1.2集合之間的關系與運算.1．2.1集合之間的關系

.知識整合.1．對于兩個集合A與B，如果集合A的________一個元素都是集合B的元素，就說集合A________集合B(或集合B______集合A)，記作A______B(或B________A)，這時，也說集合A是集合B的________．2．集合A不包含于集合B(或集合B不包含集合A)，記作A________B(或B________A)．3．如果________，并且________，那么集合A叫集合B的真子集，記作________或________．.4．空集是任意一個集合的________，記作?________A；空集又是任意________集合的________，任意一個集合都是它本身的________．特別警示：若A?B，則先考慮A＝?的情形，在解題時容易忽略這一點而導致不必要的錯誤．.5．一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A的________一個元素都是集合B的元素，同時，集合B的________一個元素都是集合A的元素，就說集合A________集合B，記作________，對于集合A、B，如果A?B，同時B?A，那么________．經驗公式：有限集合的子集的個數：n個元素組成的集合的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個．.答案：1.任意包含于包含??子集2．3．集合A是集合B的子集B中至少有一個元素不屬于A

AB

BA4．子集?非空真子集子集5．任意任意等于A＝B

A＝B.名師解答.我們知道，兩個實數之間有相等、大于、小于等關系，那么元素與集合、集合與集合之間是否也有類似的關系？集合間的基本關系與實數間的關系可否比較？(1)從屬關系(∈)只能用在元素與集合之間；包含關系(?、)只能用在集合與集合之間．在使用以上符號的時候先要弄清楚是元素與集合還是集合與集合之間的關系．比如表示元素與集合之間的關系有：1∈N，－1?N,1∈{1},0∈{0}等，但不能寫成0＝{0}或0?{0}；表示集合與集合之間的關系有：N?R，{1,2,3}?{1,2,3}，{1,2,3}{1,2,3,4}等．.(2)集合與集合的關系有包含關系、相等關系．其中包含關系有：包含于(?)、包含(?)、真包含于()、真包含()等．用這些符號時要注意方向，如A?B與B?A是相同的，但A?B與B?A是不同的．.

(3)集合間的基本關系與實數間的關系比較：研究對象關系及符號比較集合關系包含于(被包含)真包含于包含真包含等于不包含于符號??＝實數關系小于等于小于大于等于大于等于不等于符號≤<≥>＝≠.通過比較，相信我們能較好地理解元素與集合之間，集合與集合之間的關系，并能夠找到很好的學習和記憶本節知識的方法——類比法！.深入學習.題型一判定集合間的關系【例1】判斷下列關系是否正確．(1){a}?{a}；(2){1,2,3}＝{3,2,1}；(3)?{0}；(4)0∈{0}；(5)?∈{0}；(6)?＝{0}；(7)?{0,1,2}；(8){1}{x|x≤5}．.解：(1)任何一個集合是它本身的子集，因此，{a}?{a}，正確；(2)兩個集合中的元素相同，故用“＝”號，正確；(3)空集是任何非空集合的真子集，正確；(4){0}中只有一個元素0,0∈{0}，正確；(5)?與{0}是兩個集合，不能用∈連接；(6)?中沒有任何元素，而{0}中有一個元素，二者不相等；.(7)空集是任何非空集合的真子集，正確；(8)∵1<5，∴1∈{x|x≤5}．∴{1}{x|x≤5}，正確．由以上分析可知：(1)(2)(3)(4)(7)(8)正確，(5)(6)錯誤．

.變式訓練1已知X＝{x|x＝n2＋1，n∈N＋}，Y＝{y|y＝k2－4k＋5，k∈N＋}，試判斷集合X與Y的關系，并給出證明．解：集合X中，x＝2,5,10,17，…，集合Y中，y＝(k－2)2＋1＝2,1,2,5,10,17，…，可得XY.證明如下：對于任意的元素x∈X，有x＝n2＋1＝(n2＋4n＋4)－4(n＋2)＋5＝(n＋2)2－4(n＋2)＋5.由n∈N＋，知n＋2∈N＋，∴x具有y＝k2－4k＋5，k∈N＋的形式．∴x?Y.又k＝2時，y＝1，∴1∈Y.而1?X，從而XY..題型二子集關系的應用【例2】滿足條件{1,2}M?{1,2,3,4,5}的集合M的個數是()A．3 B．6C．7 D．9分析：根據已知條件確定M中元素的組成情況，進而求解．答案：C.解法一：由已知得集合M必含有元素1和2，且至少有一個不同于1和2的元素，故符合條件的集合M為{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,5}、{1,2,3,4}、{1,2,3,5}、{1,2,4,5}、{1,2,3,4,5}共7個，故選C.解法二：由已知得集合M必含有元素1和2，且至少有一個不同于1和2且等于3，或4，或5的元素，所以集合M的個數為集合{3,4,5}的非空子集的個數，即23－1＝7，故選C.評析：本題是利用真子集和子集的定義解題，可根據元素個數由少到多來分類處理．.變式訓練2已知集合A＝{x|x>2或x<－1}，B＝{x|a<x<a＋1}，若B?A，求實數a的取值范圍．解：將集合A中的元素，即適合x>2或x<－1的實數在數軸上表示出來．如下圖①②.∵B?A，∴a≥2或a＋1≤－1.解得a≥2或a≤－2.即所求a的取值范圍為a≥2或a≤－2..題型三集合相等關系的應用【例3】已知三元素集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x與y的值．分析：依據“相等”的定義和集合中元素的互異性，構造x、y的方程．.解：∵0∈B，A＝B，∴0∈A.∵集合A為三元素集，∴x≠xy.∴x≠0.又∵0∈B，y∈B，∴y≠0.從而x－y＝0，x＝y.這時，A＝{x，x2,0}，B＝{0，|x|，x}，∴x2＝|x|.解得x＝0(舍去)或x＝1(舍去)或x＝－1.經驗證：x＝－1，y＝－1是本題的解．.變式訓練3已知M＝{a，a＋d，a＋2d}，N＝{a，aq，aq2}(a≠0)，且M＝N，求q的值．..整體探究解讀.題型一判定集合的個數【例1】滿足{a}?M{a，b，c，d}的集合M共有()A．6個 B．7個C．8個 D．15個分析：用子集及真子集的概念來解決．.解：∵{a}?M，∴M中至少含有一個元素a.又∵M{a，b，c，d}，∴M中至多含有三個元素．由此可知滿足條件的集合M有：{a}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}共7個．故選B.答案：B.答案：B..評析：當判定用特征性質描述法表示的兩個集合關系時，一是可用賦值法，二是從兩集合元素的特征性質p(x)入手，通過整理化簡，看是否是一類元素．.題型三利用集合之間的關系求參數范圍【例3】設A＝{x|－2≤x≤a，a≥－2}，B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}，且C?B，求實數a的取值范圍．分析：B與C分別是函數y＝2x＋3，x∈A及z＝x2，x∈A的值域，且兩個函數定義域均為A，可借助函數圖象分析得a，需以2為界分兩部分進行討論．.解：∵A＝{x|－2≤x≤a，a≥－2}，∴B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}＝{y|－1≤y≤2a＋3}．(1)當a≥2時，C＝{z|0≤z≤a2}，∵C?B，∴a2≤2a＋3，解得2≤a≤3.(2)當－2≤a<2時，C＝{z|0≤z≤4}．∵C?B，∴4≤2a＋3，解得≤a<2.綜合(1)(2)得≤a≤3..評析：集合與不等式的關系問題主要分兩類：(1)不含參數的一般可直接求解；(2)含參數問題，往往要等價轉換集合的表示或化簡集合，然后依據數形結合進行分類討論．.【例4】(1)設A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B?A，求實數a組成的集合；(2)設A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求實數m的取值范圍．分析：以上兩題，雖然一個是等式，一個是不等式，但殊途同歸，解題方法一樣．由于B可能為空集，且B＝?時，仍然有B?A成立，因此，都要分B＝?，B≠?兩種情況討論．.解：(1)∵x2－8x＋15＝0，∴x＝3，或x＝5.∴A＝{3,5}．∵B?A，∴①B＝?時，a＝0.②B≠?時，由B?A知，3∈B或5∈B..(2)當B≠?時，如下圖，由B?A得解得2≤m≤3.當B＝?時，m＋1>2m－1，解得m<2.由以上可得m≤3.

.評析：(1)①B?A說明集合B的任何一個元素都屬于A.②集合B可能為?，這一點在解題時常常容易忽視，從而致錯．在解題時要特別注意這個“陷阱”．(2)①畫數軸解決不等式問題，形象直觀，提高了正確率和解題速度．②本題能夠加深對空集的理解．空集是不含任何元素的集合．本題中的集合B在什么條件下是空集呢？當且僅當不等式m＋1≤x≤2m－1不成立時，B＝?，這個不等式何時不成立？當且僅當m＋1>2m－1時，不成立．.③當B≠?時，2≤m≤3；當B＝?時，m<2.怎么最終結果變成了m≤3？這是因為2≤m≤3時和m<2時，都有B?A.將這兩個不等式標在數軸上，如下圖，可以發現，這兩部分連接成一體了，因此，只要寫出m≤3就可以．④在集合問題中，常常需要分類討論，當A?B時，A可以是?，但常常由于解題時忽略這一點而致錯．.題型四子集綜合問題【例5】一特警小組共有5人，上級要求組長至少帶一名特警隊員去執行一項特殊任務．問有多少種不同的分組方案？分析：可把這一特警小組的5名隊員看做一個集合．.解：設特警小組組長為a，其他四名特警隊員分別為b，c，d，e.組成含組長a去執行任務的集合為A，則滿足{a}A?{a，b，c，d，e}．則A為{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，c，d}，{a，c，e}，{a，d，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，{a，c，d，e}，{a，b，c，d，e}．共計15種不同的分組方案．.【例6】同時滿足：①M?{1,2,3,4,5}，②若a∈M，則6－a∈M的非空集合M有多少個？寫出這些集合．解：由題意知，a∈M,6－a∈M，且M?{1,2,3,4,5}，故以M中元素的個數進行分類．①M中含1個元素時，若3∈M，則6－3∈M，