1.3測量誤差的理論基礎教學內容與要求掌握誤差的概念、誤差的分類、估計、評價處理方法及消除方法。11.3測量誤差的理論基礎測量目的：得到被測參數的真實值（真值）。測量誤差：由于檢測系統(儀表)不可能絕對精確，測量原理的局限、測量方法的不盡完善、環境因素和外界干擾的存在以及測量過程可能會影響被測對象的原有狀態等，使得測量結果不能準確地反映被測量的真值而存在一定的偏差，即測量誤差。2研究誤差的目的、意義：認識和掌握誤差規律正確評價檢測裝置和估計測量結果提高測量的準確度“約定真值”的得到：標準表法：通過準確度高一級的儀表測量計量器具法：通過準確度較高的計量器具進行測量平均值法：選取等精度測量條件下有限次測量的平均值31.3.1測量誤差的分類與測量不確定度1.測量誤差分類按誤差本身量綱分類絕對誤差相對誤差實際相對誤差引用相對誤差4按誤差出現的規律分類

系統誤差隨機誤差粗大誤差5

系統誤差：在相同的條件下多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變；或測量條件改變時按一定規律變化的誤差，稱為系統誤差。其誤差值恒定不變的則稱為定值系統誤差；其誤差值變化的則稱為變值系統誤差。

變值系統誤差又可分為累進性的、周期性的以及按復雜規律變化的幾種。

系統誤差的特點：遵循一定的規律，或測量條件一經確定，誤差為一確定的量值。產生原因：通常是由為數不多的確定性原因造成的。比如，測試環境沒有達到標準，測試系統安裝不正確。6系統誤差：夏天擺鐘變慢的原因是什么？擺繩熱脹冷縮，影響擺長，進而影響周期。7隨機誤差

在相同條件下多次重復測量同一被測量時，測量誤差的大小與符號均無規律變化，這類誤差稱為隨機誤差。8存在隨機誤差的測量結果中，雖然單個測量值誤差的出現是隨機的，既不能用實驗的方法消除，也不能修正，但是就誤差的整體而言，多數隨機誤差都服從正態分布規律。次數統計長度相對測量值隨機誤差的特點：隨機誤差沒有規律，不可預定，不能控制，也不能用實驗的方法加以消除。9系統誤差與隨機誤差的關系：難以嚴格區分。當某些系統誤差太復雜，找不出規律，就只能作為隨機誤差處理。當某些隨機誤差的來源和變化規律被掌握，就可以當成系統誤差去處理，將結果加以修正和預防。任何一次測量一般都同時存在兩種誤差。可以根據測量情況處理起主要作用的誤差。當兩種誤差均有較大影響時，也可以按各自的不同處理方法同時加以處理。10粗大誤差

在測量條件一定的情況下，測量值明顯偏離實際值所形成的誤差稱為粗大誤差，也稱為疏失誤差、差錯或粗差。產生粗大誤差的一個例子：雷電干擾11產生粗大誤差主要原因：讀數錯誤，測量方法錯誤、測量儀器有缺陷以及測量條件的突然變化等。凡是含有粗大誤差的測量數據稱為壞值，應剔除不用。12按使用的工作條件分類

基本誤差：儀表在規定的標準（額定）條件下所產生的誤差。附加誤差：當儀表的工作條件偏離標準（額定）條件所產生的誤差。13按誤差的特性分類(按被測量與時間的關系分類)

靜態誤差:在被測量不隨時間變化時所測得的誤差稱為靜態誤差；動態誤差:在被測量隨時間變化過程中進行測量時所產生的誤差稱為動態誤差。142.誤差產生原因系統誤差（儀器誤差）

環境誤差(影響誤差)

理論誤差與方法誤差人員誤差(人為誤差)

153.測量不確定度不確定度：對測量結果分散性的描述，對測量結果誤差限的估計。161.3.2誤差的估計和評價處理方法

隨機誤差表現出單次測量的隨機性與測量總體誤差分布的規律性特征，因此可通過統計處理的方法對誤差進行最可信估計；粗大誤差是人為造成的，可以通過加強責任感避免，也可以通過某些判據發現并剔除；系統誤差存在與否的檢驗是系統誤差分析與評價的核心問題，因為系統誤差的規律性決定其處理與補償的有效性。17復習：概率、概率密度和正態分布1.概率：自然界中，某一事件或現象出現的客觀可能性大小。必然事件的概率為1不可能事件的概率為0。可能出現也可能不出現的不可預測隨機事件的概率介于0與1之間。概率是研究隨機事件的一個統計概念，是對大量重復實驗的統計結果。當在同一條件下對某個量進行多次重復測量時，粗大誤差可以剔除；系統誤差可以修正；隨機誤差可以借助于對隨機數值的統計概率，求出其估計值及其可能性。182．概率密度與正態分布：150次測量836mm長度的結果誤差分布表（只有隨機誤差）19150次測量，11個區間誤差分布直方圖8363429179212818831831841無限次測量，無限個區間隨機誤差分布連續曲線區間寬度為0該縱坐標被稱為概率密度該連續曲線為隨機誤差正態分布曲線2．概率密度與正態分布：20—隨機變量的方差，數學上通常用D表示；—隨機變量的個數。正態分布高斯于1795年提出連續型正態分布隨機變量x的概率密度函數表達式為：

式中——數學期望值（均值）；

—自然對數的底；

—隨機變量的均方根差或稱標準偏差（簡稱標準差）；

21從概率論可知，是決定正態分布曲線的兩個特征參數。其中影響隨機變量分布的集中位置，或稱正態分布的位置特征參數；表征隨機變量的分散程度，故稱為正態分布的離散特征參數。對正態分布的影響示意圖

對正態分布的影響示意圖

221.3.2.1隨機誤差的估計與統計處理1隨機誤差的分布規律對某個被測參量進行等精度重復測量n次，其測量示值分別為x1，x2，…、xn，x0為真值，假定已消除系統誤差，則各次測量的測量誤差，即隨機誤差分別為隨機誤差的分布規律多數都服從正態分布：23

—隨機誤差變量，相當于高斯方程中的變量；，其中X為某個測量值，為真值；

e—自然對數的底；

即—隨機誤差的方差:

—隨機誤差的標準偏差（簡稱標準差或標準誤差）；*該標準誤差算式不實用,因為真值未知，且需n為無限次。實際測量中，實用算法如下：242.實用算法1）測量真值估計：以多次等精度測量的平均值作為真值使用：這里算術平均值是被測參量真值（或數學期望）的最佳估計值，也是實際測量中比較容易得到的真值近似值。這也被稱作算術平均值原理。

25

——第i次測量值；

——測量次數，這里為一有限值；

——全部n次測量值的算術平均值，簡稱測量均值；

——第i次測量的殘差：

s——標準偏差的估計值，亦稱試驗標準差、重復性標準差、樣本標準差、單次測量值的標準差；2）標準差估計貝塞爾公式當n足夠大時，試驗標準差與標準差相接近，一般用標準差來描述試驗標準差。*標準誤差概念在分析正態分布的隨機誤差時,對曲線的特征具有重要影響,理論計算表明:指測量值與測量列全部數據算術平均值之差。26

a.介于之間的隨機誤差出現的概率為：

b.介于之間的隨機誤差出現的概率為：

c.介于之間的隨機誤差出現的概率為：

該結果含義:如果用算術平均值作為真值，100次測量有68次離真值的距離在1倍標準差范圍之內，有95次離真值的距離在2倍標準差范圍之內，有99.7次離真值的距離在3倍標準差范圍之內。1000次只可能有3次超出3倍標準差范圍.

27另外，當置信區間擴大到時，則有不同置信區間的概率分布示意圖：28因此,標準誤差說明測量結果的分散程度；標準誤差越小,測量數據一致性越好,正態分布曲線越尖銳,測量精密度越高。

不同標準誤差下的正態分布曲線如下:

293.隨機誤差的特點誤差的對稱性：誤差的單峰性：

誤差的有界性：

誤差的抵償性：出現小隨機誤差的機會比出現大隨機誤差的機會多。概率密度在橫軸原點（隨機誤差為0）值最大。正負誤差出現的機會均等。概率密度曲線對稱于縱軸。誤差絕對值不會超出一定范圍。概率密度曲線在兩側呈接近于0的降落。測量次數無限多時，全體結果代數和為0。概率密度曲線左右面積相等。30

因此,對一臺精度一定的測量儀器,在沒有系統誤差和粗大誤差的條件下,只進行單次測量,測量結果可表示如下:

式中，K為置信系數，

K=2時，結果在該置信范圍的概率為95%；

K=3時，結果在該置信范圍的概率為99.7%.

是在一組n次測量中對每個單次測量結果進行評價的標準誤差。

4．測量結果的正確表示31

式中，K為置信度，

K=2時，結果的置信概率為95%；

K=3時，結果的置信概率為99.7%；可以證明,算術平均值本身的標準誤差為單次測量標準誤差值的,即算術平均值的標準誤差為:對一臺精度一定的測量儀器,在沒有系統誤差和粗大誤差的條件下,如進行n次測量,測量結果可表示如下:32工程上，通常把測量誤差絕對值大于的測量值作為壞值，而予以剔除（此剔除原則稱為拉伊達準則）；也就是說把測量誤差作為粗大誤差而予以剔除。33【舉例】測量結果正確表示的應用。對某一軸徑等精度測量16次，得到如下數據（單位為mm）:24.774,24.778,24.771,24.780,24.772,24.777,24.773,24.775,24.774,24.772,24.77,24.776,24.775,24.777,24.777,24.779。計算出該軸徑的大小。

1.計算測量列Xj的算術平均值2.求出殘余誤差;求各測量值的殘余誤差

Vj故以上測量正確

3.計算出實驗標準誤差

計算出極限誤差。經檢查，末發現|Vj|＞3σ

，故16個測量值無粗大誤差值;4.計算出算術平均值的標準差

(置信概率為99.7%)。5.軸徑的大小:24.775mm34定性分析：就是對測量環境、測量條件、測量設備、測量步驟進行分析，看是否有某種外部條件或測量設備本身存在突變而瞬時破壞等精度測量條件的可能，測量操作是否有差錯或等精度測量過程中是否存在其它可能引發粗大誤差的因素；也可由同一操作者或另換有經驗操作者再次重復進行前面的（等精度）測量，然后再將兩組測量數據進行分析比較，或由不同測量儀器在同等條件下獲得的結果進行對比；以分析該異常數據出現是否“異常”，進而判定該數據是否為粗大誤差。1.3.2.2粗大誤差判別35

定量判斷：

就是以統計學原理和誤差理論相關專業知識為依據，對測量數據中的異常值的“異常程度”進行定量計算，以確定該異常值是否為應剔除的壞值。

下面介紹兩種工程上常用的粗大誤差判斷準則。

36設對被測量進行n次等精度測量,得到一組測量數據x1,x2,…,xn,可求出其算術平均值為,并求出標準誤差,然后逐個判斷單個測量值是否滿足下面不等式:

如果發現某個值滿足不等式,就作為壞值剔除之。數據處理步驟:剔除壞值,取剩余數平均,計算標準差，再剔除壞值,再取剩余數繼續平均,計算標準差，直到不再出現壞值,就以最后一個平均值為真值。1．拉伊達(又譯為萊因達)準則（應用條件，n足夠大！一般n>30）372．格拉布斯(Grubbs)準則式中——被疑為壞值的異常測量值；

——包括此異常測量值在內所有測量值的算術平均值；

——包括此異常測量值在內所有測量值的標準誤差估計值；

——格拉布斯準則的鑒別值；

——測量次數；

——危險系數，又稱超差概率、顯著性水平；a與置信概率P的關系為時，則認為是含有粗大誤差的異常測量值，應予以剔除。小樣本測量數據中，滿足381.3.2.3系統誤差處理

在一般工程測量中，系統誤差與隨機誤差總是同時存在的，但系統誤差往往遠大于隨機誤差。1.系統誤差的特點及常見變化規律系統誤差的特點：測量誤差的出現具有規律性，其產生原因一般可通過實驗和分析研究確定與消除。系統誤差的變化規律:39系統誤差（這里用表示）隨測量時間變化的幾種常見關系曲線如圖所示。

圖1-1系統誤差的幾種常見關系曲線曲線1表示測量誤差的大小與方向不隨時間變化的恒值型系統誤差；40系統誤差（這里用表示）隨測量時間變化的幾種常見關系曲線如圖所示。

圖1-1系統誤差的幾種常見關系曲線曲線2表示測量結果所含系統誤差隨時間以某種斜率呈線性增加或線性減少，稱為線性變化規律的系統誤差；41系統誤差（這里用表示）隨測量時間變化的幾種常見關系曲線如圖所示。

圖1-1系統誤差的幾種常見關系曲線曲線3表示測量結果所含系統誤差隨時間作某種周期性變化，稱之為周期性變化規律的系統誤差；42系統誤差（這里用表示）隨測量時間變化的幾種常見關系曲線如圖所示。

圖1-1系統誤差的幾種常見關系曲線曲線4為上述三種關系曲線的某種組合形態，呈現復雜規律變化，稱之為復雜變化規律的系統誤差。432恒值系統誤差的判定(1)實驗對比法實驗比對的方法又可分為標準器件法和標準儀器法兩種。舉例：測電阻。標準器件法就是利用待進行系統誤差評定的檢測儀器對高精度精密標準電阻器(其值作為約定真值)進行重復多次測量。若測量值與標準電阻器的阻值的差值大小均穩定不變，即可判定該儀器含恒值系統誤差，該差值即可作為此檢測儀器在該示值點的系統誤差值。其相反數，即為此測量點的修正值。44標準儀器法就是把精度等級高于被檢定儀器兩檔以上的同類高精度儀器作為近似沒有誤差的標準儀表，與被檢定檢測儀器同時、或依次對被測對象(本例為在被檢定檢測儀器測量范圍內的電阻器)進行重復測量，把標準儀表的示值視為相對真值。如果被檢定檢測儀器示值與標準儀表示值之差大小穩定不變，就可判定該儀器含恒值系統誤差，將該差值作為此檢測儀器在該示值點的系統誤差，該差值的相反數即為此檢測儀器在此點的修正值。45(2)理論分析法對一些因檢測原理、設計、制造工藝方面存在某種不足而產生的恒值系統誤差，可通過理論分析與計算來加以判別、修正。這類缺陷，經常表現為在傳感轉換過程中存在零位誤差，傳感器輸出信號與被測參量之間存在非線性，信號處理時采用的是略去高次項的近似經驗公式，采用過分簡化的電路模型等。需要有針對性地分析、計算、評估實際值與理想值之間的恒定系統誤差，然后設法校正、補償和消除。

46(3)改變外界測量條件法有些檢測系統一旦工作環境條件或被測參量數值發生改變，其測量系統誤差往往也從—個固定值變化成另一個確定值。對這類檢測系統需要通過逐個改變外界測量條件，來發現和確定儀器在其允許的不同工作情況下的系統誤差。473變值系統誤差的判定(1)殘差觀察法若系統誤差比隨機誤差大時，通過殘差的觀察和分析，常常能發現這類系統誤差。把一系列等精度重復測量值及其殘差按測量時的先后次序列表，觀察和分析各測量數據殘差值的大小和符號的變化情況。如果發現殘差序列呈有規律遞增或遞減，且殘差序列減去其中值后的新數列在以中值為原點的數軸上呈正負對稱分布，則說明測量存在累進性的線性系統誤差；如果發現殘差序列呈有規律交替重復變化，則說明測量存在周期性系統誤差。48當系統誤差比隨機誤差小時，就不能通過觀察來發現系統誤差，只能通過專門的判斷準則才能較好地發現和確定。這些判斷準則實質上是檢驗誤差的分布是否偏離正態分布，常用的有馬利科夫準則和阿貝—赫梅特準則等。49(2)馬利科夫準則馬利科夫準則適用于發現和確定線性系統誤差。將在同一條件下順序重復測量得到的一組測量值x1，x2，…、xn

順序排列，并求出它們相應的殘差v1，v2，…、vn。

將這些殘差序列以中間值vk為界分為前后兩組，分別求和，然后把兩組殘差和相減，即50當n為偶數時，取、；當n為奇數時，取。若D近似等于零，說明測量中不含線性系統誤差；若D明顯不為零（且大于），則表明這組測量中存在線性系統誤差。51實際操作方法：將在同一條件下順序重復測量得到的一組測量值按序排列，并求出它們相應的殘差。然后計算：如果成立（——為本測量數據序列方差），則表明測量值中存在周期性系統誤差。(3)阿貝—赫梅特準則適用于判斷、發現和確定周期性系統誤差。52（4）正態分布比較判別法當同一條件下順序重復測量得到的一組測量值不存在變值系統誤差時，其各測量值與均值的偏差一般都符合隨機誤差分布特點,即服從正態分布。若誤差分布明顯偏離正態分布，便可根據其偏離程度和偏離形態判斷變值系統誤差。

（5）標準差判據53舉例：P17例1.41.3.2.4誤差的合成1.系統誤差的合成

設檢測系統的待測參數為權系數、誤差傳遞系數檢測系統的最大系統誤差54若第i個環節的引用相對誤差為ri時，則輸出端的引用相對誤差rm與ri之間的關系，可用以下兩種方法來求得：絕對值合成法方均根合成法55【例】

某傳感器在測量過程出現了以下誤差情況，敏感元件的測量誤差為±4%，轉換電路環節中出現的誤差為±3%，儀表的指示環節出現的誤差為±1%，請問此測量過程中出現的總誤差為多大？解：由題意可知r1=±4%,r2=±3%,r3=±1%1)用絕對值合成法計算測量總誤差2）用方均根合成法計算測量總誤差結論：1）用方均根合成法估算測量的總誤差較為合理。2）在整個測量系統的一個或幾個環節的精度較高，對提高整個測量系統的總的精度未必有效,反而還會提高了測量系統的成本，造成資源浪費，而應該是努力提高誤差最大的某個環節的測量精度，以達到最佳的性價比。舉例：8%562.隨機誤差的合成（2）間接測量：設間接測量量（待測參數）與直接測量量（被測參數）的關系為σ1，σ2，…、σm為直接測量值x1，x2，…、xm的標準差

（1）直接測量：設測量中有m個彼此獨立的隨機誤差。它們的標準差分別為σ1，σ2，…、σm，且相互獨立，則按下式計算該檢測系統的標準差：標準差：573.誤差的總合成若待測參數y的系統誤差和隨機誤差相互獨立，總的合成誤差表示為：581.3.3減小和消除誤差的方法1．減小隨機誤差的方法1）提高檢測系統的準確度從檢測系統的原理、設計和結構上考慮，機械部件間的摩擦、傳動機構間隙等是引起隨機誤差的主要原因。因此，設計中盡量避免采用存在摩擦的可動部分，減小可動部分器件的質量，采用負反饋結構的平衡式測量和應用無間隙傳動鏈等以減小隨機誤差。59

2）抑制噪聲干擾噪聲干擾是隨機誤差的主要來源，因此，采用各種有效的抑制干擾措施，如屏蔽、接地、濾波、選頻、去耦、隔離傳輸等能有效地減小隨機誤差。

3）對測量結果的統計處理隨機誤差具有補償性，大部分測量系統的誤差分布符合正態分布規律。因此，通過估計隨機誤差影響的可能變化區間，即可以估計誤差的上界值。從這個意義上說，通過對測量數據的統計平均，求取算術平均值和標準差可精確地給出測量結果的范圍。提高測量次數，可以減小隨機誤差對測量結果的影響。但是，在對測量結果作統計處理之前，必須排除系統誤差或將系統誤差修正到可以忽略不計的程度。602.消除或減弱系統誤差的典型方法1）消除誤差源法:

在測量過程中對可能產生誤差的環節進行分析，從根源上消除系統誤差。612）引入修正值法：修正值:為了得到正確的測量結果，必須在含有系統誤差的測量結果上進行代數相加的某個值。通常的做法：根據在測量前預先通過標準器件法或標準儀器法比對（計算）得到該檢測儀器系統誤差的修正值，制成系統誤差修正表；以后用該檢測儀器進行具體測量時可人工或由儀器自動地將測量值與修正值相加得到。由于修正值本身存在誤差，這時的系統誤差不是被完全消除了，而是大大被削弱了。62舉例:860℃時，某傳感器測量的輸出為8.103mV，標準儀表測得輸出為8.003mV（約定真值）此時，絕對誤差=0.1mV

于是，8.103+（-0.1）=8.003mV633）比較法：也稱標準量比較法。思路：用準確度較高的、不含或含很小系統誤差的檢測裝置與被測量進行完全或部分比較，達到消除或減小測量中的系統誤差。比較法包括：零示法(零位式)、偏差式和微差法64（a）零位式測量

調節已知標準量與被測量達到平衡狀態（相等），讀取標準量作為被測值。電位差計原理圖標準電阻比如：天平稱重65特點：測量裝置中有標準量具（如天平的砝碼、標準電阻），測量過程是將被測量與標準量具比較，在平衡或指針指零時，讀取標準量具的大小。精度高，操作復雜，反應速度較慢。66（b）偏差式測量

利用測量儀表指針對于刻度初始點的偏移來讀出被測量的的測量方法。如圖溫度檢測儀表。

特點：表內沒有標準量具（如單位電流、單位電阻），只有經標準量具校準過的刻度盤。比較是將被測量與刻度盤比較。精度低，但簡單迅速。6768（c）微差式測量

零位式與偏差式測量的綜合應用。測量前先把被測量U調到基準數值大小，調節已知標準量使二者相等，讀取被測值的基準大小U0。