2023年全國高考理科數學試題分類匯編14：導數與積分一、選擇題AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考湖北卷〔理〕〕為常數,函數有兩個極值點,那么〔〕A．B．C．D．【答案】DAUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統一考試新課標Ⅱ卷數學〔理〕〔純WORD版含答案〕〕函數,以下結論中錯誤的是〔〕A．R,B．函數的圖像是中心對稱圖形C．假設是的極小值點,那么在區間上單調遞減D．假設是的極值點,那么【答案】CAUTONUM\*Arabic．〔2023年高考江西卷〔理〕〕假設那么的大小關系為〔〕A．B．C．D．【答案】BAUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統一考試遼寧數學〔理〕試題〔WORD版〕〕設函數〔〕A．有極大值,無極小值B．有極小值,無極大值C．既有極大值又有極小值D．既無極大值也無極小值【答案】DAUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統一考試福建數學〔理〕試題〔純WORD版〕〕設函數的定義域為R,是的極大值點,以下結論一定正確的是〔〕A．B．是的極小值點C．是的極小值點D．是的極小值點【答案】DAUTONUM\*Arabic．〔2023年高考北京卷〔理〕〕直線l過拋物線C:x2=4y的焦點且與y軸垂直,那么l與C所圍成的圖形的面積等于〔〕A．B．2 C．D．【答案】CAUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統一考試浙江數學〔理〕試題〔純WORD版〕〕為自然對數的底數,設函數,那么〔〕A．當時,在處取得極小值B．當時,在處取得極大值C．當時,在處取得極小值D．當時,在處取得極大值【答案】C二、填空題AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考江西卷〔理〕〕設函數在內可導,且,那么______________【答案】2AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考湖南卷〔理〕〕假設_________.【答案】3AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統一考試廣東省數學〔理〕卷〔純WORD版〕〕假設曲線在點處的切線平行于軸,那么______.【答案】三、解答題AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統一考試新課標Ⅱ卷數學〔理〕〔純WORD版含答案〕〕函數.(Ⅰ)設是的極值點,求,并討論的單調性;(Ⅱ)當時,證明.【答案】AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統一考試遼寧數學〔理〕試題〔WORD版〕〕函數(=1\*ROMANI)求證:(=2\*ROMANII)假設恒成立,求實數取值范圍.請考生在第22、23、24三題中任選一題做答,如果多做,那么按所做的第一題計分.作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應題號下方的方框涂黑.【答案】AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生全國統一招生考試江蘇卷〔數學〕〔已校對純WORD版含附加題〕〕本小題總分值16分.設函數,,其中為實數.(1)假設在上是單調減函數,且在上有最小值,求的取值范圍;(2)假設在上是單調增函數,試求的零點個數,并證明你的結論.卷Ⅱ附加題局部答案word版[選做題]第21題,此題包括A、B、C、D四小題,請選定其中兩題,并在相應的答題區域內作答,假設多做,那么按作答的前兩題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.【答案】解:(1)由即對恒成立,∴而由知<1∴由令那么當<時<0,當>時>0,∵在上有最小值∴>1∴>綜上所述:的取值范圍為(2)證明:∵在上是單調增函數∴即對恒成立,∴而當時,>∴分三種情況:(Ⅰ)當時,>0∴f(x)在上為單調增函數∵∴f(x)存在唯一零點(Ⅱ)當<0時,>0∴f(x)在上為單調增函數∵<0且>0∴f(x)存在唯一零點(Ⅲ)當0<時,,令得∵當0<<時,>0;>時,<0∴為最大值點,最大值為①當時,,,有唯一零點②當>0時,0<,有兩個零點實際上,對于0<,由于<0,>0且函數在上的圖像不間斷∴函數在上有存在零點另外,當,>0,故在上單調增,∴在只有一個零點下面考慮在的情況,先證<0為此我們要證明:當>時,>,設,那么,再設∴當>1時,>-2>0,在上是單調增函數故當>2時,>>0從而在上是單調增函數,進而當>時,>>0即當>時,>,當0<<時,即>e時,<0又>0且函數在上的圖像不間斷,∴函數在上有存在零點,又當>時,<0故在上是單調減函數∴函數在只有一個零點綜合(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知:當時,的零點個數為1;當0<<時,的零點個數為2AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統一考試廣東省數學〔理〕卷〔純WORD版〕〕設函數(其中).(Ⅰ)當時,求函數的單調區間;(Ⅱ)當時,求函數在上的最大值.【答案】(Ⅰ)當時,,令,得,當變化時,的變化如下表:極大值極小值右表可知,函數的遞減區間為,遞增區間為,.(Ⅱ),令,得,,令,那么,所以在上遞增,所以,從而,所以所以當時,;當時,;所以令,那么,令,那么所以在上遞減,而所以存在使得,且當時,,當時,,所以在上單調遞增,在上單調遞減.因為,,所以在上恒成立,當且僅當時取得“〞.綜上,函數在上的最大值.AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考江西卷〔理〕〕函數,為常數且.(1) 證明:函數的圖像關于直線對稱;(2) 假設滿足,但,那么稱為函數的二階周期點,如果有兩個二階周期點試確定的取值范圍;(3) 對于(2)中的和,設x3為函數f(f(x))的最大值點,A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(x3,0),記△ABC的面積為S(a),討論S(a)的單調性.【答案】(1)證明:因為,有,所以函數的圖像關于直線對稱.(2)解:當時,有所以只有一個解,又,故0不是二階周期點.當時,有所以有解集,又當時,,故中的所有點都不是二階周期點.當時,有所以有四個解,又,,故只有是的二階周期點.綜上所述,所求的取值范圍為.(3)由(2)得,因為為函數的最大值點,所以或.當時,.求導得:,所以當時,單調遞增,當時單調遞減;當時,,求導得:,因,從而有,所以當時單調遞增.AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統一考試重慶數學〔理〕試題〔含答案〕〕設,其中,曲線在點處的切線與軸相交于點.(1)確定的值;(2)求函數的單調區間與極值.【答案】AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考四川卷〔理〕〕函數,其中是實數.設,為該函數圖象上的兩點,且.(Ⅰ)指出函數的單調區間;(Ⅱ)假設函數的圖象在點處的切線互相垂直,且,求的最小值;(Ⅲ)假設函數的圖象在點處的切線重合,求的取值范圍.【答案】解:函數的單調遞減區間為,單調遞增區間為,由導數的幾何意義可知,點A處的切線斜率為,點B處的切線斜率為,故當點A處的切線與點B處的切垂直時,有.當時,對函數求導,得.因為,所以,所以.因此當且僅當==1,即時等號成立.所以函數的圖象在點處的切線互相垂直時,的最小值為1當或時,,故.當時,函數的圖象在點處的切線方程為,即當時,函數的圖象在點處的切線方程為,即.兩切線重合的充要條件是由①及知,.由①②得,.設,那么.所以是減函數.那么,所以.又當且趨近于時,無限增大,所以的取值范圍是.故當函數的圖像在點處的切線重合時,的取值范圍是AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考湖南卷〔理〕〕,函數.(=1\*ROMANI)記求的表達式;(=2\*ROMANII)是否存在,使函數在區間內的圖像上存在兩點,在該兩點處的切線相互垂直?假設存在,求的取值范圍;假設不存在,請說明理由.【答案】解:(Ⅰ)(=2\*ROMANII)由前知,y=f(x)的圖像是由兩段反比例函數的圖像組成的.因此,假設在圖像上存在兩點滿足題目要求,那么P,Q分別在兩個圖像上,且.不妨設所以,當時,函數在區間內的圖像上存在兩點,在該兩點處的切線相互垂直.AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統一考試福建數學〔理〕試題〔純WORD版〕〕函數(1)當時,求曲線在點處的切線方程;(2)求函數的極值.【答案】解:函數的定義域為,.(Ⅰ)當時,,,,在點處的切線方程為,即.(Ⅱ)由可知:①當時,,函數為上的增函數,函數無極值;②當時,由,解得;時,,時,在處取得極小值,且極小值為,無極大值.綜上:當時,函數無極值當時,函數在處取得極小值,無極大值.AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考新課標1〔理〕〕(本小題總分值共12分)函數=,=,假設曲線和曲線都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線(Ⅰ)求,,,的值;(Ⅱ)假設≥-2時,≤,求的取值范圍.【答案】(Ⅰ)由得,而=,=,∴=4,=2,=2,=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,設函數==(),==,有題設可得≥0,即,令=0得,=,=-2,(1)假設,那么-2<≤0,∴當時,<0,當時,>0,即在單調遞減,在單調遞增,故在=取最小值,而==≥0,∴當≥-2時,≥0,即≤恒成立,(2)假設,那么=,∴當≥-2時,≥0,∴在(-2,+∞)單調遞增,而=0,∴當≥-2時,≥0,即≤恒成立,(3)假設,那么==<0,∴當≥-2時,≤不可能恒成立,綜上所述,的取值范圍為[1,].AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考湖北卷〔理〕〕設是正整數,為正有理數.(=1\*ROMANI)求函數的最小值;(=2\*ROMANII)證明:;(=3\*ROMANIII)設,記為不小于的最小整數,例如,,.令,求的值.(參考數據:,,,)【答案】證明:(=1\*ROMANI)在上單減,在上單增.(=2\*ROMANII)由(=1\*ROMANI)知:當時,(就是伯努利不等式了)所證不等式即為:假設,那么=1\*GB3①,,故=1\*GB3①式成立.假設,顯然成立.=2\*GB3②,,故=2\*GB3②式成立.綜上可得原不等式成立.(=3\*ROMANIII)由(=2\*ROMANII)可知:當時,AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考陜西卷〔理〕〕函數.(Ⅰ)假設直線y=kx+1與f(x)的反函數的圖像相切,求實數k的值;(Ⅱ)設x>0,討論曲線y=f(x)與曲線公共點的個數.(Ⅲ)設a<b,比擬與的大小,并說明理由.【答案】解:(Ⅰ)f(x)的反函數.設直線y=kx+1與相切與點.所以(Ⅱ)當x>0,m>0時,曲線y=f(x)與曲線的公共點個數即方程根的個數.由,那么h(x)在h(x).所以對曲線y=f(x)與曲線公共點的個數,討論如下:當m時,有0個公共點;當m=,有1個公共點;當m有2個公共點;(Ⅲ)設令.,且.所以AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統一考試山東數學〔理〕試題〔含答案〕〕設函數(=2.71828是自然對數的底數,).(Ⅰ)求的單調區間、最大值;(Ⅱ)討論關于的方程根的個數.【答案】解:(Ⅰ),由,解得,當時,,單調遞減所以,函數的單調遞增區間是,單調遞減區間是,最大值為(Ⅱ)令(1)當時,,那么,所以,因為,所以因此在上單調遞增.(2)當時,當時,,那么,所以,因為,,又所以所以因此在上單調遞減.綜合(1)(2)可知當時,,當,即時,沒有零點,故關于的方程根的個數為0;當,即時,只有一個零點,故關于的方程根的個數為1;當,即時,=1\*GB3①當時,由(Ⅰ)知要使,只需使,即;=2\*GB3②當時,由(Ⅰ)知;要使,只需使,即;所以當時,有兩個零點,故關于的方程根的個數為2;綜上所述:當時,關于的方程根的個數為0;當時,關于的方程根的個數為1;當時,關于的方程根的個數為2.AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學校招生統一考試浙江數學〔理〕試題〔純WORD版〕〕,函數(1)求曲線在點處的切線方程;(2)當時,求的最大值.【答案】解:(Ⅰ)由得:,且,所以所求切線方程為:,即為:;(Ⅱ)由得到:,其中,當時,,(1)當時,,所以在上遞減,所以,因為;(2)當,即時,恒成立,所以在上遞增,所以,因為;(3)當,即時, ,且,即2+0-0+遞增極大值遞減極小值遞增所以,且所以,所以;由,所以(ⅰ)當時,,所以時,遞增,時,遞減,所以,因為,又因為,所以,所以,所以(ⅱ)當時,,所以,因為,