7-7-2-3.乘法原理之染色問題 .題庫 教師版 pageof10.使學生掌握乘法原理主要內容，掌握乘法原理運用的方法；.使學生分清楚什么時候用乘法原理，分清有幾個必要的步驟，以及各步之間的關系．.培養學生準確分解步驟的解題能力；乘法原理的數學思想主旨在于分步考慮問題，本講的目的也是為了培養學生分步考慮問題的習慣．Fl1HlFl1Hl2知識要點一、乘法原理概念引入老師周六要去給同學們上課，首先得從家出發到長寧上8點的課，然后得趕到黃埔去上下午1點半的課．如果說申老師的家到長寧有5種可選擇的交通工具（公交、地鐵、出租車、自行車、步行），然后再從長寧到黃埔有2種可選擇的交通工具（公交、地鐵），同學們，你們說老師從家到黃埔一共有多少條路線？我們看上面這個示意圖，老師必須先的到長寧，然后再到黃埔．這幾個環節是必不可少的，老師是一定要先到長寧上完課，才能去黃埔的．在沒學乘法原理之前，我們可以通過一條一條的數，把線路找出來，顯而易見一共是10條路線．但是要是老師從家到長寧有25種可選擇的交通工具，并且從長寧到黃埔也有30種可選擇的交通工具，那一共有多少條線路呢？這樣數，恐怕是要耗費很多的時間了．這個時候我們的乘法原理就派上上用場了．二、乘法原理的定義完成一件事，這個事情可以分成n個必不可少的步驟（比如說老師從家到黃埔，必須要先到長寧，那么一共可以分成兩個必不可少的步驟，一是從家到長寧，二是從長寧到黃埔），第1步有A種不同的方法，第二步有B種不同的方法，……，第n步有N種不同的方法.那么完成這件事情一共有AxBx……xN種不同的方法．結合上個例子，老師要完成從家到黃埔的這么一件事，需要2個步驟，第1步是從家到長寧，一共5種選擇；第2步從長寧到黃埔，一共2種選擇；那么老師從家到黃埔一共有5x2個可選擇的路線了，即10條.三、乘法原理解題三部曲1、完成一件事分N個必要步驟；

2、每步找種數（每步的情況都不能單獨完成該件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考題類型1、路線種類問題——比如說老師舉的這個例子就是個路線種類問題；2、字的染色問題——比如說要3個字，然后有5種顏色可以給每個字然后，問3個字有多少種染色方法；3、地圖的染色問題——同學們可以回家看地圖，比如中國每個省的染色情況，給你幾種顏色，問你一張包括幾個部分的地圖有幾種染色的方法；4、排隊問題——比如說6個同學，排成一個隊伍，有多少種排法；5、數碼問題一就是對一些數字的排列，比如說給你幾個數字，然后排個幾為數的偶數，有多少種排法.《例題精講【例1】地圖上有A,B,C,D四個國家（如下圖），現有紅、黃、藍三種顏色給地圖染色，使相鄰國家的顏色不同，但不是每種顏色都必須要用，問有多少種染色方法？【考點】乘法原理之染色問題【題型】解答【考點】乘法原理之染色問題【題型】解答【解析】A有3種顏色可選；當B，C取相同的顏色時，有2種顏色可選，此時D也有2種顏色可選.根據乘法原理，不同的涂法有3x2x2=12種；當B,C取不同的顏色時，B有2種顏色可選，C僅剩1種顏色可選，此時D也只有1種顏色可選（與A相同）.根據乘法原理，不同的涂法有3x2x1x1=6種.綜上，根據加法原理，共有12+6=18種不同的涂法.【答案】18【鞏固】如果有紅、黃、藍、綠四種顏色給例題中的地圖染色，使相鄰國家的顏色不同，但不是每種顏色都必須要用，問有多少種染色方法？【考點】乘法原理之染色問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】第一步，首先對A進行染色一共有4種方法，然后對B、C進行染色，如果B、C取相同的顏色，有三種方式，D剩下3種方式，如果B、C取不同顏色，有3x2=6種方法，D剩下2種方法，對該圖的染色方法一共有4x（3x3+3x2x2）=84種方法.【注意】給地圖染色問題中有的可以直接用乘法原理解決，有的需要分類解決，前者分類做也可以解決問題．【答案】84【例2】在右圖的每個區域內涂上A、B、C、D四種顏色之一，使得每個圓里面恰有四種顏色，則一共有 種不同的染色方法．

【考點】乘法原理之染色問題【難度】4星 【題型】解答【考點】乘法原理之染色問題【難度】4星 【題型】解答【解析】因為每個圓內4個區域上染的顏色都不相同，所以一個圓內的4個區域一共有4x3x2=24種染色方法．如右圖所示，當一個圓內的1、2、3、4四個區域的顏色染定后，由于6號區域的顏色不能與2、3、4三個區域的顏色相同，所以只能與1號區域的顏色相同，同理5號區域只能與4號區域的顏色相同，7號區域只能與2號區域的顏色相同，所以當1、2、3、4四個區域的顏色染定后，其他區域的顏色也就相應的只有一種染法，所以一共有24種不同的染法．【答案】24【例3】如圖，地圖上有A,B,C,D四個國家，現用五種顏色給地圖染色，要使相鄰國家的顏色不相同，有多少種不同染色方法?ABCD【考點】乘法原理之染色問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】為了按要求給地圖上的這四個國家染色，我們可以分四步來完成染色的工作：第一步：給A染色，有5種顏色可選.第二步：給B染色，由于B不能與A同色，所以B有4種顏色可選.第三步：給C染色，由于C不能與A、B同色，所以C有3種顏色可選.第四步：給D染色，由于D不能與B、C同色，但可以與A同色，所以D有3種顏色可選.根據分步計數的乘法原理，用5種顏色給地圖染色共有5x4x3x3=180種不同的染色方法.【答案】180【鞏固】如圖，一張地圖上有五個國家A，B，C，D，E，現在要求用四種不同的顏色區分不同國家，要求相鄰的國家不能使用同一種顏色，不同的國家可以使用同—種顏色，那么這幅地圖有多少著色方法？【考點】乘法原理之染色問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】第一步，給A國上色，可以任選顏色，有四種選擇；第二步，給B國上色，B國不能使用A國的顏色，有三種選擇；第三步，給C國上色，C國與B,A兩國相鄰，所以不能使用A,B國的顏色，只有兩種選擇;第四步，給D國上色，D國與B,C兩國相鄰，因此也只有兩種選擇；

第五步，給E國上色，E國與C,D兩國相鄰，有兩種選擇.共有4x3x2x2x2=96種著色方法.96如圖：將一張紙作如下操作，一、用橫線將紙劃為相等的兩塊，二、用豎線將下邊的區塊劃為相等的兩塊，三、用橫線將最右下方的區塊分為相等的兩塊，四、用豎線將最右下方的區塊劃為相等的兩塊……，如此進行8步操作，問：如果用四種顏色對這一圖形進行染色，要求相鄰區塊顏色不同，應該有多少種不同的染色方法？【答案】【例4】【考點】【解析】【答案】【鞏固】【考點】【解析】【答案】【例5】【考點】【解析】【討論】乘法原理之染色問題 【難度】3星 【題型】解答對這張紙的操作一共進行了8次，每次操作都增加了一個區塊，所以8次操作后一共有9個區塊，我們對這張紙，進行染色就需要9個步驟，從最大的區塊從大到小開始染色，每個步驟地染色方法有：4、3、2、2、2……，所以一共有:4x3x2x2x2x2x2x2x2;1536種.1536用三種顏色去涂如圖所示的三塊區域，要求相鄰的區域涂不同的顏色，那么共有幾種不同的涂法？乘法原理之染色問題【題型】解答乘法原理之染色問題【題型】解答涂三塊毫無疑問是分成三步.第一步，涂A部分，那么就有三種顏色的選擇；第二步，涂B部分，由于要求相鄰的區域涂不同的顏色，A和B相鄰，當A確定了一種顏色后，B只有兩種顏色可選擇了；第三步，涂C部分，C和A、B都相鄰，A和B確定了兩種不相同的顏色，那么C只有一種顏色可選擇了.然后再根據乘法原理.3x2x1=6如圖，有一張地圖上有五個國家，現在要用四種顏色對這一幅地圖進行染色，使相鄰的國家所染的顏色不同，不相鄰的國家的顏色可以相同．那么一共可以有多少種染色方法？乘法原理之染色問題【難度】3星乘法原理之染色問題【難度】3星【題型】解答這一道題實際上就是例題，因為兩幅圖各個字母所代表的國家的相鄰國家是相同的，如果將本題中的地圖邊界進行直角化就會轉化為原題，所以對這幅地圖染色同樣一共有4x3x2x2x2=96種方法.如果染色步驟為C-A-B-D-E，那么應該該如何解答？答案：也是4x3x2x2x2=96種方法.如果染色步驟為C-A-D-B-E那么應該如何解答?答案：染色的前兩步一共有4x3種方法，但染第

三步時需要分類討論，如果D與A顏色相同，那么B有2種染法，E也有2種方法，如果D與A染不同的顏色，那么D有2種染法那么B只有一種染法，E有2種染法，所以一共應該有4x3x（1x2x2+2x1x2）=96種方法，（教師應該向學生說明第三個步驟用到了分類討論和加法原理，加法原理在下一講中將會講授），染色步驟選擇的經驗方法：每一步驟所染的區塊應該盡量和之前所染的區塊相鄰．【答案】96【鞏固】某沿海城市管轄7個縣，這7個縣的位置如右圖．現用紅、黑、綠、藍、紫五種顏色給右圖染色，要求任意相鄰的兩個縣染不同顏色，共有多少種不同的染色方法?【考點】乘法原理之染色問題【難度】4星【考點】乘法原理之染色問題【難度】4星【題型】解答【解析】為了便于分析，把地圖上的7個縣分別編號為A、B、C、D、E、F、G（如左下圖）.為了便于觀察，在保持相鄰關系不變的情況下可以把左圖改畫成右圖．那么，為了完成地圖染色這件工作需要多少步呢?由于有7個區域，我們不妨按A、B、C、D、E、F、G的順序，用紅、黑、綠、藍、紫五種顏色依次分7步來完成染色任務．第1步：先染區域A，有5種顏色可供選擇；第2步：再染區域B，由于B不能與A同色，所以區域B的染色方式有4種；第3步：染區域C，由于C不能與B、A同色，所以區域C的染色方式有3種；第4步：染區域D，由于D不能與C、A同色，所以區域D的染色方式有3種；第5步：染區域E，由于E不能與D、A同色，所以區域E的染色方式有3種；第6步：染區域F，由于F不能與E、A同色，所以區域F的染色方式有3種；第7步：染區域G，由于G不能與C、D同色，所以區域G的染色方式有3種.根據分步計數的乘法原理，共有5x4x3x3x3x3x3=4860種不同的染色方法.【答案】4860【例6】用3種顏色把一個3x3的方格表染色，要求相同行和相同列的3個格所染的顏色互不相同，一共有種不同的染色法.【考點】乘法原理之染色問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】根據題意可知，染完后這個3x3的方格表每一行和每一列都恰有3個顏色.用3種顏色染第一行，有P3=6種染法；染完第一行后再染第一列剩下的2個方格，有2種染法；當第一行和第一列都染好后3，再根據每一行和每一列都恰有3個顏色對剩下的方格進行染色，可知

其余的方格都只有唯一一種染法．所以，根據乘法原理，共有3x2=6種不同的染法.【答案】6【例7】如右圖，有A、B、C、D、E五個區域，現用五種顏色給區域染色，染色要求：每相鄰兩個區域不同色，每個區域染一色.有多少種不同的染色方式?百【考點】乘法原理之染色問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】先采用分步：第一步給A染色，有5種方法；第二步給B染色，有4種方式；第三步給C染色，有3種方式；第四步給D染色，有3種方式；第五步，給E染色，由于E不能與A、B、D同色，但可以和C同色.此時就出現了問題：當D與B同色時，E有3種顏色可染；而當D與B異色時，E有2種顏色可染．所以必須從第四步就開始分類：第一類，D與B同色.E有3種顏色可染，共有5x4x3x3=180（種）染色方式；第二類，D與B異色.D有2種顏色可染，E有2種顏色可染，共有5x4x3x2x2=240（種）染色方式．根據加法原理，共有180+240=420（種）染色方式.【注意】給圖形染色問題中有的可以直接用乘法原理解決，但如果碰到有首尾相接的圖形往往需要分類解決．【答案】420【鞏固】如右圖，有A，B，C，D四個區域，現用四種顏色給區域染色，要求相鄰區域的顏色不同，每個區域染一色．有多少種染色方法?【考點】乘法原理之染色問題【難度】3星【考點】乘法原理之染色問題【難度】3星【題型】解答【解析】A有4種顏色可選，然后分類:第一類：B,D取相同的顏色.有3種顏色可染，此時D也有3種顏色可選.根據乘法原理，不同的染法有4x3x3=36（種）；第二類：當B,D取不同的顏色時，B有3種顏色可染，C有2種顏色可染，此時D也有2種顏色可染.根據乘法原理，不同的染法有4x3x2x2=48（種）.根據加法原理，共有36+48=84（種）染色方法.【答案】84【鞏固】用四種顏色對右圖的五個字染色，要求相鄰的區域的字染不同的顏色，但不是每種顏色都必須要用．問：共有多少種不同的染色方法?【考點】乘法原理之染色問題【題型】解答

【考點】乘法原理之染色問題【題型】解答【解析】第一步給“而”上色，有4種選擇；然后對“學”染色，“學”有3種顏色可選；當“奧”，“數”取相同的顏色時，有2種顏色可選，此時“思”也有2種顏色可選，不同的涂法有3x2x2=12種；當“奧”，“數”取不同的顏色時，“奧”有2種顏色可選，“數”剩僅1種顏色可選，此時“思”也只有1種顏色可選（與“學”相同），不同的涂法有3x2x1x1=6種.所以，根據加法原理，共有4x3x（2x2+2）=72種不同的涂法.【答案】72【例8】分別用五種顏色中的某一種對下圖的A,B,C,D,E,F六個區域染色，要求相鄰的區域染不同的顏色，但不是每種顏色都必須要用．問：有多少種不同的染法？【考點】乘法原理之染色問題【題型】解答【考點】乘法原理之染色問題【題型】解答【解析】先按A,B,D,C,E的次序染色，可供選擇的顏色依次有5,4,3,2,3種，注意E與D的顏色搭配有3x3=9（種），其中有3種E和D同色，有6種E和D異色.最后染F，當E與D同色時有3種顏色可選，當E與D異色時有2種顏色可選，所以共有5x4x2x（3x3+6x2）=840種染法.【答案】840【例9】將圖中的。分別涂成紅色、黃色或綠色，要求有線段相連的兩個相鄰。涂不同的顏色，共有多少種不同涂法？【考點】乘法原理之染色問題【題型】解答【考點】乘法原理之染色問題【題型】解答【解析】如右上圖，當A,B,C,D的顏色確定后，大正方形四個角上的。的顏色就確定了，所以只需求A,B,C,D有多少種不同涂法.按先A，再B,D，后C的順序涂色.按A-B-D-C的順序涂顏色：A有3種顏色可選；當B,D取相同的顏色時，有2種顏色可選，此時C也有2種顏色可選，不同的涂法有3x2x2=12種;當B,D取不同的顏色時，B有2種顏色可選，D僅剩1種顏色可選，此時C也只有1種顏色可選（與A相同），不同的涂法有3x2x1x1=6（種）.所以，根據加法原理，共有12+6=18種不同的涂法.【答案】18【例10】用4種不同的顏色來涂正四面體（如圖，每個面都是完全相同的正三角形）的4個面，使不同的面涂有不同的顏色，共有 種不同的涂法.（將正四面體任意旋轉后仍然不同的涂色法，才被認為是不同的）【考點】乘法原理之染色問題【難度】4星【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，中年級，復賽，第9題【解析】不旋轉時共有4x3x2x1=24種染色方式，而一個正四面體有4x3=12種放置方法（4個面中選1個作底面，再從剩余3個面中選1個作正面），所以每種染色方式被重復計算了12次，則不同的染色方法有24-12=2種。【答案】2種【例11】用紅、橙、黃、綠、藍5種顏色中的1種，或2種，或3種，或4種，分別涂在正四面體各個面上，一個面不能用兩色，也無一個面不涂色的，問共有幾種不同涂色方式？【考點】乘法原理之染色問題 【難度】4星 【題型】解答【解析】我們來看正四面體四個面的相關位置，當底面確定后，（從上面俯視）三個側面的順序有順時針和逆時針兩種（當三個側面的顏色只有一種或兩種時，順時針和逆時針的顏色分布是相同的）．按使用了的顏色種數分類:按使用了的顏色種數分類:第一類:用了4種顏色．第一步，選4種顏色，相當于選1種不用，有5種選法．第二步，如果取定4種顏色涂于4個面上，有2種方法.這一類有5x2=10（種）涂法；第二類：用了3種顏色.第一步，選3種顏色，相當于選2種不用，有5x4+2=10（種）選法；第二步，取定3種顏色如紅、橙、黃3色，涂于4個面上，有6種方法，如下圖①②③（圖中用數字1,2,3分別表示紅、橙、黃3色）.這一類有10x6=60（種）涂法；第三類：用了2種顏色.第一步，選2種顏色，有5x4+2=10（種）選法；第二步，取定2種顏色如紅、橙2色，涂于4個面上，有3種方法，如下圖④⑤⑥.這一類有10x3=30（種）涂法；第四類：用了一種顏色．第一步選1種顏色有5種方法；第二步，取定1種顏色涂于4個面上，只有1種方法.這一類有5x1=5（種）涂法.根據加法原理，共有10+60+30+5=105（種）不同的涂色方式．【答案】105【例12】用紅、黃、藍三種顏色對一個正方體進行染色使相鄰面顏色不同一共有多少種方法？如果有紅、黃、藍、綠四種顏色對正方體進行染色使相鄰面顏色不同一共有多少種方法？如果有五種顏色去

染又有多少種？（注：正方體不能翻轉和旋轉）【考點】乘法原理之染色問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】如果一共只有三種顏色供染色，那么正方體的相對表面只能涂上一種顏色，一共有上下、左右、前后一共三組對立面，所以染色的方法有3x2x1二6種方法.如果有四種顏色，那么染色方法可分為兩類，一類是從四種顏色中選取三種對正方體進行染色，一共有4x3x2=24種.另一種是四種顏色都染上，用這種染色方法，就允許有一組相對表面可以染上不同的顏色，選取這組相對表面并染上不同顏色一共有3x（4x3）=36種方法，用其余兩種顏色去染其他四個面只有2種方法，共36x2=72種，所以一共有24+72=96種方法.如