2023-2023學年河北省邯鄲市曲周一中高二（上）第一次月考數學試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．設0＜a＜b＜1，則下列不等式成立的是（）A．a3＞b3 B．＜ C．a2＞b2 D．0＜b﹣a＜12．在△ABC中，a=2，b=，A=，則B=（）A． B． C． D．3．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=4：3：2，則cosA的值是（）A．﹣ B． C．﹣ D．4．x＞1，y＞1且lgx+lgy=4，則lgxlgy最大值為（）A．2 B．4 C．8 D．165．設變量x，y滿足約束條件，則目標函數z=4x+2y的最大值為（）A．12 B．10 C．8 D．26．在△ABC中，，三邊長a，b，c成等差數列，且ac=6，則b的值是（）A． B． C． D．7．數列{an}的通項式an=，則數列{an}中的最大項是（）A．第9項 B．第10項和第9項C．第10項 D．第9項和第8項8．已知等差數列{an}中，有+1＜0，且該數列的前n項和Sn有最大值，則使得Sn＞0成立的n的最大值為（）A．11 B．19 C．20 D．219．設x，y都是正數，且2x+y=1，則的最小值是（）A．4 B．3 C．2+3 D．3+210．數列{an}的首項為1，{bn}是以2為首項，以2為公比的等比數列，且bn=an+1﹣an（n∈N*）則an=（）A．2n﹣1 B．2n C．2n+1﹣1 D．2n﹣211．若兩個等差數列{an}，{bn}的前n項的和為An，Bn．且，則=（）A． B． C． D．12．已知平面區域D由以A（1，3），B（5，2），C（3，1）為頂點的三角形內部以及邊界組成．若在區域D上有無窮多個點（x，y）可使目標函數z=x+my取得最小值，則m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．4二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上）13．設a=﹣，b=﹣，c=﹣，則a、b、c的大小順序是．14．不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），則不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是．15．把一數列依次按第一個括號內一個數，第二個括號內兩個數，第三個括號內三個數，第四個括號內一個數，…循環分為（1），（3，5），（7，9，11），（13），（15，17），（19，21，23），（25），…，則第100個括號內的數為．16．在三角形ABC中，若角A，B，C所對的三邊a，b，c成等差數列，則下列結論中正確的是（填上所有正確結論的序號）（1）b2≥ac（2）（3）b2≤（4）tan2．三、解答題（本大題共6小題，70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．（10分）（2023秋?邯鄲校級月考）設2x2﹣3x+1≤0的解集為A，x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0的解集為B，若A?B，求實數a的取值范圍．18．（12分）（2023?黑龍江）△ABC在內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值．19．（12分）（2023秋?商丘期中）（1）已知a，b，c為任意實數，求證：a2+b2+c2≥ab+bc+ca；（2）設a，b，c均為正數，且a+b+c=1，求證：ab+bc+ca≤．20．（12分）（2023?遼寧）已知等差數列{an}滿足a2=0，a6+a8=﹣10（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）求數列{}的前n項和．21．（12分）（2023?長沙校級一模）長沙市某棚戶區改造建筑用地平面示意圖如圖所示．經規劃調研確定，棚改規劃建筑用地區域近似地為半徑是R的圓面．該圓面的內接四邊形ABCD是原棚戶建筑用地，測量可知邊界AB=AD=4萬米，BC=6萬米，CD=2萬米．（1）請計算原棚戶區建筑用地ABCD的面積及圓面的半徑R的值；（2）因地理條件的限制，邊界AD、DC不能變更，而邊界AB、BC可以調整，為了提高棚戶區改造建筑用地的利用率，請在圓弧ABC上設計一點P；使得棚戶區改造的新建筑用地APCD的面積最大，并求最大值．22．（12分）（2023秋?金水區校級期中）已知數列{an}中，a1=2，a2=3，其前n項和Sn滿足Sn+2+Sn=2Sn+1+1（n∈N*）；數列{bn}中，b1=a1，{bn+2}是以4為公比的等比數列．（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；（2）設cn=bn+2+（﹣1）n﹣1λ?2an（λ為非零整數，n∈N*），試確定λ的值，使得對任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立．2023-2023學年河北省邯鄲市曲周一中高二（上）第一次月考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．設0＜a＜b＜1，則下列不等式成立的是（）A．a3＞b3 B．＜ C．a2＞b2 D．0＜b﹣a＜1考點： 不等關系與不等式．專題： 不等式的解法及應用．分析： 由0＜a＜b＜1，可得0＜b﹣a＜1．即可得出．解答： 解：∵0＜a＜b＜1，∴0＜b﹣a＜1．故選：D．點評： 本題考查了不等式的性質，屬于基礎題．2．在△ABC中，a=2，b=，A=，則B=（）A． B． C． D．考點： 正弦定理．專題： 解三角形．分析： 根據正弦定理求得sinB=．再由b＜a可得B＜A，從而求得B的值．解答： 解：在△ABC中，由于a=2，b=，A=，則根據正弦定理可得，即=，求得sinB=．再由b＜a可得B＜A，∴B=，故選B．點評： 本題主要考查正弦定理的應用，以及大邊對大角，根據三角函數的值求角，屬于中檔題．3．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=4：3：2，則cosA的值是（）A．﹣ B． C．﹣ D．考點： 余弦定理；正弦定理．專題： 解三角形．分析： 已知比例式利用正弦定理化簡求出三邊之比，進而設出三邊長，利用余弦定理表示出cosA，將三邊長代入即可求出cosA的值．解答： 解：在△ABC中，sinA：sinB：sinC=4：3：2，利用正弦定理化簡得：a：b：c=4：3：2，設a=4k，b=3k，c=2k，∴cosA===﹣．故選：A．點評： 此題考查了正弦、余弦定理，熟練掌握定理是解本題的關鍵．4．x＞1，y＞1且lgx+lgy=4，則lgxlgy最大值為（）A．2 B．4 C．8 D．16考點： 基本不等式．專題： 不等式的解法及應用．分析： 利用基本不等式和對數的意義即可得出．解答： 解：∵x＞1，y＞1，∴lgx＞0，lgy＞0．∴4=lgx+lgy，化為lgx?lgy≤4，當且僅當lgx=lgy=2即x=y=100時取等號．故lgxlgy最大值為4．故選：B．點評： 本題考查了基本不等式和對數的運算，屬于基礎題．5．設變量x，y滿足約束條件，則目標函數z=4x+2y的最大值為（）A．12 B．10 C．8 D．2考點： 簡單線性規劃．專題： 不等式的解法及應用．分析： 1．作出可行域2目標函數z的幾何意義：直線截距2倍，直線截距去的最大值時z也取得最大值解答： 解：本題主要考查目標函數最值的求法，屬于容易題，做出可行域，由圖可知，當目標函數過直線y=1與x+y=3的交點（2，1）時，z取得最大值10．點評： 本題考查線性規劃問題：目標函數的幾何意義6．在△ABC中，，三邊長a，b，c成等差數列，且ac=6，則b的值是（）A． B． C． D．考點： 數列與三角函數的綜合．專題： 綜合題．分析： 根據三邊長a，b，c成等差數列，可得a+c=2b，再利用余弦定理及ac=6，可求b的值．解答： 解：由題意，∵三邊長a，b，c成等差數列∴a+c=2b∵∴由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣3ac∵ac=6∴b2=6∴故選D．點評： 本題以三角形載體，考查余弦定理的運用，考查數列與三角函數的綜合，屬于中檔題．7．數列{an}的通項式an=，則數列{an}中的最大項是（）A．第9項 B．第10項和第9項C．第10項 D．第9項和第8項考點： 數列的函數特性．專題： 導數的綜合應用．分析： 利用導數考察函數f（x）=（x＞0）的單調性即可得出．解答： 解：由數列{an}的通項式an=，考察函數f（x）=（x＞0）的單調性．∵f′（x）=，令f′（x）≥0，解得0＜，此時函數f（x）單調遞增；令f′（x）＜0，解得，此時函數f（x）單調遞減．而，f（9）=f（10）．∴數列{an}中的最大項是第10項和第9項．故選：B．點評： 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了計算能力，屬于基礎題．8．已知等差數列{an}中，有+1＜0，且該數列的前n項和Sn有最大值，則使得Sn＞0成立的n的最大值為（）A．11 B．19 C．20 D．21考點： 等差數列的前n項和；數列的函數特性．專題： 等差數列與等比數列．分析： 由題意可得＜0，公差d＜0，進而可得S19＞0，S20＜0，可得答案．解答： 解：由+1＜0可得＜0又∵數列的前n項和Sn有最大值，∴可得數列的公差d＜0，∴a10＞0，a11+a10＜0，a11＜0，∴a1+a19=2a10＞0，a1+a20=a11+a10＜0．∴S19＞0，S20＜0∴使得Sn＞0的n的最大值n=19，故選B點評： 本題考查等差數列的性質在求解和的最值中應用，屬基礎題．9．設x，y都是正數，且2x+y=1，則的最小值是（）A．4 B．3 C．2+3 D．3+2考點： 基本不等式．專題： 不等式的解法及應用．分析： 利用“乘1法”和基本不等式的性質即可得出．解答： 解：∵x，y都是正數，且2x+y=1，∴==3+=3+2，當且僅當y=x=﹣1時取等號．因此的最小值是．故選：D．點評： 本題考查了“乘1法”和基本不等式的性質，屬于基礎題．10．數列{an}的首項為1，{bn}是以2為首項，以2為公比的等比數列，且bn=an+1﹣an（n∈N*）則an=（）A．2n﹣1 B．2n C．2n+1﹣1 D．2n﹣2考點： 數列遞推式．專題： 等差數列與等比數列．分析： 根據等比數列的通項公式求出bn，然后利用累加法即可求出數列的通項公式．解答： 解：∵{bn}是以2為首項，以2為公比的等比數列，∴bn=2?2n﹣1=2n，即bn=an+1﹣an=2n，則a2﹣a1=21，a3﹣a2=22，a4﹣a3=23，…an﹣an﹣1=2n﹣1，等式兩邊同時相加得，an﹣a1==2n﹣2，即an=2n﹣2+1=2n﹣1，故選：A點評： 本題主要考查數列通項公式的求解，根據等比數列的通項公式以及累加法是解決本題的關鍵．11．若兩個等差數列{an}，{bn}的前n項的和為An，Bn．且，則=（）A． B． C． D．考點： 等差數列的性質．專題： 計算題；等差數列與等比數列．分析：==，代入可得結論．解答： 解：====，故選：D．點評： 本題考查等差數列的通項與求和，考查學生的計算能力，比較基礎．12．已知平面區域D由以A（1，3），B（5，2），C（3，1）為頂點的三角形內部以及邊界組成．若在區域D上有無窮多個點（x，y）可使目標函數z=x+my取得最小值，則m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．4考點： 簡單線性規劃的應用．專題： 計算題；壓軸題．分析： 將目標函數z=x+my化成斜截式方程后得：y=﹣x+z，若m＞0時，目標函數值Z與直線族：y=﹣x+z截距同號，當直線族y=﹣x+z的斜率與直線AC的斜率相等時，目標函數z=x+my取得最小值的最優解有無數多個；若m＜0時，目標函數值Z與直線族：y=﹣x+z截距異號，當直線族y=﹣x+z的斜率與直線BC的斜率相等時，目標函數z=x+my取得最小值的最優解有無數多個，但此時是取目標函數取最大值的最優解為無數個，不滿足條件．解答： 解：依題意，滿足已知條件的三角形如下圖示：令z=0，可得直線x+my=0的斜率為﹣，結合可行域可知當直線x+my=0與直線AC平行時，線段AC上的任意一點都可使目標函數z=x+my取得最小值，而直線AC的斜率為=﹣1，所以﹣=﹣1，解得m=1，故選C．增加網友的解法，相當巧妙值得體會！請看：依題意，1+3m=5+2m＜3+m，或1+3m=3+m＜5+2m，或3+m=5+2m＜1+3m解得m∈空集，或m=1，或m∈空集，所以m=1，選C．評析：此解法妙在理解了在邊界處取到最小值這個命題的內蘊，區域的三個頂點中一定有兩個頂點的坐標是最優解，故此兩點處函數值相等，小于第三個頂點處的目標函數值，本題略去了判斷最優解取到位置的判斷，用三個不等式概括了三種情況，從而解出參數的范圍，此方法可以在此類求參數的題中推廣，具有一般性！點評： 目標函數的最優解有無數多個，處理方法一般是：①將目標函數的解析式進行變形，化成斜截式；②分析Z與截距的關系，是符號相同，還是相反；③根據分析結果，結合圖形做出結論④根據斜率相等求出參數．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上）13．設a=﹣，b=﹣，c=﹣，則a、b、c的大小順序是a＞b＞c．考點： 不等式比較大小．專題： 函數的性質及應用．分析： 不妨設a＞b，由此得出a＞b，同理得出b＞c，即可得出a、b、c的大小順序．解答： 解：∵a=﹣＞0，b=﹣＞0，c=﹣＞0，不妨設a＞b，即﹣＞﹣，∴+＞+，∴8+2＞8+2，即＞，∴15＞12，∴a＞b，同理b＞c；∴a、b、c的大小順序是a＞b＞c．故答案為：a＞b＞c．點評： 本題考查了表達式的比較大小的問題，解題時應先比較兩個數的大小，從而得出正確的結果，是基礎題．14．不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），則不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是（﹣，﹣）．考點： 一元二次不等式的應用．專題： 計算題．分析： 根據不等式x2﹣ax﹣b＜0的解為2＜x＜3，得到一元二次方程x2﹣ax﹣b=0的根為x1=2，x2=3，利用根據根與系數的關系可得a=5，b=﹣6，因此不等式bx2﹣ax﹣1＞0即不等式﹣6x2﹣5x﹣1＞0，解之即得﹣＜x＜﹣，所示解集為（﹣，﹣）．解答： 解：∵不等式x2﹣ax﹣b＜0的解為2＜x＜3，∴一元二次方程x2﹣ax﹣b=0的根為x1=2，x2=3，根據根與系數的關系可得：，所以a=5，b=﹣6；不等式bx2﹣ax﹣1＞0即不等式﹣6x2﹣5x﹣1＞0，整理，得6x2+5x+1＜0，即（2x+1）（3x+1）＜0，解之得﹣＜x＜﹣∴不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是（﹣，﹣）故答案為：（﹣，﹣）點評： 本題給出含有字母參數的一元二次不等式的解集，求參數的值并解另一個一元二次不等式的解集，著重考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程根與系數的關系等知識點，屬于基礎題．15．把一數列依次按第一個括號內一個數，第二個括號內兩個數，第三個括號內三個數，第四個括號內一個數，…循環分為（1），（3，5），（7，9，11），（13），（15，17），（19，21，23），（25），…，則第100個括號內的數為397．考點： 歸納推理．專題： 計算題；推理和證明．分析： 括號里的數有規律：即每三個一組，里面的數都是1+2+3=6，所以到第100個括號內的數為第34組的第一個數，即可得出結論．解答： 解：括號里的數有規律：即每三個括號算一組，里面的數個數都是1+2+3=6個，所以到第100個括號內的數為第34組的第一個數，第100個括號內的數為是2×（33×6+1）﹣1=397．故答案為：397點評： 本題是等差數列的通項公式的簡單運用及等差數列的求和公式，屬于基本知識的運用，試題較易．16．在三角形ABC中，若角A，B，C所對的三邊a，b，c成等差數列，則下列結論中正確的是（1）（3）（4）（填上所有正確結論的序號）（1）b2≥ac（2）（3）b2≤（4）tan2．考點： 解三角形．專題： 解三角形．分析： 由a，b，c成等差數列，利用等差數列的性質得到2b=a+c，利用基本不等式得到a+c≥2，把2b=a+c代入得到結果，即可對于選項（1）做出判斷；選項（2）中不等式左邊通分并利用同分母分式的加法法則變形，把選項（1）的結論代入即可做出判斷；利用作差法判斷選項（3）即可；利用余弦定理表示出cosB，把2b=a+c代入并利用基本不等式化簡求出cosB的范圍，確定出B的范圍，即可求出tan2的范圍，做出判斷．解答： 解：由a，b，c成等差數列，得到2b=a+c，∵a+c≥2，∴2b≥2，即b2≥ac，選項（1）正確；+==≥=，選項（2）錯誤；∵b2﹣=﹣=﹣≤0，選項（3）正確；由余弦定理得：cosB===≥=，∴0＜B≤，則tan2≤，選項（4）正確，故答案為：（1）（3）（4）點評： 此題屬于解三角形題型，涉及的知識有：等差數列的性質，基本不等式的運用，余弦定理，以及正切函數的性質，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．三、解答題（本大題共6小題，70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．（10分）（2023秋?邯鄲校級月考）設2x2﹣3x+1≤0的解集為A，x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0的解集為B，若A?B，求實數a的取值范圍．考點： 集合的包含關系判斷及應用．專題： 計算題；集合．分析： 由題意可解得A=[，1]，B={x|a≤x≤a+1}，從而解得．解答： 解：由題意得，A=[，1]，B={x|a≤x≤a+1}，∵A?B，∴，解得，0≤a≤，故實數a的取值范圍為[0，]．點評： 本題考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式與二次函數的關系，注意等價轉化思想的運用．18．（12分）（2023?黑龍江）△ABC在內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值．考點： 余弦定理；正弦定理．專題： 解三角形．分析： （Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式變形，求出tanB的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；（Ⅱ）利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把sinB的值代入，得到三角形面積最大即為ac最大，利用余弦定理列出關系式，再利用基本不等式求出ac的最大值，即可得到面積的最大值．解答： 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinBsinC①，∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，∴sinB=cosB，即tanB=1，∵B為三角形的內角，∴B=；（Ⅱ）S△ABC=acsinB=ac，由已知及余弦定理得：4=a2+c2﹣2accos≥2ac﹣2ac×，整理得：ac≤，當且僅當a=c時，等號成立，則△ABC面積的最大值為××=××（2+）=+1．點評： 此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的正弦函數公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．19．（12分）（2023秋?商丘期中）（1）已知a，b，c為任意實數，求證：a2+b2+c2≥ab+bc+ca；（2）設a，b，c均為正數，且a+b+c=1，求證：ab+bc+ca≤．考點： 不等式的證明．專題： 證明題；不等式的解法及應用．分析： （1）利用基本不等式可得a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，三式相加即得結論，（2）利用（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，a2+b2+c2≥ab+bc+ca，即可證明．解答： 證明：（1）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，三式相加即得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（6分）（2）因為（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，a2+b2+c2≥ab+bc+ca，所以（12分）點評： 本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．20．（12分）（2023?遼寧）已知等差數列{an}滿足a2=0，a6+a8=﹣10（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）求數列{}的前n項和．考點： 等差數列的通項公式；數列的求和．專題： 綜合題．分析： （I）根據等差數列的通項公式化簡a2=0和a6+a8=﹣10，得到關于首項和公差的方程組，求出方程組的解即可得到數列的首項和公差，根據首項和公差寫出數列的通項公式即可；（II）把（I）求出通項公式代入已知數列，列舉出各項記作①，然后給兩邊都除以2得另一個關系式記作②，①﹣②后，利用an的通項公式及等比數列的前n項和的公式化簡后，即可得到數列{}的前n項和的通項公式．解答： 解：（I）設等差數列{an}的公差為d，由已知條件可得，解得：，故數列{an}的通項公式為an=2﹣n；（II）設數列{}的前n項和為Sn，即Sn=a1++…+①，故S1=1，=++…+②，當n＞1時，①﹣②得：=a1++…+﹣=1﹣（++…+）﹣=1﹣（1﹣）﹣=，所以Sn=，綜上，數列{}的前n項和Sn=．點評： 此題考查學生靈活運用等差數列的通項公式化簡求值，會利用錯位相減法求數列的和，是一道中檔題．21．（12分）（2023?長沙校級一模）長沙市某棚戶區改造建筑用地平面示意圖如圖所示．經規劃調研確定，棚改規劃建筑用地區域近似地為半徑是R的圓面．該圓面的內接四邊形ABCD是原棚戶建筑用地，測量可知邊界AB=AD=4萬米，BC=6萬米，CD=2萬米．（1）請計算原棚戶區建筑用地ABCD的面積及圓面的半徑R的值；（2）因地理條件的限制，邊界AD、DC不能變更，而邊界AB、BC可以調整，為了提高棚戶區改造建筑用地的利用率，請在圓弧ABC上設計一點P；使得棚戶區改造的新建筑用地APCD的面積最大，并求最大值．考點： 解三角形的實際應用．專題： 應用題；綜合題．分析： （1）連接AC，根據余弦定理求得cos∠ABC的值，進而求得∠ABC，然后利用三角形面積公式分別求得△ABC和△ADC的面積，二者相加即可求得四邊形ABCD的面積，在△ABC中，由余弦定理求得AC，進而利用正弦定理求得外接圓的半徑．（2）設AP=x，CP=y．根據余弦定理求得x和y的關系式，進而根據均值不等式求得xy的最大值，進而求得△APC的面積的最大值，與△ADC的面積相加即可求得四邊形APCD面積的最大值．解答： 解：（1）因為四邊形ABCD內接于圓，所以∠ABC+∠ADC=180°，連接AC，由余弦定理：AC2=42+62﹣2×4×6×cos∠ABC=42+22﹣2×2×4cos∠ADC、所以cos∠ABC=，∵∠ABC∈（0，π），故∠ABC=60°．S四邊形ABCD=×4×6×sin60°+×2×4×sin120°=8（萬平方米）．在△ABC中，由余弦定理：AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC=16+36﹣2×4×6×．AC=2．由正弦定理==2R，∴2R===，∴R=（萬米）．（2）∵S四邊形APCD=S△ADC+S△APC，又S△ADC=AD?CD?sin120°=2，設AP=x，CP=y．則S△APC=xy?sin60°=xy．又由余弦定理AC2=x2+y2﹣2xycos60°=x2+y2﹣xy=28．∴x2+y2﹣xy≥2xy﹣xy=xy．∴xy≤28，當且僅當x=y時取等號∴S四邊