2022年湖南省長沙市成考專升本高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(50題)1.

A.

B.

C.

D.

2.

3.方程x2+2y2-z2=0表示的曲面是（）A.A.橢球面B.錐面C.柱面D.平面

4.曲線y=x2+5x+4在點(-1，0)處切線的斜率為（）A.A.2B.-2C.3D.-3

5.下列命題正確的是（）．A.A.

B.

C.

D.

6.設函數為()．A.A.0B.1C.2D.不存在

7.設區域，將二重積分在極坐標系下化為二次積分為()A.A.

B.

C.

D.

8.

9.

A.6xarctanx2

B.6xtanx2＋5

C.5

D.6xcos2x

10.A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與k有關

11.

12.

13.設函數f(x)在(0，1)內可導，f'(x)>0，則f(x)在(0，1)內（）A.A.單調減少B.單調增加C.為常量D.不為常量，也不單調

14.

15.

16.A.A.

B.

C.

D.

17.微分方程y'=1的通解為A.y=xB.y=CxC.y=C-xD.y=C+x

18.A.A.1/2B.1C.2D.e

19.

A.1B.0C.-1D.-2

20.

21.

22.為二次積分為（）。A.

B.

C.

D.

23.設函數z=sin(xy2)，則等于()。A.cos(xy2)

B.xy2cos(xy2)

C.2xyeos(xy2)

D.y2cos(xy2)

24.A.-3-xln3

B.-3-x/ln3

C.3-x/ln3

D.3-xln3

25.設y=sin2x，則y'=A.A.2cosxB.cos2xC.2cos2xD.cosx

26.A.A.xy

B.yxy

C.(x+1)yln(x+1)

D.y(x+1)y-1

27.用待定系數法求微分方程y"-y=xex的一個特解時，特解的形式是(式中α、b是常數)。A.(αx2+bx)ex

B.(αx2+b)ex

C.αx2ex

D.(αx+b)ex

28.

29.設un≤aυn(n=1，2，…)(a＞0)，且收斂，則()A.必定收斂B.必定發散C.收斂性與a有關D.上述三個結論都不正確

30.下列命題中正確的有()．

31.

32.A.A.0B.1/2C.1D.∞

33.若y1·y2為二階線性常系數微分方程y〞+p1y'+p2y=0的兩個特解，則C1y1+C2y2（）.A.為所給方程的解，但不是通解

B.為所給方程的解，但不一定是通解

C.為所給方程的通解

D.不為所給方程的解

34.

35.（）。A.

B.

C.

D.

36.設f(x)為連續函數，則()'等于()．A.A.f(t)B.f(t)-f(a)C.f(x)D.f(x)-f(a)37.設函數f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，則方程f(x)=0有（）。A.一個實根B.兩個實根C.三個實根D.無實根38.A.3B.2C.1D.0

39.平衡物體發生自鎖現象的條件為()。

A.0≤α≤φ

B.0≤φ≤α

C.0<α<90。

D.0<φ<90。

40.

41.

42.

43.力偶對剛體產生哪種運動效應()。

A.既能使剛體轉動，又能使剛體移動B.與力產生的運動效應有時候相同，有時不同C.只能使剛體轉動D.只能使剛體移動

44.

45.A.A.2B.1C.1/2D.0

46.

47.過點(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)的平面方程為()．

A.x+y+z=1

B.2x+y+z=1

C.x+2y+z=1

D.x+y+2z=1

48.

49.

50.

A.2x-2B.2y+4C.2x+2y+2D.2y+4+x2-2x二、填空題(20題)51.

52.

53.

54.函數f(x)=2x2+4x+2的極小值點為x=_________。

55.曲線y=x3-3x+2的拐點是__________。

56.函數的間斷點為______．

57.

58.59.y''-2y'-3y=0的通解是______.60.

61.ylnxdx+xlnydy=0的通解是______.

62.函數f(x)=2x2-x+1，在區間[-1，2]上滿足拉格朗日中值定理的ξ=_________。

63.________。64.65.

66.

67.

68.

69.

70.若∫x0f(t)dt=2e3x-2，則f(x)=________。

三、計算題(20題)71.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．72.求微分方程的通解．73.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

74.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

75.

76.77.78.

79.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．80.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．81.

82.

83.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．84.證明：85.86.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

87.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

88.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則89.求曲線在點(1，3)處的切線方程．90.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．四、解答題(10題)91.

92.

93.

94.

95.求∫xsin(x2+1)dx。

96.

97.

98.

99.

100.五、高等數學(0題)101.當x→0時，tan2x是()。

A.比sin3x高階的無窮小B.比sin3x低階的無窮小C.與sin3x同階的無窮小D.與sin3x等價的無窮小六、解答題(0題)102.

參考答案

1.B本題考查的知識點為交換二次積分次序。由所給二次積分可知積分區域D可以表示為1≤y≤2，y≤x≤2，交換積分次序后，D可以表示為1≤x≤2，1≤y≤x，故應選B。

2.D

3.B對照二次曲面的標準方程可知，所給曲面為錐面，因此選B．

4.C點(-1，0)在曲線y=x2+5x+4上．y=x2+5x+4，y'=2x+5，由導數的幾何意義可知，曲線y=x2+5x+4在點(-1,0)處切線的斜率為3，所以選C．

5.D本題考查的知識點為收斂級數的性質和絕對收斂的概念．

由絕對收斂級數的性質“絕對收斂的級數必定收斂”可知應選D．

6.D本題考查的知識點為極限與左極限、右極限的關系．

由于f(x)為分段函數，點x=1為f(x)的分段點，且在x=1的兩側，f(x)的表達式不相同，因此應考慮左極限與右極限．

7.A本題考查的知識點為將二重積分化為極坐標系下的二次積分．

由于在極坐標系下積分區域D可以表示為

0≤θ≤π，0≤r≤a．

因此

故知應選A．

8.B

9.C

10.A本題考查的知識點為無窮級數的收斂性。

11.C解析：

12.C

13.B由于f'(x)>0，可知f(x)在(0，1)內單調增加．因此選B．

14.B

15.B

16.B

17.D

18.C

19.A

本題考查的知識點為導數公式．

可知應選A．

20.B解析：

21.A

22.A本題考查的知識點為將二重積分化為極坐標系下的二次積分。由于在極坐標系下積分區域D可以表示為

故知應選A。

23.D本題考查的知識點為偏導數的運算。由z=sin(xy2)，知可知應選D。

24.A由復合函數鏈式法則可知，因此選A．

25.C由鏈式法則可得(sin2x)'=cos2x*(2x)'=2cos2x，故選C。

26.C

27.Ay"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根為r1=1，r2=-1

y"-y=xex中自由項f(x)=xex，α=1是特征單根，應設y*=x(ax+b)ex=(αx2+bx)ex。

所以選A。

28.B

29.D由正項級數的比較判定法知，若un≤υn，則當收斂時，也收斂；若也發散，但題設未交待un與υn的正負性，由此可分析此題選D。

30.B解析：

31.A

32.A

33.B

34.D解析：

35.A

36.C本題考查的知識點為可變上限積分的求導性質．

這是一個基本性質：若f(x)為連續函數，則必定可導，且

本題常見的錯誤是選D，這是由于考生將積分的性質與牛頓-萊布尼茨公式混在了一起而引起的錯誤．

37.B

38.A

39.A

40.A

41.C解析：

42.D

43.A

44.C

45.D

46.B解析：

47.A設所求平面方程為．由于點(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)都在平面上，將它們的坐標分別代入所設平面方程，可得方程組

故選A．

48.B

49.C

50.B解析：

51.-3sin3x-3sin3x解析：

52.y+3x2+x

53.

本題考查的知識點為求直線的方程．

由于所求直線平行于已知直線1，可知兩條直線的方向向量相同，由直線的標準式方程可知所求直線方程為

54.-1

55.(02)56.本題考查的知識點為判定函數的間斷點．

僅當，即x=±1時，函數沒有定義，因此x=±1為函數的間斷點。

57.

解析：

58.59.y=C1e-x+C2e3x由y''-2y'-3y=0的特征方程為r2-2r-3=0，得特征根為r1=3，r2=-1，所以方程的通解為y=C1e-x+C2e3x.

60.x--arctanx+C本題考查了不定積分的知識點。

61.(lnx)2+(lny)2=C

62.1/263.1

64.

本題考查的知識點為隱函數的求導．

65.

66.2

67.

68.坐標原點坐標原點69.0

70.6e3x

71.

72.

73.

74.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

75.

76.

77.

78.由一階線性微分方程通解公式有

79.

80.

81.

則

82.83.由二重積分物理意義知

84.

85.

86.函數的定義域為

注意

87.解：原方程