2007年普通高等學校招生全國統一考試〔湖北卷〕數學〔文史類〕本試卷共4頁，總分值150分，考試時間120分鐘．★祝考試順利★考前須知：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上指定位置.2．選擇題每題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．答在試題卷上無效．3．將填空題和解答題用0.5毫米的黑色墨水簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卡上每題對應的答題區域內．答在試題卷上無效．4．考試結束，請將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分．在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．1．的值為〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2．如果，，，那么〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3．如果的展開式中含有非零常數項，那么正整數的最小值為〔〕Ａ．10 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．3４．函數的反函數是〔〕Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．5．在棱長為1的正方體中，分別為棱的中點，為棱上的一點，且．那么點到平面的距離為〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．6．為了了解某學校學生的身體發育情況，抽查了該校100名高中男生的體重情況，根據所得數據畫出樣本的頻率分布直方圖如右圖所示．根據此圖，估計該校2000名高中男生中體重大于70.5公斤的人數為〔〕A．300 B．360 C．420 D．4500.080.080.070.060.050.040.030.020.01體重〔kg〕7．將5本不同的書全發給4名同學，每名同學至少有一本書的概率是〔〕A． B． C． D．8．由直線上的一點向圓引切線，那么切線長的最小值為〔〕A．1 B． C． D．9．設，在上的投影為，在軸上的投影為2，且，那么為〔〕A． B． C． D．10．是的充分條件而不是必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件，現有以下命題：①是的充要條件；②是的充分條件而不是必要條件；③是的必要條件而不是充分條件；④是的必要條件而不是充分條件；⑤是的充分條件而不是必要條件．那么正確命題的序號是〔〕A．①④⑤ B．①②④ C．②③⑤ D．②④⑤二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分．把答案填在答題卡相應位置上．11．設變量滿足約束條件那么目標函數的最小值為．12．過雙曲線左焦點的直線交曲線的左支于兩點，為其右焦點，那么的值為______．13．函數的圖象在點處的切線方程是，那么＿＿＿＿．〔毫克〕〔小時〕14．某籃球運發動在三分線投球的命中率是，他投球10次，恰好投進3個球的概率為〔毫克〕〔小時〕．〔用數值作答〕15．為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒．藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量〔毫克〕與時間〔小時〕成正比；藥物釋放完畢后，與的函數關系式為〔為常數〕，如下圖，根據圖中提供的信息，答復以下問題：〔=1\*ROMANI〕從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量〔毫克〕與時間〔小時〕之間的函數關系式為．〔=2\*ROMANII〕據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時，學生方可進教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經過小時后，學生才能回到教室．三、解答題：本大題共6小題，共75分，解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16．〔本小題總分值12分〕函數，．〔I〕求的最大值和最小值；〔II〕假設不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．17．〔本小題總分值12分〕ＶAＣＤＢ如圖，在三棱錐中，，，是的中點，且，．ＶAＣＤＢ〔I〕求證：平面平面；〔II〕試確定角的值，使得直線與平面所成的角為．18．〔本小題總分值12分〕某商品每件本錢9元，售價為30元，每星期賣出432件，如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值〔單位：元，〕的平方成正比，商品單價降低2元時，一星期多賣出24件．〔I〕將一個星期的商品銷售利潤表示成的函數；〔II〕如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？19．〔本小題總分值12分〕設二次函數，方程的兩根和滿足．〔I〕求實數的取值范圍；〔II〕試比擬與的大小．并說明理由．20．〔本小題總分值13分〕數列和滿足：，，，〔〕，且是以為公比的等比數列．〔I〕證明：；〔II〕假設，證明數列是等比數列；〔III〕求和：．21．〔本小題總分值14分〕在平面直角坐標系中，過定點作直線與拋物線〔〕相交于兩點．〔I〕假設點是點關于坐標原點的對稱點，求面積的最小值；〔II〕是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？假設存在，求出的方程；假設不存在，說明理由．AABxyNCO〔此題不要求在答題卡上畫圖〕2007年普通高等學校招生全國統一考試〔湖北卷〕數學〔文史類〕試題參考答案一、選擇題：此題考查根底知識和根本運算．每題5分，總分值50分．1．Ａ 2．Ｄ 3．Ｃ 4．Ａ 5．Ｄ6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｃ 9．Ｂ 10．Ｂ二、填空題：此題考查根底知識和根本運算．每題5分，總分值25分．11． 12．8 13．3 14． 15．；0.6三、解答題：本大題共6小題，共75分．16．本小題主要考查三角函數和不等式的根本知識，以及運用三角公式、三角函數的圖象和性質解題的能力．解：〔Ⅰ〕．又，，即，．〔Ⅱ〕，，且，，即的取值范圍是．17．本小題主要考查線面關系、直線與平面所成角的有關知識，考查空間想象能力和推理運算能力以及應用向量知識解決數學問題的能力．解法1：〔Ⅰ〕，是等腰三角形，又是的中點，，又底面．．于是平面．又平面，平面平面．〔Ⅱ〕過點在平面內作于，那么由〔Ⅰ〕知平面．連接，于是就是直線與平面所成的角．依題意，所以在中，；在中，，．，．故當時，直線與平面所成的角為．解法2：〔Ⅰ〕以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如下圖的空間直角坐標系，那么，于是，，，．從而，即．同理，即．又，平面．又平面．平面平面．ADBCVxyzADBCVxyz那么由．得可取，又，于是，即，．故交時，直線與平面所成的角為．解法3：〔Ⅰ〕以點為原點，以所在的直線分別為軸、軸，建立如下圖的空間直角坐標系，那么，，于是，，．從而，即．同理，即．又，平面．又平面，平面平面．〔Ⅱ〕設平面的一個法向量為，那么由，得ADBCVxADBCVxy于是，即．故交時，即直線與平面所成角為．18．本小題主要考查根據實際問題建立數學模型，以及運用函數、導數的知識解決實際問題的能力．解：〔Ⅰ〕設商品降價元，那么多賣的商品數為，假設記商品在一個星期的獲利為，那么依題意有，又由條件，，于是有，所以．〔Ⅱ〕根據〔Ⅰ〕，我們有．21200極小極大故時，到達極大值．因為，，所以定價為元能使一個星期的商品銷售利潤最大．19．本小題主要考查二次函數、二次方程的根本性質及二次不等式的解法，考查推理和運算能力．解法1：〔Ⅰ〕令，那么由題意可得．故所求實數的取值范圍是．〔II〕，令．當時，單調增加，當時，，即．解法2：〔I〕同解法1．〔II〕，由〔I〕知，．又于是，即，故．解法3：〔I〕方程，由韋達定理得，，于是．故所求實數的取值范圍是．〔II〕依題意可設，那么由，得，故．20．本小題主要考查等比數列的定義，通項公式和求和公式等根本知識及根本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力．解法1：〔I〕證：由，有，．〔=2\*ROMANII〕證：，，，．是首項為5，以為公比的等比數列．〔=3\*ROMANIII〕由〔=2\*ROMANII〕得，，于是．當時，．當時，．故解法2：〔=1\*ROMANI〕同解法1〔=1\*ROMANI〕．〔=2\*ROMANII〕證：，又，是首項為5，以為公比的等比數列．〔=3\*ROMANIII〕由〔=2\*ROMANII〕的類似方法得，，，．．下同解法1．21．本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的根底知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力．解法1：〔Ⅰ〕依題意，點的坐標為，可設，NOACByx直線的方程為，與聯立得消去得．NOACByx由韋達定理得，．于是．，當，．〔Ⅱ〕假設滿足條件的直線存在，其方程為，設的中點為，與為直徑的圓相交于點，的中點為，NOACByxlNOACByxl，，