高等數學—第二章極限與連續第八節函數的連續性五、在閉區間上連續函數的性質一、函數改變量二、連續函數的概念三、函數的間斷點四、連續函數的運算法則六、利用函數連續性求函數極限一、函數改變量定義2.11變量t由初值改變到終值則稱為變量t的改變量。等價定義：設函數

y=f(x)在有定義，若自變量x從改變到則函數

y的改變量為函數的增量例1設正方形邊長為x，求邊長改變量為Δx時，面積的增量。解：設正方形的面積：當邊長變為x+Δx時，面積為：則面積的改變量為：注意：函數的改變量可以為正，也可以為負。二、連續函數的概念定義2.12設函數y=f(x)在有定義。若當x在處取得該變量時，有則稱函數f(x)在點處連續。否則，間斷。例2證明：若函數

f(x)在點處連續，則令則當時，即，這樣，就可以得到連續函數的等價定義。若在區間上連續，或稱它是該區間上的連續函數.定義2.14注意：若f

(x)在處左連續；則稱

f

(x)在若處右連續。則稱

f

(x)在很顯然，在內連續。連續函數的圖形是一條連續而不間斷的曲線.上每一點都連續，則稱例3

證明函數在內連續.證：即這說明在內連續.同理可證：函數在內連續.三、函數的間斷點在在(1)函數(2)函數不存在；(3)函數存在，但處不連續，即間斷：設在點處不滿足連續的條件，即滿足這樣的點下列三個條件之一，稱函數

f(x)在雖有定義，但有定義,且稱為函數

f

(x)

的間斷點。在處無定義；定義2.15間斷點的分類：第一類間斷點：及均存在，若稱若稱第二類間斷點：及中至少一個不存在，稱若其中有一個為振蕩無極限，若其中有一個為為可去間斷點。為跳躍間斷點。為無窮間斷點。為振蕩間斷點。稱為其無窮間斷點.為其振蕩間斷點.為可去間斷點.例如，顯然，為其可去間斷點。(4)(5)為其跳躍間斷點。四、連續函數的運算法則定理2.13注意：可推廣到有限次四則運算的情況。推論：多項式函數在連續。分式函數在使得分母不為零的點連續(即在定義區間連續)?；境醯群瘮翟诙x區間內連續連續函數經四則運算仍連續連續函數的復合函數仍連續一切初等函數在定義區間內連續例如，的連續區間為(端點為單側連續)的連續區間為結論連續函數的反函數仍連續分段函數的間斷點只可能出現在分段點上。六、利用函數的連續性求極限例5求解：因函數在

x=0處連續，則原式=(連續，可直接代入)例8

求解：原式說明：若則有五、閉區間上連續函數的性質定理2.14閉區間上的連續函數必有界。(連續必有界；有界不一定連續)定理2.15(最大值與最小值定理)在閉區間上連續的函數，在該區間上一定有最大值注意：若函數在開區間上連續,則結論不一定成立?；蛟陂]區間內有間斷點，和最小值。定理2.16(介值定理)注意：ξ點不唯一。例9利用介值定理證明方程在區間內各有一個根。解：設則f

(x)

在區間上滿足零點定理，使得即，是方程的三個根。又因三次方程最多有三個根，因此恰為三個根。內容小結左連續右連續在點連續的等價形式第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在2.間斷點的類型基本初等函數在定義區間內連續連續函數經四則運算仍連續連續函數的復合函數仍連續一切初等函數在定義區間內連續連續函數的反函數仍連續3.4