第四節(jié)一、泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)

由于冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)確定了一個(gè)和函數(shù)，因此我們就有可能利用冪級(jí)數(shù)來(lái)表示函數(shù)。如果一個(gè)函數(shù)已經(jīng)表示為冪級(jí)數(shù)，那末該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分等問(wèn)題就迎刃而解。兩類(lèi)問(wèn)題:在收斂域內(nèi)和函數(shù)求和展開(kāi)一、泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)

其中(

在

x

與x0

之間)稱(chēng)為拉格朗日余項(xiàng).則在若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù),此式稱(chēng)為f(x)的n

階泰勒公式,該鄰域內(nèi)有:為f(x)的泰勒級(jí)數(shù).則稱(chēng)當(dāng)x0=0

時(shí),泰勒級(jí)數(shù)又稱(chēng)為麥克勞林級(jí)數(shù).1)對(duì)此級(jí)數(shù),它的收斂域是什么？2)在收斂域上,和函數(shù)是否為f(x)?待解決的問(wèn)題:若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),定理1.各階導(dǎo)數(shù),則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)滿足:證明:令設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)具有定理2.若f(x)能展成x

的冪級(jí)數(shù),則這種展開(kāi)式是唯一的,且與它的麥克勞林級(jí)數(shù)相同.證:設(shè)f(x)所展成的冪級(jí)數(shù)為則顯然結(jié)論成立.二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)

1.直接展開(kāi)法由泰勒級(jí)數(shù)理論可知,第一步求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0處的值;第二步寫(xiě)出麥克勞林級(jí)數(shù),并求出其收斂半徑R;第三步判別在收斂區(qū)間(－R,R)內(nèi)是否為0.驟如下:展開(kāi)方法直接展開(kāi)法—利用泰勒公式間接展開(kāi)法—利用已知其級(jí)數(shù)展開(kāi)式的函數(shù)展開(kāi)例1.將函數(shù)展開(kāi)成x

的冪級(jí)數(shù).解:

其收斂半徑為對(duì)任何有限數(shù)

x,其余項(xiàng)滿足故(

在0與x之間)故得級(jí)數(shù)例2.將展開(kāi)成x

的冪級(jí)數(shù).解:

得級(jí)數(shù):其收斂半徑為對(duì)任何有限數(shù)

x,其余項(xiàng)滿足類(lèi)似可推出:(P220例3)例3解兩邊積分得—牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)展開(kāi)式分別為

根據(jù)唯一性,利用常見(jiàn)展開(kāi)式,通過(guò)變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分,復(fù)合等方法,求展開(kāi)式.例如2.間接展開(kāi)法例4.

將函數(shù)

展開(kāi)成x

的冪級(jí)數(shù).解:

因?yàn)榘褁

換成,得例5.將函數(shù)展開(kāi)成x

的冪級(jí)數(shù).解:從0到x

積分,得定義且連續(xù),區(qū)間為利用此題可得上式右端的冪級(jí)數(shù)在x

＝1

收斂,所以展開(kāi)式對(duì)x

＝1也是成立的,于是收斂例6解再如：例7.將展成解:

的冪級(jí)數(shù).例8將分別展開(kāi)成x及x－1

的冪級(jí)數(shù)。①②例9.將展成x－1的冪級(jí)數(shù).解:

例解思考與練習(xí)3.4.如何求的冪級(jí)數(shù)?解答3.解4.如何求的冪級(jí)數(shù)?提示:例解內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法(1)直接展開(kāi)法—利用泰勒公式;(2)間接展開(kāi)法—利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展開(kāi)2.常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式式的函數(shù).當(dāng)m=–