理論力學實驗、振動基礎實驗4-1-1單自由度彈簧質量系統的剛度和固有頻率測定4-1-3

用實驗方法求不規則物體重心4-1-4比較漸加、突加、沖擊和振動四種不同類型載荷4-1-5用“三線擺”法驗證均質圓盤轉動慣量理論公式4-3-1

測定梁的各階固有頻率

周期運動的最簡單形式是簡諧振動。即用時間t的正弦或余弦函數表示的運動規律。其一般表達式為

實驗4-1-1中單自由度質量彈簧系統振動和實驗4-1-5中三線擺在微小偏轉后自然釋放都可以看成是簡諧振動。

理論力學多功能實驗臺

實驗原理由彈簧質量組成的振動系統，在彈簧的線性變形范圍內，系統的變形和所受到的外力的大小成線性關系。據此，施加不同的力，得到不同的變形，由此計算系統的剛度和固有頻率fn。式中：m為系統的質量。實驗目的1．測定單自由度系統的等效剛度k。2．計算彈簧質量振動系統的固有頻率fn。

4-1-1單自由度彈簧質量系統的剛度和固有頻率測定

4-1-5用“三線擺”法驗證均質圓盤轉動慣量理論公式實驗目的1.了解并掌握用“三線擺”方法測取物體轉動慣量的方法。2.分析“三線擺”擺長對測量的誤差。三線擺示意圖“三線擺”是測取轉動慣量的一種常用方法。給擺一個微小偏轉，然后自然釋放，擺就會產生扭振。同樣的擺線長，不同的轉動慣量，擺動的周期是不相同的；而同樣的轉動慣量，不同的擺長，擺動的周期也不相同。因此，“三線擺”的擺動周期不僅與物體的轉動慣量有關，而且與擺線的長度也有關。根據擺的線長和擺動周期，可以推算出三線擺在線性振動范圍內圓盤轉動慣量計算公式為

式中：Jc為圓盤對質心的轉動慣量；m為圓盤質量；

l為擺線長；r為懸線到轉軸的距離；T為圓盤的擺動周期。

按下式計算圓盤的轉動慣量理論值

注意事項1.不規則物體的軸心應與圓盤中心重合。2.擺的初始角應小于或等于5°。3.兩個擺的線長應一致。4.實際測試時，不應有較大幅度的平動。

實驗原理物體的重心位置是固定不變的。利用柔軟細繩的受力特點及兩力平衡原理，可以用懸掛的方法確定其重心的位置。利用平面一般力系的平衡條件，測取桿件的重心位置和物體的重量。

實驗方法

（1）垂吊法將型鋼片狀試件，用細繩將其垂吊在上頂板前端的螺釘上，以此可確定此狀態下的一條重力作用線；另換一位置垂吊，又可確定另一條重力作用線。通過兩種垂吊狀態下的重力作用線，便可確定此物體的重心位置。4-1-3

用實驗方法求不規則物體重心（2）稱重法使用連桿、水平儀、積木和臺稱，利用已學力學知識，用稱重法求出連桿的重量，并確定其重心位置。實驗原理漸加載荷、突加載荷、沖擊載荷和振動載荷是常見的四種載荷。將不同類型的載荷作用在同一臺秤上，可以方便地觀察到各自的作用力與時間的關系曲線，進行相互比較，可清楚地了解不同類型的載荷對承載體的作用力是不同的。4-1-4比較漸加、突加、沖擊和振動四種不同類型載荷

實驗裝置及儀器框圖如圖4-12a所示。通過變換支承塊可改變梁的支承結構，移動支架的位置可改變梁的長短，因此該裝置不僅可作為簡支、固支系統，還可作為一端自由的懸臂系統。

4-3-1

測定梁的各階固有頻率實驗目的

用瞬態激振法確定梁的各階固有頻率。實驗原理

試件是一組矩形截面梁，從理論上說，它應有無限個固有頻率。梁的震動是無窮多個主振型的疊加。如果給梁一個大小合適的瞬態力，相當于用所有頻率的正弦信號同時激勵。使用錘擊進行瞬態激勵時，要求相應時間這里的是感興趣的頻率上限。

梁因敲擊產生的振動信號由速度傳感器獲取并將其轉換為與速度信號成正比的電信號，該信號通過測振儀放大后輸出給數據采集分析儀。

參數設置開啟各儀器的電源開關，計算機進入W2K平臺，點擊“uTekSs數據采集處理與分析系統”(參見附4.X)，進入“信號與系統分析”，點擊“工程”→“新建工程“，進入“設置”菜單或屏幕右端“采集參數”設置測量參數，具體參數選擇為：采樣頻率：5120Hz；電壓范圍：程控放大自檢最佳放大倍數；通道數：2；觸發參數：觸發方式（正觸發），觸發電平（20%），觸發延遲（-40），觸發通道（1）；采集控制：采集方式（監視采集），監視類型（頻譜），有無效控制（有）；采樣方式：內部，基準通道號（1）；數字濾波：低通，濾波頻率：下限（0），上限（5000）；數據采集：先點擊工具欄中的“示波”進入示波界面，試敲力錘，檢驗力度是否合適，合適后進入“采集”，并根據提示進行測試；測試畢，點擊工具欄中的“系統分析”→“幅值和相位”，查看測得的幅值和相位圖形，通過點擊工具欄中的“→”，“←”，或鍵盤“→”，“←”，移動光標找出與固有頻率理論計算值接近的峰值，即梁的實際固有頻率并填入記錄表格。實驗報告實驗報告內容應包括：實驗目的、實驗原理、實驗裝置與儀器框圖、實驗方法和實驗數據處理與結果分析等。兩端簡支梁f1=26.250;f2=108.75;f3=241.25兩端固支梁f1=31.250,f2=111.25,f3=223.75

一般的周期振動可以借助傅里葉級數表示成一系列簡諧振動的疊加，該過程稱為諧波分析。設周期振動x(t)

的周期是T，則有

根據傅里葉級數理論，任何一個周期函數如果滿足狄里赫利條件，則可以展成傅氏級數，即

式中

式(2)也可寫成

式中

可見，一個周期振動可視為頻率順次為基頻及整數倍的若干或無數簡諧振動分量的合成振動過程。這些分量依據n=1，2，3，…分別稱為基頻分量、二倍頻分量、三倍頻分量等等。因此，傅氏展開也稱為諧波分析。在一個周期T中的平均值。表示周期振動常數項由下式確定：稱為基頻；系數

如果函數f(t)的周期T無限增大，則f(t)成為非周期函數。傅氏積分和傅氏變換是研究非周期函數的有力手段。與周期函數不同，非周期函數的頻譜是連續曲線。

由數學知，若非周期函數f(t)滿足條件：(1)

在任一上式稱函數則式（4）可寫成的傅氏積分公式。如令可積，則在f(t)的連續點處有上絕對有限區間滿足狄氏條件；(2)

在區間以上兩式表明，與可以通過積分互相表達，式（5）叫做的傅氏變換。在

在振動力學中，又稱非周期函數的頻譜函數。頻譜函數的值一般是復數。它的稱非周期函數的頻譜或幅值頻譜。與周期函數的頻譜不同，非周期函數的頻譜是頻率的連續曲線，故稱連續頻譜。通常對一個非周期函數求傅里葉變換，即表示對作頻譜分析。

實驗4-3-1測試梁的各階固有頻率實驗中梁的振動可以看成是周期振動，其中使用錘擊實現瞬態激勵可以看成是非周期振動。用函數表示沖擊力

對作用時間短、變化急劇的力常用它的沖量進行描述。

函數的定義是（1）

定義表明只在近旁及其短暫的時間內起作用，其數值為無限大。但它對積分是有限數1。由上式的積分式可見，如果時間t以(s)記，函數的單位是1/s。

用函數表示作用在極短時間內沖擊力是很方便的。式中表示施加沖量的瞬時。

如果在t=0的瞬時施加沖量S，則相應的沖擊力F=S(t)當S=1,即施加單位沖量時，沖擊力，因此有的書中把函數又稱為單位脈沖函數。

函數的積分表達式，即

上式表明：函數可以由等振幅的所有頻率的正弦波（用余弦函數表示）來合成；換言之，函數能分解為包含所有頻率的等振幅的無數的正弦波。設此沖量的大小為S，則相應的沖擊力梁的橫向振動

實際的梁具有連續分布的質量和彈性，因此，稱之為彈性系統。并符合理想彈性體的基本假設，即均勻、各向同性、服從胡克定律。

它的振動規律要用時間和空間坐標的函數來描述，其運動方程是偏微分方程，但是在物理本質上振以及振動的基本概念、分析方法上與有限多個自由度是相似的。

由于確定彈性體上無數質點的位置需要無限個坐標，因此彈性體具有無限多個坐標，因此彈性體是具有無限多自由度的系統。梁的橫向振動微分方程

圖中的直梁在xy平面內作橫向振動。假定梁的各截面的中心慣性主軸在同一平面Oxy內，外載荷也作用在該平面，并且略去剪切變形的影響及截面繞中性軸轉動慣量的影響，因此梁的主要變形是彎曲變形，這即是通常稱為歐拉-伯努利梁的模型。

在梁上x處取長為dx的微元段。在任意瞬時t，此微元段的橫向位移用y(x,t)表示；單位長度梁上分布的外力用p(x,t)表示；單位長度梁上分布的外力矩用m(x,t)表示。記梁的密度為，橫截面積為A，材料彈性模量為E，截面對中性軸的慣性矩為J。由牛頓第二定律寫出微段沿y向的運動微分方程化簡后為

再由各力對垂直于Oxy平面的軸的力矩平衡方程，得上式就是歐拉-伯努利梁的橫向振動微分方程。由材料力學知識知。將M式代入上式，得將式(B)代入式(A)，得略去dx后的二次項并簡化后，得

對于等截面梁，E，J為常數，則上式可寫成

上式中令p(x,t)=0,m(x,t)=0,得到梁的橫向自由振動的運動微分方程二、固有頻率和主振型

上式的解可以用x的函數Y(x)與t的諧函數的乘積表示，即對于等截面梁，上式又可寫成

在Y(x)符合梁的邊界條件并具有非零解的條件下，由此方程求解p2

和振型函數Y(x)的問題，稱為梁作橫向振動的特征值問題。

其中Y(x)為主振型或振型函數，即梁上各點按振型Y(x)作同步諧振動。將上式代入上式中，得式中

根據梁的邊界條件可以確定B值及振型函數Y(x)中待定常數因子。邊界條件要考慮四個量，即撓度、轉角、彎矩和剪力梁的每個端點都與其中的兩個量有關。常見的簡單邊界條件有如下幾種:

或表示為

上式的通解為(1)固定端：在梁的固定端，撓度y與轉角等于零，即Y(x)=0

x=0或x=L(2)簡支端：在梁的簡支端，撓度y與彎矩等于零，即Y(x)=0