2013年山東省高考數學試卷（文科）一．選擇題：本題共12個小題，每題5分，共60分．1．（5分）復數z=（i為虛數單位），則|z|（）A．25B．C．5D．2．（5分）已知會集A、B全集U={1、2、3、4}，且?U（A∪B）={4}，B={1，2}，則A∩?UB=（）A．{3}B．{4}C．{3，4}D．?3．（5分）已知函數f（x）為奇函數，且當x＞0時，f（x）=x2+，則f（﹣1）=（）A．2B．1C．0D．﹣24．（5分）一個四棱錐的側棱長都相等，底面是正方形，其正（主）視圖如圖所示該四棱錐側面積和體積分別是（）A．4，8B．C．D．8，85．（5分）函數f（x）=的定義域為（）A．（﹣3，0]B．（﹣3，1]C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1）6．（5分）執行兩次以下列圖的程序框圖，若第一次輸入的a的值為﹣1.2，第二次輸入的a的值為1.2，則第一次、第二次輸出的a的值分別為（）.A．0.2，0.2B．0.2，0.8C．0.8，0.2D．0.8，0.87．（5分）△ABC的內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，則c=（）A．B．2C．D．18．（5分）給定兩個命題p，q．若￢p是q的必需而不充分條件，則p是￢q的（）A．充分而不用要條件B．必需而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件9．（5分）函數y=xcosx+sinx的圖象大體為（）A．B．C．D．10．（5分）將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個節余分數的均勻分為91，現場做的9個分數的莖葉圖以后有一個數據模糊，沒法辨識，.在圖中以x表示：則7個節余分數的方差為（）A．B．C．36D．11．（5分）拋物線C1：的焦點與雙曲線C2：的右焦點的連線交C1于第一象限的點M．若C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p=（）A．B．C．D．．（分）設正實數x，y，z滿足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，則當獲得最小值時，x+2y125﹣z的最大值為（）A．0B．C．2D．二．填空題：本大題共4小題，每題4分，共16分13．（4分）過點（3，1）作圓（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，此中最短的弦長為．14．（4分）在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組所表示的區域上一動點，則直線|OM|的最小值為．15．（4分）在平面直角坐標系xOy中，已知，，若∠ABO=90°，則實數t的值為．16．（4分）定義“正對數”：ln+x=，現有四個命題：①若a＞0，b＞0，則ln+（ab）=bln+；a②若a＞0，b＞0，則ln+（ab）=ln++；a+lnb③若a＞0，b＞0，則；④若a＞0，b＞0，則ln+（a+b）≤ln++．a+lnb+ln2此中的真命題有（寫出全部真命題的序號）.三．解答題：本大題共6小題，共74分，17．（12分）某小組共有A、B、C、D、E五位同學，他們的身高（單位：米）以及體重指標（單位：千克/米2）如表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82體重指標19.225.118.523.320.9（Ⅰ）從該小組身高低于1.80的同學中任選2人，求選到的2人身高都在1.78以下的概率（Ⅱ）從該小組同學中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5，23.9）中的概率．18．（12分）設函數f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx＞（0），且y=f（x）的圖象的一個對稱中心到近來的對稱軸的距離為，（Ⅰ）求ω的值（Ⅱ）求f（x）在區間[]上的最大值和最小值．19．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分別為PB、AB、BC、PD、PC的中點．（Ⅰ）求證：CE∥平面PAD（Ⅱ）求證：平面EFG⊥平面EMN．20．（12分）設等差數列{an}的前n項和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）設數列{bn}滿足=1﹣，n∈N*，求{bn}的前n項和Tn．.21．（12分）已知函數f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）（Ⅰ）設a≥0，求f（x）的單調區間（Ⅱ）設a＞0，且關于任意x＞0，f（x）≥f（1）．試比較lna與﹣2b的大小．22．（14分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，離心率為（Ⅰ）求橢圓C的方程（Ⅱ）A，B為橢圓C上滿足△AOB的面積為的任意兩點，E為線段AB的中點，射線OE交橢圓C與點P，設，務實數t的值．.2013年山東省高考數學試卷（文科）參照答案與試題分析一．選擇題：本題共12個小題，每題5分，共60分．1．（5分）（2013?山東）復數z=（i為虛數單位），則|z|（）A．25B．C．5D．【分析】化簡復數z，而后求出復數的模即可．【解答】解：因為復數z==，所以|z|==．應選C．2．（5分）（2013?山東）已知會集、全集（A∪B）={4}，ABU={1、2、3、4}，且?UB={1，2}，則A∩?UB=（）A．{3}B．{4}C．{3，4}D．?【分析】經過已知條件求出A∪B，?UB，而后求出A∩?UB即可．【解答】解：因為全集．}，且?U（A∪B）={4}，所以A∪B={1，2，3}，B={1，2}，所以?UB={3，4}，所以A={3}或{1，3}或{3，2}或{1，2，3}．所以A∩?UB={3}．應選A．3．（5分）（2013?山東）已知函數f（x）為奇函數，且當x＞0時，f（x）=x2+，則f（﹣1）=（）A．2B．1C．0D．﹣2【分析】由條件利用函數的奇偶性和單調性的性質可得f（﹣1）=﹣f（1），運.算求得結果．【解答】解：∵已知函數f（x）為奇函數，且當x＞0時，f（x）=x2+，則f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1+1）=﹣2，應選D．4．（5分）（2013?山東）一個四棱錐的側棱長都相等，底面是正方形，其正（主）視圖以下列圖該四棱錐側面積和體積分別是（）A．4，8B．C．D．8，8【分析】由題意可知原四棱錐為正四棱錐，由四棱錐的主視圖獲得四棱錐的底面邊長和高，則其側面積和體積可求．【解答】解：因為四棱錐的側棱長都相等，底面是正方形，所以該四棱錐為正四棱錐，其主視圖為原圖形中的三角形PEF，如圖，由該四棱錐的主視圖可知四棱錐的底面邊長AB=2，高PO=2，則四棱錐的斜高PE=．所以該四棱錐側面積S=，體積V=．應選B．.5．（5分）（2013?山東）函數f（x）=的定義域為（）A．（﹣3，0]B．（﹣3，1]C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1）【分析】由函數分析式可得1﹣2x≥0且x+3＞0，由此求得函數的定義域．【解答】解：由函數f（x）=可得1﹣2x≥0且x+3＞0，解得﹣3＜x≤0，故函數f（x）=的定義域為{x|﹣3＜x≤0}，應選A．6．（5分）（2013?山東）執行兩次以下列圖的程序框圖，若第一次輸入的a的值為﹣1.2，第二次輸入的a的值為1.2，則第一次、第二次輸出的a的值分別為（）.A．0.2，0.2B．0.2，0.8C．0.8，0.2D．0.8，0.8【分析】計算循環中a的值，當a≥1時不滿足判斷框的條件，退出循環，輸出結果即可．【解答】解：若第一次輸入的a的值為﹣1.2，滿足上邊一個判斷框條件a＜0，第1次循環，a=﹣1.2+1=﹣0.2，第2次判斷后循環，a=﹣0.2+1=0.8，第3次判斷，滿足上邊一個判斷框的條件退出上邊的循環，進入下邊的循環，不滿足下邊一個判斷框條件a≥1，退出循環，輸出a=0.8；第二次輸入的a的值為1.2，不滿足上邊一個判斷框條件a＜0，退出上邊的循環，進入下邊的循環，滿足下邊一個判斷框條件a≥1，第1次循環，a=1.2﹣1=0.2，第2次判斷后不滿足下邊一個判斷框的條件退出下邊的循環，輸出a=0.2；應選C．7．（5分）（2013?山東）△ABC的內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，則c=（）A．B．2C．D．1.【分析】利用正弦定理列出關系式，將B=2A，a，b的值代入，利用二倍角的正弦函數公式化簡，整理求出cosA的值，再由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可求出c的值．【解答】解：∵B=2A，a=1，b=，∴由正弦定理=得：===，∴cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=3+c2﹣3c，解得：c=2或c=1（經檢驗不合題意，舍去），則c=2．應選B8．（5分）（2013?山東）給定兩個命題p，q．若￢p是q的必需而不充分條件，則p是￢q的（）A．充分而不用要條件B．必需而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件【分析】依據互為逆否命題真假性相同，可將已知轉變成q是?p的充分不用要條件，從而依據逆否命題及充要條件的定義獲得答案．【解答】解：∵?p是q的必需而不充分條件，q是?p的充分不用要條件，即q??p，但?p不可以?q，其逆否命題為p??q，但?q不可以?p，則p是?q的充分不用要條件．應選A．9．（5分）（2013?山東）函數y=xcosx+sinx的圖象大體為（）A．B．C．.D．【分析】給出的函數是奇函數，奇函數圖象關于原點中心對稱，由此消除B，然后利用區特值消除A和C，則答案可求．【解答】解：因為函數y=xcosx+sinx為奇函數，所以消除選項B，由當x=時，，當x=π時，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可消除選項A和選項C．故正確的選項為D．應選D．10．（5分）（2013?山東）將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個節余分數的均勻分為91，現場做的9個分數的莖葉圖以后有一個數據模糊，沒法辨識，在圖中以x表示：則7個節余分數的方差為（）A．B．C．36D．【分析】依據題意，去掉兩個數據后，獲得要用的7個數據，先依據這組數據的均勻數，求出x，再用方差的個數代入數據和均勻數，做出這組數據的方差．【解答】解：∵由題意知去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的數據是87，90，90，91，91，94，90+x．∴這組數據的均勻數是=91，∴x=4．∴這這組數據的方差是（16+1+1+0+0+9+9）=．應選：B．（．5分）（山東）拋物線1：的焦點與雙曲線C2：112013?C.的右焦點的連線交C1于第一象限的點M．若C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p=（）A．B．C．D．【分析】由曲線方程求出拋物線與雙曲線的焦點坐標，由兩點式寫出過兩個焦點的直線方程，求出函數在x取直線與拋物線交點M的橫坐標時的導數值，由其等于雙曲線漸近線的斜率獲得交點橫坐標與p的關系，把M點的坐標代入直線方程即可求得p的值．【解答】解：由，得x2（＞），=2pyp0所以拋物線的焦點坐標為F（）．由，得，．所以雙曲線的右焦點為（2，0）．則拋物線的焦點與雙曲線的右焦點的連線所在直線方程為，即①．設該直線交拋物線于M（），則C1在點M處的切線的斜率為．由題意可知，得，代入M點得M（）把M點代入①得：．解得p=．應選：D．，，滿足2﹣3xy+4y2﹣z=0，則當獲得12．（5分）（2013?山東）設正實數xyzx最小值時，x+2y﹣z的最大值為（）A．0B．C．2D．【分析】將z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化簡即可求得x+2y﹣z的最.大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z為正實數，∴=+﹣3≥2﹣3=1（當且僅當x=2y時取“=）”，即x=2y（y＞0），x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．x+2y﹣z的最大值為2．應選：C．二．填空題：本大題共4小題，每題4分，共16分13．（4分）（2013?山東）過點（3，1）作圓（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，此中最短的弦長為2．【分析】由圓的方程找出圓心與半徑，判斷獲得（3，1）在圓內，過此點最短的弦即為與過此點直徑垂直的弦，利用垂徑定理及勾股定理即可求出．【解答】解：依據題意得：圓心（2，2），半徑r=2，∵=＜2，∴（3，1）在圓內，∵圓心到此點的距離d=，r=2，∴最短的弦長為2=2．故答案為：214．（4分）（2013?山東）在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組所表示的地域上一動點，則直線|OM|的最小值為．【分析】第一依據題意做出可行域，欲求|OM|的最小值，由其幾何意義為點O（0，0）到直線x+y﹣2=0距離為所求，代入點到直線的距離公式計算可得答案．.【解答】解：如圖可行域為暗影部分，由其幾何意義為點O（0，0）到直線x+y﹣2=0距離，即為所求，由點到直線的距離公式得：d==，則|OM|的最小值等于．故答案為：．15．（4分）（2013?山東）在平面直角坐標系xOy中，已知，，若∠ABO=90°，則實數t的值為5．【分析】利用已知條件求出，利用∠ABO=90°，數目積為0，求解t的值即可．【解答】解：因為知，，所以=（3，2﹣t），又∠ABO=90°，所以，可得：2×3+2（2﹣t）=0．解得t=5．故答案為：5．16．（4分）（2013?山東）定義“正對數”：ln+x=，現有四個命題：①若a＞0，b＞0，則ln+（ab）=bln+；a②若a＞0，b＞0，則ln+（ab）=ln++；a+lnb③若a＞0，b＞0，則；④若a＞0，b＞0，則ln+（a+b）≤ln++．a+lnb+ln2.此中的真命題有①③④（寫出全部真命題的序號）【分析】由題意，依據所給的定義及對數的運算性質對四個命題進行判斷，因為在不一樣的定義域中函數的分析式不一樣樣，故需要對a，b分類談論，判斷出每個命題的真假．【解答】解：（1）關于①，由定義，當a≥1時，ab≥1，故ln+（ab）=ln（ab）=blna，又bln+，故有ln+（ab）=bln+；當＜時，b＜1，故ln+（ab）=0，又a＜a=blnaaa1a1時+，所以此時亦有+（ab）=bln+，故①正確；blna=0lna（2）關于②，此命題不行立，可令a=2，b=，則ab=，由定義ln+（ab）=0，+++++lna+lnb=ln2，所以ln（ab）≠lna+lnb，故②錯誤；（3）關于③，i．≥1時，此時≥0，當a≥b≥1時，ln+﹣+﹣，此時則，命alnb=lnalnb=題建立；當a＞1＞b＞0時，ln+a﹣ln+b=lna，此時，＞lna，則，命題建立；當1＞a≥b＞0時，ln+﹣+，建立；alnb=0ii．＜1時，同理可考據是正確的，故③正確；（4）關于④，當a≥1，b≥1時，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），∵a+b﹣2ab=a﹣ab+b﹣ab=a（1﹣b）+b（1﹣a）≤0，∴a+b≤2ab，∴ln（a+b）＜ln（2ab），∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．當a＞1，0＜b＜1時，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+ln2=ln（2a），∵a+b﹣2a=b﹣a≤0，a+b≤2a，ln（a+b）＜ln（2a），.ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．當b＞1，0＜a＜1時，同理可證ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．當0＜a＜1，0＜b＜1時，可分a+b≥1和a+b＜1兩種狀況，均有ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．故④正確．故答案為①③④．三．解答題：本大題共6小題，共74分，17．（12分）（2013?山東）某小組共有A、B、C、D、E五位同學，他們的身高（單位：米）以及體重指標（單位：千克/米2）如表所示：ABCDE身高1.82體重指標20.9（Ⅰ）從該小組身高低于1.80的同學中任選2人，求選到的2人身高都在1.78以下的概率（Ⅱ）從該小組同學中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5，23.9）中的概率．【分析】（Ⅰ）寫出從身高低于1.80的同學中任選2人，其全部可能的結果構成的基本領件，查出選到的2人身高都在1.78以下的事件，而后直接利用古典概型概率計算公式求解；．（Ⅱ）寫出從該小組同學中任選2人，其全部可能的結果構成的基本領件，查出選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5，23.9）中的事件，利用古典概型概率計算公式求解．【解答】（Ⅰ）從身高低于1.80的同學中任選2人，其全部可能的結果構成的基本領件有：A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6個．因為每個同學被選到的機遇均等，所以這些基本領件的出現是等可能的．選到的2人身高都在1.78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3個．所以選到的2人身高都在1.78以下的概率為p=；.（Ⅱ）從該小組同學中任選2人，其全部可能的結果構成的基本領件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10個．因為每個同學被選到的機遇均等，所以這些基本領件的出現是等可能的．選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5，23.9）中的事件有：（C，D）（C，E），（D，E）共3個．所以選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5，23.9）中的概率p=．18．（12分）（2013?山東）設函數f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx（＞0），且y=f（x）的圖象的一個對稱中心到近來的對稱軸的距離為，（Ⅰ）求ω的值（Ⅱ）求f（x）在區間[]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）經過二倍角的正弦函數與余弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，利用函數的正確求出ω的值（Ⅱ）經過x的范圍求出相位的范圍，利用正弦函數的值域與單調性直接求解f（x）在區間[]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函數f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx===．因為y=f（x）的圖象的一個對稱中心到近來的對稱軸的距離為，故周期為π又ω＞0，所以，解得ω=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=﹣sin（2x﹣），當時，，.所以，所以，﹣1≤f（x），所以f（x）在區間[]上的最大值和最小值分別為：．19．（12分）（2013?山東）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分別為PB、AB、BC、PD、PC的中點．（Ⅰ）求證：CE∥平面PAD（Ⅱ）求證：平面EFG⊥平面EMN．【分析】（Ⅰ）取PA的中點H，則由條件可得HE和CD平行且相等，故四邊形CDHE為平行四邊形，故CE∥DH．再由直線和平面平行的判判定理證明CE∥平面PAD．（Ⅱ）先證明MN⊥平面PAC，再證明平面EFG∥平面PAC，可得MN⊥平面EFG，而MN在平面EMN內，利用平面和平面垂直的判判定理證明平面EFG⊥平面EMN．【解答】解：（Ⅰ）證明：∵四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分別為PB、AB、BC、PD、PC的中點，取PA的中點H，則由HE∥AB，HE=AB，并且CD∥AB，CD=AB，可得HE和CD平行且相等，故四邊形CDHE為平行四邊形，故CE∥DH．因為DH在平面PAD內，而CE不在平面PAD內，故有CE∥平面PAD．（Ⅱ）證明：因為AB⊥AC，AB⊥PA，而PA∩AC=A，可得AB⊥平面PAC．再由AB∥CD可得，CD⊥平面PAC．因為MN是三角形PCD的中位線，故有MN∥CD，故MN⊥平面PAC．.因為EF為三角形PAB的中位線，可得EF∥PA，而PA在平面PAC內，而EF不在平面PAC內，故有EF∥平面PAC．同理可得，FG∥平面PAC．而EF和FG是平面EFG內的兩條訂交直線，故有平面EFG∥平面PAC．∴MN⊥平面EFG，而MN在平面EMN內，故有平面EFG⊥平面EMN．20．（12分）（2013?山東）設等差數列{an}的前n項和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）設數列{bn}滿足=1﹣，n∈N*，求{bn}的前n項和Tn．【分析】（Ⅰ）設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，由S4=4S2，a2n=2an+1得到關于a1與d的方程組，解之即可求得數列{an}的通項公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an=2n﹣1，既而可求得n，n∈N*，于是b=Tn=++++，利用錯位相減法即可求得Tn．【解答】解：（Ⅰ）設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，由S4=4S2，a2n=2an+1得：，解得a1=1，d=2．an=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由已知+++=1﹣，n∈N*，得：當n=1時，=，當n≥2時，=（1﹣）﹣（1﹣）=，明顯，n=1時吻合．∴=，n∈N*.由（Ⅰ）知，an=2n﹣1，n∈N*．∴bn=，n∈N*．又T，n=++++∴Tn=++，++兩式相減得：Tn=+（+++）﹣=﹣﹣Tn=3﹣．21．（12分）（2013?山東）已知函數f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）（Ⅰ）設a≥0，求f（x）的單調區間（Ⅱ）設a＞0，且關于任意x＞0，f（x）≥f（1）．試比較lna與﹣2b的大小．【分析】（Ⅰ）由函數的分析式知，可先求出函數f（x）=ax2+bx﹣lnx的導函數，再依據a≥0，分a=0，a＞0兩類談論函數的單調區間即可；（Ⅱ）由題意當a＞0時，是函數的獨一極小值點，再聯合關于任意x＞0，f（x）≥f（1）．可得出=1化簡出a，b的關系，再要研究的結論比較lna與﹣2b的大小構造函數g（x）=2﹣4x+lnx，利用函數的最值建立不等式即可比較大小【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）知f′（x）=2ax+b﹣又a≥0，故當a=0時，f′（x）=若b≤0時，由x＞0得，f（′x）＜0恒建立，故函數的單調遞減區間是（0，+∞）；.若b＞0，令f′（x）＜0可得x＜，即函數在（0，）上是減函數，在（，+∞）上是增函數、所以函數的單調遞減區間是（0，），單調遞加區間是（，+∞），當a＞0時，令f′（x）=0，得2ax2+bx﹣1=0因為△=b2+8a＞0，故有x2=，x1=明顯有x1＜0，x2＞0，故在區間（0，）上