2023年吉林省四平市普通高校對口單招高等數學一自考預測試題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.當x→0時，x2是x-ln(1+x)的()．

A.較高階的無窮小B.等價無窮小C.同階但不等價無窮小D.較低階的無窮小

2.

3.

A.-ex

B.-e-x

C.e-x

D.ex

4.

5.

6.函數f(x)=lnz在區間[1，2]上拉格朗日公式中的ε等于()。

A.ln2

B.ln1

C.lne

D.

7.

8.（）。A.

B.

C.

D.

9.

10.A.1-cosxB.1+cosxC.2-cosxD.2+cosx

11.設f(x)的一個原函數為x2，則f'(x)等于()．

A.

B.x2

C.2x

D.2

12.A.3B.2C.1D.1/2

13.下列關于構建的幾何形狀說法不正確的是()。

A.軸線為直線的桿稱為直桿B.軸線為曲線的桿稱為曲桿C.等截面的直桿稱為等直桿D.橫截面大小不等的桿稱為截面桿

14.

15.

16.

17.設f(x)為連續函數，則等于()A.A.

B.

C.

D.

18.函數y=x2-x+1在區間[-1，3]上滿足拉格朗日中值定理的ξ=A.A.-3/4B.0C.3/4D.1

19.設函數f(x)在(0，1)內可導，f'(x)＞0，則f(x)在(0，1)內A.A.單調減少B.單調增加C.為常量D.不為常量，也不單調

20.設f'(x0)=1,則等于()．A.A.3B.2C.1D.1/2

二、填空題(20題)21.

22.設f(x)=1+cos2x，則f'(1)=__________。

23.

24.設y=lnx，則y'=_________。

25.

26.

27.若f(ex)=1+e2x，且f(0)=1，則f(x)=________。

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.設y1(x)、y2(x)是二階常系數線性微分方程y″+py′+qy=0的兩個線性無關的解，則它的通解為______．

37.

38.

39.函數x=ln(1＋x2-y2)的全微分dz=_________．

40.三、計算題(20題)41.

42.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

43.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

44.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

45.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

46.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

47.

48.

49.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

50.

51.

52.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

53.

54.求微分方程的通解．

55.證明：

56.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

57.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

58.

59.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

60.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

四、解答題(10題)61.設z=z(x，y)由ez-z+xy=3所確定，求dz。

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.用鐵皮做一個容積為V的圓柱形有蓋桶，證明當圓柱的高等于底面直徑時，所使用的鐵皮面積最小。

70.

五、高等數學(0題)71.函數f(x)=xn(a≠0)的彈性函數為g(x)=_________.

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.C解析：本題考查的知識點為無窮小階的比較．

由于

可知當x→0時，x2與x-ln(1+x)為同階但不等價無窮小．故應選C．

2.A

3.C由可變上限積分求導公式有，因此選C．

4.D

5.A

6.D由拉格朗日定理

7.A

8.A

9.C解析：

10.D

11.D解析：本題考查的知識點為原函數的概念．

由于x2為f(x)的原函數，因此

f(x)=(x2)'=2x，

因此

f'(x)=2．

可知應選D．

12.B，可知應選B。

13.D

14.D解析：

15.B解析：

16.D

17.D本題考查的知識點為定積分的性質；牛-萊公式．

可知應選D．

18.D

19.B由于f'(x)＞0，可知．f(x)在(0，1)內單調增加。因此選B。

20.B本題考查的知識點為導數的定義．

由題設知f'(x0)=1，又由題設條件知

可知應選B．

21.y-2=3(x-1)(或寫為y=3x-1)y-2=3(x-1)(或寫為y=3x-1)解析：

22.-2sin2

23.2

24.1/x

25.

解析：本題考查的知識點為不定積分的湊微分法．

26.-ln2

27.

因為f"(ex)=1+e2x，則等式兩邊對ex積分有

28.0

29.1/z本題考查了二元函數的二階偏導數的知識點。

30.

31.3yx3y-1

32.

33.eyey

解析：

34.(-∞0]

35.

36.由二階線性常系數微分方程解的結構可知所給方程的通解為

其中C1，C2為任意常數．

37.

38.3/23/2解析：

39.

40.

41.

42.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

43.由等價無窮小量的定義可知

44.函數的定義域為

注意

45.由二重積分物理意義知

46.

47.

48.

49.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

50.

則

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.由一階線性微分方程通解公式有

59.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

60.

列表：

說明

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63.

64.

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