． B． C． D．3【答案】A【解析】如圖所示，以為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，過點做軸，過點做軸，，，，，，，，，，，，，，，設，，，，，，當時，取得最小值為．故選：．2.（2017年新課標2）已知是邊長為4的等邊三角形，為平面內一點，則的最小值是A． B． C． D．【答案】D【解析】則A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），設P（x，y），則=（﹣x，2﹣y），=（﹣2﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣y），所以?（+）=﹣x?（﹣2x）+（2﹣y）?（﹣2y）=2x2﹣4y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣3]；所以當x=0，y=時，?（+）取得最小值為2×（﹣3）=﹣6．故選D．3．（2020屆湖北省武漢市）已知等邊△ABC內接于圓：x2+y2=1，且P是圓τ上一點，則的最大值是（）A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】如圖所示建立直角坐標系，則，，，設，則.當，即時等號成立.故選：.技巧強化技巧強化1．（2020上海市控江中學）點在△內部，且滿足，則△的面積與△、△面積之和的比為________【答案】【解析】技巧法：由奔馳定理可得常規法：作，則，，.以為鄰邊作平行四邊形，連接，交于，如圖所示：，.根據與相似得：，；，，，，的面積與、面積之和的比為．故答案為：．2．已知點P在△ABC所在的平面內，若2＋3＋4＝3，則△PAB與△PBC的面積的比值為__________．【答案】【解析】由2＋3＋4＝3，得2＋4＝3＋3，∴2＋4＝3，即4＝5.∴3．（2020屆山西省太原市第五中學校）設點在的外部，且，則。【答案】3:1【解析】技巧法：有奔馳定理可得3:1常規法：連接并延長至，滿足，連接并延長至，滿足，連接并延長至，滿足，如圖所示.所以可得，，.因為，所以，即為的重心，所以可得，因為，所以而所以，同理，，所以，所以.4．(2020·哈爾濱三模)已知O為正三角形ABC內一點，且滿足，若△OAB的面積與△OAC的面積比值為3，則λ的值為。【答案】【解析】設AC、BC邊的中點為E、F，則由，得∴點O在中位線EF上．∵△OAB的面積與△OAC的面積比值為3，∴點O為EF上靠近E的三等分點，∴λ＝.5．（2020屆海南省全國大聯考）設點是的重心，且滿足，則。【答案】【解析】因為點是的重心,所以,因為,由正弦定理可得,所以,即,故,則,則由余弦定理可得.6．若在△中,，其外接圓圓心滿足，則__________.【答案】【解析】由，得為△的重心，又為外接圓圓心，所以可得△為等邊三角形，故.7．已知是銳角的外心，．若，則實數______．【答案】【解析】設外接圓的半徑為，∵，∴，∵，，∴，即，即，故，故，故，故答案為：．8．（2020湖北省重點高中聯考協作）已知是平面上一定點，滿足，，，則的軌跡一定通過的（外心 、垂心、重心、內心）【答案】B【解析】技巧法：由四心可知為垂心常規法：，，即，，，，∴與垂直，即，點P在BC的高線上，即P的軌跡過的垂心.故選：B．9．已知O，N，P在所在平面內，且，，且，則點O，N，P依次是的（填三角形的四心）【答案】外心重心垂心【解析】由題：，所以O是外接圓的圓心，取中點，，，即所在直線經過中點，與中線共線，同理可得分別與邊的中線共線，即N是三角形三條中線交點，即重心，，，，，即，同理可得，即P是三角形的垂心.10．（2020河南省八市重點高中聯盟）已知是半徑為1的圓的一條直徑，點是圓上一動點，則的最大值等于。【答案】2【解析】，當為圓直徑時取等號，11．（2020屆江蘇省無錫市）正方形的邊長為2，圓內切于正方形，為圓的一條動直徑，點為正方形邊界上任一點，則的取值范圍是______.【答案】【解析】由題可得：，故答案為：12．（2020屆江蘇省蘇州市張家港市）已知正方形的邊長為4，是的中點，動點在正方形的內部或其邊界移動，并且滿足，則的最小值是______．【答案】【解析】如圖所示，由，則.

動點在以為直徑的半圓上，取的中點.所以又動點在以為直徑的半圓上，設圓心為，半徑為1.所以的最小值為.所以．故答案為：13．（2020屆江蘇省沭陽縣）如圖所示，在中，，則的最小值是__________【答案】【解析】.設,易得.故,因為,.故當且僅當反向時取得最小值,為.故答案為：14．（