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會計學1第7講數學物理方程第二章分離變量法§1傅里葉級數指數形式的傅里葉級數其中第1頁/共44頁基本思想：首先求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的特解，然后由疊加原理作出這些解的線性組合，最后由其余的定解條件確定疊加系數。適用范圍：波動問題、熱傳導問題、穩定場問題等特點：a.物理上由疊加原理作保證，數學上由解的唯一性作保證；b.把偏微分方程化為常微分方程來處理，使問題簡單化。§2齊次方程齊次邊界條件的定解問題第2頁/共44頁代入方程：令代入邊界條件1求兩端固定的弦自由振動的規律一有界弦的自由振動令(4)(6)(7)（5）第3頁/共44頁本征（固有）值問題：含有待定常數常微分方程在一定條件下的求解問題本征（固有）值：使方程有非零解的常數值本征（固有）函數：和特征值相對應的非零解分情況討論：1）2）3）令，為非零實數（8）（9）第4頁/共44頁把（8）式代入（6）式，得（10）其中Cn和Dn是任意常數。將(9)(10)代入(4)式，得(11)式滿足方程(1)和邊界條件(2)，但一般不滿足初始條件(3)。為了滿足(3)式，按照解的疊加原理，將(11)式對n求和，即（11）（12）第5頁/共44頁將(12)式代入(3)式，得到第6頁/共44頁故定解問題的解為其中第7頁/共44頁?分離變量?求特征值和特征函數?求另一個函數?求通解?確定常數分離變量法可以求解具有齊次邊界條件的齊次偏微分方程。第8頁/共44頁2解的性質

x=x0時：其中：駐波法t=t0時：第9頁/共44頁例1：設有一根長為10個單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為，求弦作微小橫向振動時的位移。解：(1)分離變量第10頁/共44頁(2)求本征值和本征函數第11頁/共44頁(3)求另一個微分方程(4)求通解第12頁/共44頁(5)確定常量第13頁/共44頁解：例2求下列定解問題(1)分離變量第14頁/共44頁(2)求本征值和本征函數第15頁/共44頁(3)求另一個微分方程(4)求通解第16頁/共44頁初始條件(5)確定常量第17頁/共44頁二有限長桿上的熱傳導令帶入方程：解：第18頁/共44頁第19頁/共44頁第20頁/共44頁令第21頁/共44頁令帶入方程：令例3

求下列定解問題解：第22頁/共44頁第23頁/共44頁第24頁/共44頁例4

求下列定解問題解：第25頁/共44頁第26頁/共44頁第27頁/共44頁若則u為多少？為什么會出現這樣的現象？思考第28頁/共44頁分離變量流程圖第29頁/共44頁三拉普拉斯方程的定解問題解：第30頁/共44頁第31頁/共44頁第32頁/共44頁第33頁/共44頁例5

求下列定解問題解：第34頁/共44頁第35頁/共44頁第36頁/共44頁第37頁/共44頁例6

求下列定解問題解：第38頁/共44頁第39頁/共44頁第40頁/共

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