四川省南充市保城鄉中學2021年高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知取得最小值時，a+b等于

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略2.若，，則（

）Ａ.

Ｂ.

Ｃ.

Ｄ.參考答案：A3.已知函數f（x）=sinπx和函數g（x）=cosπx在區間[0，2]上的圖象交于A，B兩點，則△OAB面積是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】正弦函數的圖象；余弦函數的圖象．【分析】由sinπx=cosπx=sin（），x∈[0，2]，可解得πx=+2kπ，k∈Z，可解得坐標：A（，），B（，﹣），求得直線AB所在的方程為：y﹣=﹣（x﹣），聯立方程y=0，可解得OC=，即可求得△OAB面積．【解答】解：如圖所示：∵sinπx=cosπx=sin（），x∈[0，2]，∴可解得：πx=π﹣（）+2kπ，k∈Z（無解），或πx=+2kπ，k∈Z∴可解得：x=+k，k∈Z，且x∈[0，2]，∴x=，或，∴解得坐標：A（，），B（，﹣）．∴解得直線AB所在的方程為：y﹣=﹣（x﹣），聯立方程y=0，可解得：x=，及OC=．∴S△OAB=S△OAC+S△COB==．故選：A．4.已知，且a+b=1，則下列不等式中，正確的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C5.拋物線的焦點坐標是（

） A．（2，0）

B．（0，2） C．（l，0）

D．（0，1）參考答案：D略6.“a=1”是“函數y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期為π”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】三角函數的周期性及其求法；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】計算題．【分析】化簡y=cos2ax﹣sin2ax，利用最小正周期為π，求出a，即可判斷選項．【解答】解：函數y=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，它的周期是，a=±1顯然“a=1”可得“函數y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期為π”后者推不出前者，故選A．【點評】本題考查三角函數的周期性及其求法，必要條件、充分條件與充要條件的判斷，是基礎題．7.已知復數，其中為虛數單位，則復數所對應的點在（A）第一象限

（B）第二象限

（C）第三象限

（D）第四象限參考答案：D，對應坐標為（2，－1），在第四象限。8.在△ABC上，點D滿足，則（）A．點D不在直線BC上 B．點D在BC的延長線上C．點D在線段BC上 D．點D在CB的延長線上參考答案：D【考點】向量的三角形法則．【分析】據條件，容易得出，可作出圖形，并作，并連接AD′，這樣便可說明點D和點D′重合，從而得出點D在CB的延長線上．【解答】解：==；如圖，作，連接AD′，則：=；∴D′和D重合；∴點D在CB的延長線上．故選D．9.已知滿足條件，則目標函數從最小值變化到時，所有滿足條件的點構成的平面區域的面積為A. B. C. D.參考答案：A10.已知集合，，則

A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一支田徑隊有男運動員28人，女運動員21人，現按性別用分層抽樣的方法，從中抽取14位運動員進行健康檢查，則男運動員應抽取________人．參考答案：8男運動員占所有運動員的比率是：，按性別分層抽樣男運動員應抽取人。12.已知函數的定義域為.，若此函數同時滿足：（i）當時，有；(ii)當時，有，則稱函數為函數.在下列函數中：①；②；③.是函數的為____.（填出所有符合要求的函數序號）參考答案：①②【考點】分函數的性質。解析：由（i），得：，，即：，所以，函數是奇函數；由（ii），得：，，所以，函數是增函數。對于①函數為奇函數，且0，原函數是增函數，符合；對于②，與都是增函數，且是奇函數，符合；對于③是奇函數，但在R上不單調，不符合。答案：①②13.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊CD上，若在平行四邊形ABCD內部隨機取一個點Q，則點Q取自△ABE內部的概率是．參考答案：【考點】幾何概型．【專題】計算題；概率與統計．【分析】利用幾何概型的計算概率的方法解決本題，關鍵要弄準所求的隨機事件發生的區域的面積和事件總體的區域面積，通過相除的方法完成本題的解答．【解答】解：由題意△ABE的面積是平行四邊形ABCD的一半，由幾何概型的計算方法，可以得出所求事件的概率為P=，故答案為：．【點評】本題主要考查了幾何概型，解決此類問題的關鍵是弄清幾何測度，屬于基礎題．14.將函數的圖象向右平移（）個單位后，所得函數為偶函數，則

.參考答案：考點：三角函數圖像變換【思路點睛】三角函數的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母x而言.函數y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函數?φ＝kπ(k∈Z)；函數y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是偶函數?φ＝kπ＋(k∈Z)；函數y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函數?φ＝kπ＋(k∈Z)；函數y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是偶函數?φ＝kπ(k∈Z).15.包括甲、乙、丙三人在內的4個人任意站成一排，則甲與乙、丙都相鄰的概率為．參考答案：【考點】古典概型及其概率計算公式．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；概率與統計．分析：先求出基本事件總數，再求出甲與乙、丙都相鄰包含的基本事件個數，由此能示出甲與乙、丙都相鄰的概率．解：包括甲、乙、丙三人在內的4個人任意站成一排，基本事件總數n=，甲與乙、丙都相鄰包含的基本事件個數m==4，∴甲與乙、丙都相鄰的概率p=．故答案為：．【點評】本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．16.滿足不等式組的點（x，y）組成的圖形的面積為．參考答案：1【考點】簡單線性規劃．【分析】由約束條件作出可行域，求出三角形的頂點坐標，代入三角形面積公式得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯立，解得A（1，2），聯立，解得B（2，3），∴|BC|=2，A到BC所在直線的距離為1．∴可行域面積為S=．故答案為：1．【點評】本題考查簡單的線性規劃，考查數形結合的解題思想方法，是中檔題．17.設變量，滿足則變量的最小值為?

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知拋物線.(1)若圓心在拋物線上的動圓，大小隨位置而變化，但總是與直線相切，求所有的圓都經過的定點坐標；(2)拋物線的焦點為，若過點的直線與拋物線相交于、兩點，若，求直線的斜率；(3)若過正半軸上點的直線與該拋物線交于、兩點，為拋物線上異于、的任意一點，記、、連線的斜率為、、，試求滿足、、成等差數列的充要條件.參考答案：(1)由定義可得定點；(2)設，，由，得，由方程組，得得聯立上述方程可得：.(3)設直線的方程為，代入，得：，設，，則，，若，即，有，即：，由此得：，∵，∴所以當直線的方程為時，也就是成立的充要條件是直線與軸相垂直.19.如圖，已知橢圓F：的離心率，短軸右端點為，為線段的中點.(1)求橢圓F的方程；(2)過點任作一條直線與橢圓F相交于兩點，試問在軸上是否存在定點，使得，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.參考答案：（1）

（2）存在

（4,0）(1)由已知，，又，即，解得，∴橢圓方程為.

(2)假設存在點滿足題設條件.當⊥x軸時，由橢圓的對稱性可知恒有，即當與x軸不垂直時，設的方程為：y=k(x-1),代入橢圓方程化簡得：(k2+2)xk2x+k=0設P（x1,y1）,Q(x2,y2)，則則=∵=2x1x2-(1+x0)(x1+x2)+2x0=若，則=0即=0，整理得4k(x)=0

綜上在軸上存在定點，使得20.（本小題滿分12分）已知梯形中，∥，，，是邊的中點，分別是上的點，且∥，設．如圖，沿將四邊形折起，使平面平面（1）當時，求證：；（2）當變化時，求四棱錐的體積的函數式．參考答案：（1）證明：如圖，作于，連結，平面平面，平面.又平面，，∥，，四邊形為正方形，

平面

又平面，

………6分（2）由（1）知，為四棱錐的高，

，，，……12分21.已知曲線C1：ρ=2cosθ，曲線C2：（t為參數），（1）化C1為直角坐標方程，化C2為普通方程；（2）若M為曲線C2上一動點，N為曲線C1上一動點，求|MN|的取值范圍．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標方程．【專題】計算題；轉化思想；配方法；坐標系和參數方程．【分析】（1）直接根據極坐標和直角坐標互化公式求解即可；（2）利用已知，得到|MC2|﹣1≤|MN|≤|MC2|+1，然后，得到|MC2|2=（5cosφ﹣1）2+16sin2φ=9cos2φ﹣10cosφ+17，借助于三角函數的取值情況進行求解即可．【解答】解：（1）∵曲線C1：ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐標方程為x2+y2﹣2x=0，即：C1：（x﹣1）2+y2=1，∵曲線C2：（t為參數），∴（t為參數），∴平方相加后可得：C2：+=1．（2）設點M（5cost，4sint），則|MC2|﹣1≤|MN|≤|MC2|+1，|MC2|2=（5cost﹣1）2+16sin2t=9cos2t﹣10cost+17=9（cost﹣）2+，當cost=﹣1時，得|MC2|2max=36，|MC2|max=6，當cost=時，得|MC2|2min=，|MC2|min=，∴﹣1≤|MC2|﹣1≤|MN|≤|MC2|+1≤5+1，∴|MN|的取值范圍[，6]．【點評】本題重點考查極坐標和直角坐標的互化公式、距離問題處理思路和方法等知識，屬于中檔題．22.（12分）（2015?大連模擬）如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F為線段DE的中點．（Ⅰ）求證：CD⊥平面ADE；（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣E的平面角的余弦值．參考答案：考點：二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．

專題：空間位置關系與距離；空間角．分析：（1）由正方形性質得CD⊥AD，由線面垂直得AE⊥CD，由此能證明CD⊥平面ADE．（2）以D為原點，DC為x軸，DE為y軸，過點D平行于EA的直線為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面BCF的法向量和平面BEF的法向量，由此能求出二面角C﹣BF﹣E的平面角的余弦值．解答：（1）證明：∵底面ABCD為正方形，∴CD⊥AD，∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD，又AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．（2）解：由CD⊥平面ADE，得CD⊥DF，∴以D為原點，DC為x軸，DE為y軸，過點D平行于EA的直線為z軸，建立空間直角坐標系，由題意A