專題九考點26數列求和及其綜合應用（A卷）1.古代數學名著《張丘建算經》中曾出現過高息借貸的題目：“今有舉取他絹，重作券；要過限一日，息絹一尺；二日息二尺；如是息絹，日多一尺.今過限一百日，問息絹幾何？”題目的意思是：債主拿欠債方的絹做抵押品，每過期一天便加納一天利息，債務過期一天要納利息一尺絹，過期二天則第二天便再納利息二尺，這樣，每天利息比前一天增加一尺.若過期100天，欠債方共納利息為()A.100尺 B.4950尺 C.5000尺 D.5050尺2.正整數數列的前n項和為，則數列的前100項和為()A. B. C. D.3.已知數列滿足，，，數列滿足，則數列的前2021項的和為()A. B. C. D.4.已知數列的前n項和滿足，記數列的前n項和為，.則使得的值為()A. B. C. D.5.《張丘建算經》卷上有題為：“今有女善織，日益功疾（注：從第二天開始，每天比前一天多織相同量的布），第一天織5尺布，現一月（按30天計）共織390尺”，則從第二天起每天比前一天多織()A.尺布 B.尺布 C.尺布 D.尺布6.我國古代數學著作《九章算術》有如下問題：“今有金箠，長五尺.斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤.問：次一尺各重幾何?”意思是：“現有一根金杖，長5尺，一頭粗，一頭細，在粗的一端截下1尺，重4斤；在細的一端截下1尺，重2斤.問依次每一尺各重多少斤?”設該金杖由粗到細質量是均勻變化的，其質量為M，現將該金杖截成長度相等的10段，記第i段的質量為，且，若，則()A.4 B.5 C.6 D.77.《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數學著作之一.書中有一道這樣的題目：把100個面包分給5個人，使每人所得成等差數列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最大的一份為()A. B. C. D.8.定義為n個正數，，，…，的“快樂數”.若已知正項數列的前n項的“快樂數”為，則數列的前2021項和為()A. B. C. D.9.在各項都為正數的等比數列中，若，且，則數列的前n項和是()

A. B. C. D.10.《塵劫記》是在元代的《算學啟蒙》和明代的《算法統宗》的基礎上編撰的一部古典數學著作，其中記載了一個這樣的問題：假設每對老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1個月后，有一對老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2個月后，每對老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此類推，假設n個月后共有老鼠只，則__________.11.我國古代的天文學和數學著作《周髀算經》中記載:一年有二十四個節氣，每個節氣晷(guǐ)長損益相同(晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度).夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是連續十二個節氣，其日影子長依次成等差數列，經記錄測算，夏至、處暑、霜降三個節氣日影子長之和為16.5尺，這十二個節氣的所有日影子長之和為84尺，則夏至的日影子長為______________尺.12.在數列中，，則___________，數列的前n項和為______________.13.已知數列滿足，，則數列的前50項和為__________.14.已知數列的前n項和為.（1）若，，證明：；（2）在（1）的條件下，若，數列的前n項和為，求證.15.已知數列是公差為1的等差數列，數列是公比為的等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和.

答案以及解析1.答案：D解析：由題意知，每天的利息構成一個首項為1，公差為1的等差數列，所以共納利息為尺.2.答案：C解析：由題意，正整數數列的前n項和，，則，故選C.3.答案：D解析：因為，故數列為等比數列.又因為，，所以，則，所以，故選D.4.答案：B解析：數列的前n項和滿足，當時，；當時，，當時，適合上式，所以，則，所以.故選B.5.答案：D解析：設該女子第n天織尺布，前n天共織布尺，則數列為等差數列，設其公差為d.由題意，得，解得.6.答案：C解析：由題意知，由細到粗每段的質量成等差數列，設公差為d，則，即，解得，所以該金杖的質量，因為，所以，解得，故選C.7.答案：A解析：設最大的一份為x，從大到小排列的等差數列的公差為d.由題意，得，且，解得.8.答案：B解析：設數列的前n項和為，則根據題意，得，，，當時也滿足上式，所以，所以，所以的前2021項和為.9.答案：A解析：在各項都為正數，公比設為q的等比數列中，若，且，則，解得，則.數列即為，，數列的前n項和是.故選A.10.答案：解析：由題意可得1個月后老鼠的只數，2個月后老鼠的只數，3個月后老鼠的只數，…，n個月后老鼠.11.答案：1.5解析：設這十二個節氣的日影長構成等差數列，公差為，前項和為，由題意得，即解得所以夏至的日影子長為1.5尺.12.答案：；解析：由已知，得當時，，所以，所以，則，，所以數列的前n項和為.13.答案：-52解析：由，得，則，，，，所以，于是數列的前50項和.14.答案：（1）見解析（2）見解析解析：（1）因為，，所以，，所以數列是以4為首項，2為公比的等比數列，所以，，當時，，，當時，滿足上式，所以，所