山東省濟南市平陰縣實驗中學2021年高二數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某家庭電話在家里有人時，打進電話響第一聲被接的概率為0．1，響第二聲時被接的概率為0．2，響第三聲時被接的概率為0．4，響第四聲時被接的概率為0．1，那么電話在響前4聲內被接的概率是（

）

A．0．992

B.

0．0012

C．0.8

D．0．0008參考答案：C略2.設隨機變量ξ服從正態分布N（0，1），P（ξ＞1）=p，則P（﹣1＜ξ＜0）等于（）A．p B．1﹣p C．1﹣2p D．﹣p參考答案：D【考點】CP：正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【分析】根據隨機變量ξ服從標準正態分布N（0，1），得到正態曲線關于ξ=0對稱，利用P（ξ＞1）=p，即可求出P（﹣1＜ξ＜0）．【解答】解：∵隨機變量ξ服從正態分布N（0，1），∴正態曲線關于ξ=0對稱，∵P（ξ＞1）=p，∴P（ξ＜﹣1）=p，∴P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p．故選：D．【點評】本題考查正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義，本題解題的關鍵是利用正態曲線的對稱性，是一個基礎題．3.若數列{an}的通項公式是，則該數列的第五項為（

）A.1

B.-1

C.

D.-參考答案：C4.已知點是平行四邊形所在平面外一點，如果，，

．對于結論：①；②；③是平面的法向量；

④．其中正確的個數是（

）

A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C略5.如圖，點P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，則PA與BD所成角的度數為（）A．30° B．45° C．60° D．90°參考答案：C【考點】異面直線及其所成的角．【分析】本題求解宜用向量法來做，以D為坐標原點，建立空間坐標系，求出兩直線的方向向量，利用數量積公式求夾角即可【解答】解：如圖，以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在線為y軸，DP所在線為z軸，建立空間坐標系，∵點P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，令PD=AD=1∴A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0）∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0）∴cosθ==故兩向量夾角的余弦值為，即兩直線PA與BD所成角的度數為60°．故選C6.已知實數x、y滿足，若不等式恒成立，則實數a的最小值是（

）．A.

B.

C.

D.2參考答案：C略7.在正方體ABCD－A1B1C1D1的側面AB1內有一動點P到直線A1B1與直線BC的距離相等，則動點P所在曲線的形狀為(

)參考答案：C略8.在△ABC中，點O是斜邊BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若,則的最大值為

(

）A．

1

B．

C．

D．2參考答案：A9.設x＞0，y＞0，xy=4，則s=取最小值時x的值為（）A．1 B．2 C．4 D．8參考答案：B【考點】基本不等式．【分析】先根據基本不等式得到s=≥2=2再利用條件xy為定值得出s=4，最后結合不等式等號成立的條件即可得到答案．【解答】解：∵x＞0，y＞0，xy=4，∴s=≥2=2=4，當且僅當時，等號成立由，xy=4，得x=y=2．則s=取最小值時x的值為2．故選B．10.若雙曲線的右支上一點P（a,b）到直線y=x的距離為，則a+b的值是（

）

A、

B、

C、

D、參考答案：答案：B錯解：C錯因：沒有挖掘出隱含條件二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知正數滿足，則的最小值為

參考答案：912.已知定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數f（x）在（0，+∞）上遞減，則不等式f（log4x）+f（logx）≥2f（1）的解集為．參考答案：[，1）∪（1，4]，【考點】奇偶性與單調性的綜合．【專題】轉化思想；轉化法；函數的性質及應用．【分析】根據函數奇偶性和單調性的性質將不等式進行轉化求解即可．【解答】解：∵定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的f（x）是偶函數，∴不等式f（log4x）+f（logx）≥2f（1）等價為f（log4x）+f（﹣log4x）≥2f（1），即2f（log4x）≥2f（1），即f（log4x）≥f（1），即f（|log4x|）≥f（1），∵f（x）在（0，+∞）上遞減，∴|log4x|≤1，即﹣1≤log4x≤1，得≤x≤4，∵log4x≠0，∴x≠1，即不等式的解為≤x＜1，1＜x≤4，即不等式的解集為，[，1）∪（1，4]，故答案為：[，1）∪（1，4]【點評】本題主要考查不等式的求解，根據函數奇偶性和單調性的性質將不等式進行轉化是解決本題的關鍵．13.由定積分的幾何意義可知dx=___________．參考答案：略14.

某校有老師200人，男學生1200人，女學生1000人，現用分層抽樣的方法從所有師生中抽取一個容量為n的樣本，已知從女學生中抽取的人數為80人，則n=

.參考答案：19215.若不等式的解集是空集，則實數a的取值范圍是________．參考答案：略16.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不僅是著名的物理學家，也是著名的數學家，他最早利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的對稱軸為坐標軸，焦點在y軸上，且橢圓C的離心率為，面積為20π，則橢圓C的標準方程為______.參考答案：【分析】設橢圓的標準方程為，利用橢圓的面積為以及離心率的值，求出、的值，從而可得出橢圓的標準方程。【詳解】依題意設橢圓C的方程為，則橢圓C的面積為，又，解得，.則橢圓C的標準方程為，故答案為：。17.在等差數列中已知，a7=8，則a1=_______________參考答案：10三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）設已知p：

；

q:

；

若p是q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍。參考答案：解

設A={x|(4x-3)2≤1}；

B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}

………………（2分）由(4x-3)2≤1

解得：≤x≤1

………………（4分）由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0

解得：a≤x≤a+1

……（6分）所以A={x|≤x≤1}

，

B={x|a≤x≤a+1}。……（8分）由p是q的必要不充分條件，從而p是q的充分不必要條件，即AB……（10分）∴

解得：0≤a≤

…………………（12分）故所求實數a的取值范圍是［0，］……………（13分）19.在△ABC中，設A、B、C的對邊分別為a、b、c，（1）若a=2且（2+b）?（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，求△ABC面積S的最大值（2）△ABC為銳角三角形，且B=2C，若=（sinA，cosA），=（cosB，sinB），求|3﹣2|2的取值范圍．參考答案：【考點】余弦定理的應用；平面向量數量積的運算；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理可將已知條件化成a2﹣b2=c2﹣bc，再用余弦定理得出A，利用余弦定理和基本不等式可得出bc≤4，帶入面積公式S△ABC=bcsinA即可就出最大值．（2）展開得|3﹣2|2=13﹣12sinC，然后利用△ABC為銳角三角形，且B=2C判斷C的范圍．【解答】解：（1）∵（2+b）?（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴（2+b）?（a﹣b）=（c﹣b）c，∵a=2，∴（a+b）?（a﹣b）=（c﹣b）c，即a2﹣b2=c2﹣bc，∴bc=b2+c2﹣a2．∴cosA==．∴A=．∵a2=b2+c2﹣2bc?cosA=b2+c2﹣bc≥bc，∴bc≤a2=4．∴S△ABC=bcsinA=≤．當且僅當b=c時取等號．∴△ABC的面積最大值為．（2）∵=（sinA，cosA），=（cosB，sinB），∴=1，=1，=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC．∴|3﹣2|2=9﹣12+4=13﹣12sinC．∵△ABC為銳角三角形，∴0＜A＜，0＜B＜，0＜C＜．∵B=2C，A+B+C=π，∴C=∴＜C＜．∴＜sinC＜．∴13﹣6＜13﹣12sinC＜7．∴|3﹣2|2的取值范圍是（13﹣6，7）．【點評】本題考查了正余弦定理在解三角形中的應用，向量運算及三角函數，屬于中檔題．20.如圖，河道上有一座拋物線型拱橋,在正常水位時,拱圈最高點距水面為8m,拱圈內水面寬16m.,為保證安全，要求通過的船頂部（設為平頂）與拱橋頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5m.一條船頂部寬4m，要使這艘船安全通過，則船在水面以上部分高不能超過

米.參考答案：

略21.(14分)已知圓M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x軸上的動點，QA，QB分別切圓M于A，B兩點．(1)若Q(1,0)，求切線QA，QB的方程．(2)求四邊形QAMB面積的最小值．(3)若|AB|＝，求直線MQ的方程．參考答案：(1)設過點Q的圓M的切線方程為x＝my＋1，則圓心M到切線的距離為1，或0，∴QA，QB的方程分別為3x＋4y－3＝0和x＝1.……（3分）(2)∵MA⊥AQ，∴S四邊形MAQB＝|MA|·|QA|＝|QA|＝.∴四邊形QAMB面積的最小值為.…………………（6分）(3)設AB與MQ交于P，則MP⊥AB，MB⊥BQ，∴.在Rt△MBQ中，|MB|2＝|MP||MQ|，即1＝|MQ|，∴|MQ|＝3.∴x2＋(y－2)2＝9.設Q(x,0)，則x2＋22＝9，∴x＝±，∴Q(±，0)，∴MQ的方程為2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.……（13分）22.四棱錐，底面為平行四邊形，側面底面.已知，，，為線段的中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求面與面所成二面角的平面角的余弦值大小.參考答案：（Ⅰ）見解析

（Ⅱ）試題分析：(Ⅰ)要證直線與平面平行，可先尋求直線與直線平行；連結交于點，連結，可證.(Ⅱ)由，，,可得,根據余弦定理得:==

和都是等腰三角形,再借助于側面底面,以所在直線為軸,以的中點為坐標原點,建立空間直角坐標系即可.試題解析：解：(Ⅰ)連結交于點，連結

由于底面為平行四邊形

為的中點.

2分在中，為的中點