2022年河南省信陽市普通高校對口單招高等數學一自考測試卷(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.設y=2^x，則dy等于()．

A.x.2x-1dx

B.2x-1dx

C.2xdx

D.2xln2dx

2.曲線y=x2+5x+4在點(-1，0)處切線的斜率為

A.2B.-2C.3D.-3

3.圖示為研磨細砂石所用球磨機的簡化示意圖，圓筒繞0軸勻速轉動時，帶動筒內的許多鋼球一起運動，當鋼球轉動到一定角度α=50。40時，它和筒壁脫離沿拋物線下落，借以打擊礦石，圓筒的內徑d=32m。則獲得最大打擊時圓筒的轉速為()。

A.8．99r／minB.10．67r／minC.17．97r／minD.21．35r／min

4.A.A.連續點

B.

C.

D.

5.

6.

7.

8.函數y=f(x)在(a，b)內二階可導，且f'(x)＞0，f"(x)＜0，則曲線y=f(x)在(a，b)內()．

A.單調增加且為凹B.單調增加且為凸C.單調減少且為凹D.單調減少且為凸

9.

A.2x+1B.2xy+1C.x2+1D.2xy

10.曲線y=x+(1/x)的凹區間是

A.(-∞，-1)B.(-1，+∞)C.(-∞，0)D.(0，+∞)

11.A.0B.1C.∞D.不存在但不是∞

12.設y=5x，則y'等于()．

A.A.

B.

C.

D.

13.

14.A.

B.x2

C.2x

D.

15.A.A.

B.

C.

D.

16.微分方程y’-4y=0的特征根為（）A.0，4B.-2，2C.-2，4D.2，4

17.

18.設函數f(x)=COS2x，則f′(x)=()．

A.2sin2x

B.-2sin2x

C.sin2x

D.-sin2x

19.A.0B.1C.2D.4

20.

二、填空題(20題)21.設z=ln(x2+y)，則dz=______．

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.∫(x2-1)dx=________。

36.

37.

38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

42.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

43.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

44.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

45.

46.

47.

48.

49.證明：

50.

51.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

52.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

53.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

54.

55.求微分方程的通解．

56.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

57.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

58.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

59.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

60.

四、解答題(10題)61.

62.

63.將展開為x的冪級數．

64.計算

65.

66.

67.

68.求微分方程y"-y'-2y=0的通解。

69.設y=sinx/x，求y'。

70.設存在，求f(x)．

五、高等數學(0題)71.

六、解答題(0題)72.設z=x2+y/x，求dz。

參考答案

1.D南微分的基本公式可知，因此選D．

2.C解析：

3.C

4.C解析：

5.C

6.D解析：

7.D

8.B解析：本題考查的知識點為利用一階導數符號判定函數的單調性和利用二階導數符號判定曲線的凹凸性．

由于在(a，b)內f'(x)＞0，可知f(x)在(a，b)內單調增加，又由于f"(x)＜0，可知曲線y=f(x)在(a，b)內為凹，可知應選B．

9.B

10.D解析：

11.D本題考查了函數的極限的知識點。

12.C本題考查的知識點為基本初等函數的求導．

y=5x，y'=5xln5，因此應選C．

13.A

14.C

15.D

16.B由r2-4=0，r1=2，r2=-2，知y"-4y=0的特征根為2，-2，故選B．

17.B

18.B由復合函數求導法則，可得

故選B．

19.A本題考查了二重積分的知識點。

20.A

21.

本題考查的知識點為求二元函數的全微分．

通常求二元函數的全微分的思路為：

先求出如果兩個偏導數為連續函數，則可得知

由題設z=ln(x2+y)，令u=x2+y，可得

當X2+y≠0時，為連續函數，因此有

22.ee解析：

23.

24.

25.(-24)(-2,4)解析：

26.0本題考查了利用極坐標求二重積分的知識點.

27.22解析：

28.e-1/2

29.0．

本題考查的知識點為定積分的性質．

積分區間為對稱區間，被積函數為奇函數，因此

30.

31.本題考查的知識點為重要極限公式。

32.

33.y=xe+Cy=xe+C解析：

34.e2

35.

36.5

37.00解析：

38.發散

39.3

40.

41.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

42.

43.

列表：

說明

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

則

51.由二重積分物理意義知

52.函數的定義域為

注意

53.

54.由一階線性微分方程通解公式有

55.

56.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

57.

58.由等價無窮小量的定義可知

59.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

60.

61.解

62.

63.本題考查的知識點為將函數展開為x的冪級數．將函數展開為x的冪級數通常利用間接法．先將f(x)與標準展開式中的函數對照，以便確定使用相應的公式．如果f(x)可以經過恒等變形變為標準展開式中函數的和、差形式，則可以先變形．

64.

本題考查的知識點為不定積分的運算．

需指出，由于不是標準公式的形式，可以利用湊微分法求解．

65.

66.

67.

68.

69.

70.

本題考查的知識點為兩個：極限