2009年普通高等學校招生全國統一考試文科數學（必修+選修Ⅰ）(陜西卷)第Ⅰ卷一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1．設不等式的解集為M，函數的定義域為N，則為（）（A）[0，1）（B）（0，1）（C）[0，1]（D）（-1，0]2.若,則的值為()（A）0(B)(C)1(D)3.函數的反函數為()（A）(B)（C）(D)4.過原點且傾斜角為的直線被圓所截得的弦長為()（A）（B）2（C）（D）25.某單位共有老、中、青職工430人,其中青年職工160人，中年職工人數是老年職工人數的2倍。為了解職工身體狀況，現采用分層抽樣方法進行調查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工人數為()（A）9（B）18（C）27(D)366.若,則的值為(C)（A）2（B）0（C）(D)7.””是”方程表示焦點在y軸上的橢圓”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件(D)既不充分也不必要條件8.在△ABC中，M是BC的中點，AM=1，點P在AM上且滿足學，則等于（）（）（A）（B）（C）(D)9．從1，2，3，4，5，6，7這七個數字中任取兩個奇數和兩個偶數，組成沒有重復數字的四位數，其中奇數的個數為()(A)432(B)288(C)216(D)10810．定義在R上的偶函數滿足：對任意的，有.則()(A)(B)(C)(D)11．若正方體的棱長為，則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的體積為()(A)(B)(C)(D)12．設曲線在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為,則的值為()(A)(B)(C)(D)12009年普通高等學校招生全國統一考試文科數學（必修選修Ⅰ）(陜西卷)第Ⅱ卷二、填空題：把答案填在答題卡相應題號后的橫線上(本大題共4小題，每小題4分，共16分).13．設等差數列的前n項和為,若,則數列的通項公式.ABO1O14．設x，y滿足約束條件，目標函數的最小值是ABO1O15．如圖球O的半徑為2，圓是一小圓，，A、B是圓上兩點，若=，則A,B兩點間的球面距離為.16．某班有36名同學參加數學、物理、化學課外探究小組，每名同學至多參加兩個小組，已知參加數學、物理、化學小組的人數分別為26，15，13，同時參加數學和物理小組的有6人，同時參加物理和化學小組的有4人，則同時參加數學和化學小組的有人三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟（本大題共6小題，共74分）17．（本小題滿分12分）已知函數（其中）的周期為，且圖象上一個最低點為.(Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）當，求的最值.18．（本小題滿分12分）椐統計，某食品企業一個月內被消費者投訴的次數為0,1,2的概率分別為0.4,0.5,0.1(Ⅰ)求該企業在一個月內被消費者投訴不超過1次的概率；（Ⅱ）假設一月份與二月份被消費者投訴的次數互不影響,求該企業在這兩個月內共被消費者投訴2次的概率。19．(本小題滿分12分)如圖，直三棱柱中，AB=1，，∠ABC=60.CBAC1B1A1(ⅠCBAC1B1A1（Ⅱ）求二面角A——B的大小。20．（本小題滿分12分）已知函數求的單調區間；若在處取得極值，直線y=m與的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍。21．（本小題滿分12分）已知數列滿足，.令，證明：是等比數列；(Ⅱ)求的通項公式。22．（本小題滿分12分）已知雙曲線C的方程為，離心率，頂點到漸近線的距離為。求雙曲線C的方程；(II)如圖，P是雙曲線C上一點，A，B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求面積的取值范圍。2009年陜西省高考數學試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）（2009?陜西）設不等式x2﹣x≤0的解集為M，函數f（x）=ln（1﹣|x|）的定義域為N，則M∩N為（）A．[0，1） B．（0，1） C．[0，1] D．（﹣1，0]【考點】函數的定義域及其求法；元素與集合關系的判斷．【專題】計算題．【分析】先求出不等式的解集和函數的定義域，然后再求兩個集合的交集．【解答】解：不等式x2﹣x≤0轉化為x（x﹣1）≤0解得其解集是{x|0≤x≤1}，而函數f（x）=ln（1﹣|x|）有意義則需：1﹣|x|＞0解得：﹣1＜x＜1所以其定義域為{﹣1＜x＜1}，所以M∩N=[0，1），故選A【點評】本題主要考查一元二次不等式的解法和絕對值不等式的解法及集合的運算．2．（5分）（2009?陜西）若tanα=2，則的值為（）A．0 B． C．1 D．【考點】同角三角函數間的基本關系；弦切互化．【分析】根據齊次分式的意義將分子分母同時除以cosα（cosα≠0）直接可得答案．【解答】解：利用齊次分式的意義將分子分母同時除以cosα（cosα≠0）得，故選B．【點評】本題主要考查tanα=，這種題型經常在考試中遇到．3．（5分）（2009?陜西）函數的反函數為（）A． B．C． D．【考點】反函數．【專題】應用題．【分析】從條件中函數式數反解出x，再將x，y互換即得對數函數的函數，再依據互為反函數間的定義域與值域的關系求得反函數的定義域即可．【解答】解：，逐一驗證，知B正確．故選B．【點評】求反函數，一般應分以下步驟：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交換x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函數的定義域（一般可通過求原函數的值域的方法求反函數的定義域）．4．（5分）（2009?陜西）過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2﹣4y=0所截得的弦長為（）A． B．2 C． D．2【考點】直線的傾斜角；直線和圓的方程的應用．【專題】計算題．【分析】本題考查的知識點是直線與圓方程的應用，由已知圓x2+y2﹣4y=0，我們可以將其轉化為標準方程的形式，求出圓心坐標和半徑，又直線由過原點且傾斜角為60°，得到直線的方程，再結合半徑、半弦長、弦心距滿足勾股定理，即可求解．【解答】解：將圓x2+y2﹣4y=0的方程可以轉化為：x2+（y﹣2）2=4，即圓的圓心為A（0，2），半徑為R=2，∴A到直線ON的距離，即弦心距為1，∴ON=，∴弦長2，故選D．【點評】要求圓到割線的距離，即弦心距，我們最常用的性質是：半徑、半弦長（BE）、弦心距（OE）構成直角三角形，滿足勾股定理，求出半徑和半弦長，代入即可求解．5．（5分）（2009?陜西）某單位共有老、中、青職工430人，其中青年職工160人，中年職工人數是老年職工人數的2倍．為了解職工身體狀況，現采用分層抽樣方法進行調查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工人數為（）A．9 B．18 C．27 D．36【考點】分層抽樣方法．【專題】計算題．【分析】根據條件中職工總數和青年職工人數，以及中年和老年職工的關系列出方程，解出老年職工的人數，根據青年職工在樣本中的個數，算出每個個體被抽到的概率，用概率乘以老年職工的個數，得到結果．【解答】解：設老年職工有x人，中年職工人數是老年職工人數的2倍，則中年職工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，即由比例可得該單位老年職工共有90人，∵在抽取的樣本中有青年職工32人，∴每個個體被抽到的概率是=，用分層抽樣的比例應抽取×90=18人．故選B．【點評】本題是一個分層抽樣問題，容易出錯的是不理解分層抽樣的含義或與其它混淆．抽樣方法是數學中的一個小知識點，但一般不難，故也是一個重要的得分點，不容錯過．6．（5分）（2009?陜西）若（1﹣2x）2009=a0+a1x+…+a2009x2009（x∈R），則的值為（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2【考點】二項式定理的應用．【專題】計算題；壓軸題．【分析】通過給x賦值，0得到兩等式，兩式相減即得．【解答】解：令x=得0=令x=0得1=a0兩式相減得=﹣1故選項為C【點評】本題考查賦值法是求展開式的系數和問題的重要方法．7．（5分）（2009?陜西）”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】橢圓的應用．【專題】常規題型．【分析】將方程mx2+ny2=1轉化為，然后根據橢圓的定義判斷．【解答】解：將方程mx2+ny2=1轉化為，根據橢圓的定義，要使焦點在y軸上必須滿足，且，即m＞n＞0反之，當m＞n＞0，可得出＞0，此時方程對應的軌跡是橢圓綜上證之，”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”的充要條件故選C．【點評】本題考查橢圓的定義，難度不大，解題認真推導．8．（5分）（2009?陜西）在△ABC中，M是BC的中點，AM=1，點P在AM上且滿足學，則等于（）A． B． C． D．【考點】向量的共線定理；平面向量數量積的運算．【專題】計算題．【分析】由M是BC的中點，知AM是BC邊上的中線，又由點P在AM上且滿足可得：P是三角形ABC的重心，根據重心的性質，即可求解．【解答】解：∵M是BC的中點，知AM是BC邊上的中線，又由點P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴==﹣又∵AM=1∴=∴=﹣故選A【點評】判斷P點是否是三角形的重心有如下幾種辦法：①定義：三條中線的交點．②性質：或取得最小值③坐標法：P點坐標是三個頂點坐標的平均數．9．（5分）（2009?陜西）從1，2，3，4，5，6，7這七個數字中任取兩個奇數和兩個偶數，組成沒有重復數字的四位數，其中奇數的個數為（）A．432 B．288 C．216 D．108【考點】分步乘法計數原理．【專題】計算題．【分析】本題是一個分步計數原理，先從4個奇數中取2個再從3個偶數中取2個共C42C32，再把4個數排列，其中是奇數的共A21A33種，根據分步計數原理得到結果．【解答】解：∵由題意知本題是一個分步計數原理，第一步先從4個奇數中取2個再從3個偶數中取2個共C42C32=18種，第二步再把4個數排列，其中是奇數的共A21A33=12種，∴所求奇數的個數共有18×12=216種．故選C．【點評】本題考查分步計數原理，是一個數字問題，數字問題是排列中的一大類問題，把排列問題包含在數字問題中，解題的關鍵是看清題目的實質，很多題目要分類討論，要做到不重不漏．10．（5分）（2009?陜西）定義在R上的偶函數f（x）滿足：對任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．則（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3） D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）【考點】函數奇偶性的性質；函數單調性的性質．【專題】計算題；壓軸題．【分析】對任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．可得出函數在[0，+∞）上是減函數，再由偶函數的性質得出函數在（﹣∞，0]是增函數，由此可得出此函數函數值的變化規律，由此規律選出正確選項【解答】解：任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．∴f（x）在（0，+∞]上單調遞減，又f（x）是偶函數，故f（x）在（﹣∞，0]單調遞增．且滿足n∈N*時，f（﹣2）=f（2），3＞2＞1＞0，由此知，此函數具有性質：自變量的絕對值越小，函數值越大∴f（3）＜f（﹣2）＜f（1），故選A．【點評】本題主要考查了函數奇偶性的應用和函數的單調性的應用．屬基礎題．11．（5分）（2009?陜西）若正方體的棱長為，則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的體積為（）A． B． C． D．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】計算題；壓軸題．【分析】由題意可知，凸多面體為八面體，八面體體積是兩個底面邊長為1，高為的四棱錐，求出棱錐的體積，即可求出八面體的體積．【解答】解：所求八面體體積是兩個底面邊長為1，高為的四棱錐的體積和，一個四棱錐體積V1=×1×=，故八面體體積V=2V1=．故選B．【點評】本題是基礎題，考查棱錐的體積，正方體的內接多面體，體積的求法常用轉化思想，變為易求的幾何體的體積，考查計算能力．12．（5分）（2009?陜西）設曲線y=xn+1（n∈N*）在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，則x1?x2?…?xn的值為（）A． B． C． D．1【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；直線的斜率．【專題】計算題；壓軸題．【分析】欲判x1?x2?…?xn的值，只須求出切線與x軸的交點的橫坐標即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．【解答】解：對y=xn+1（n∈N*）求導得y′=（n+1）xn，令x=1得在點（1，1）處的切線的斜率k=n+1，在點（1，1）處的切線方程為y﹣1=k（xn﹣1）=（n+1）（xn﹣1），不妨設y=0，則x1?x2?x3…?xn=××，故選B．【點評】本小題主要考查直線的斜率、利用導數研究曲線上某點切線方程、數列等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13．（4分）（2009?陜西）設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a6=s3=12，則an=2n．【考點】等差數列的通項公式．【分析】由a6=s3=12，利用等差數列的前n項和公式和通項公式得到a1和d的兩個方程，從而求出a1和d，得到an．【解答】解；由a6=s3=12可得解得{an}的公差d=2，首項a1=2，故易得an=2+（2﹣1）n=2n．故答案為：2n【點評】此題很好的考查了等差數列的基本公式和方程思想．14．（4分）（2009?陜西）設x，y滿足約束條件，則x+2y的最小值是1，最大值是11．【考點】簡單線性規劃．【專題】數形結合．【分析】①設目標函數z=x+2yz為縱截距2倍縱截距取得最值時z也取得最值②畫可行域③平移目標函數線尋找最值【解答】解：設z=x+2y，z為該直線縱截距2倍，可行域如圖三角形ABC，令Z=0得直線l：x+2y=0，平移l過點C（1，0）時z有最小值1，過點A（3，4）點時有最大值11，故答案為最小值1，最大值11．【點評】本題考查線性規劃問題：1行域畫法2標函數幾何意義3最優解15．（4分）（2009?陜西）已知球O的半徑為2，圓O1是一小圓，，A、B是圓O1上兩點，若∠AO1B=，則A，B兩點間的球面距離為

．【考點】弧長公式．【專題】綜合題；壓軸題；數形結合；綜合法．【分析】由題意知應先求出AB的長度，在直角三角形AO1B中由勾股定理可得AB=2由此知三角形AOB是等邊三角形，由此可以求出∠AOB的值，進而利用弧長公式求A，B兩點間的球面距離．【解答】解：由題設知，OA=OB=2在圓O1中有，又∠AO1B=在直角三角形AO1B中由勾股定理可得AB=2所以在△AOB中，OA=OB=AB=2，則△AOB為等邊三角形，可得∠AOB=60°由弧長公式l=rθ（r為半徑）得A，B兩點間的球面距離lAB=rθ=2×故答案為【點評】本題的考點是弧長公式，其考查背景是球內一小圓上兩點的球面距，對空間想象能力要求較高，此類題是一個基本題型，求解方法固定先求兩點間的弦長，再求球心角角，再由弧長公式求弧長．16．（4分）（2009?陜西）某班有36名同學參加數學、物理、化學課外探究小組，每名同學至多參加兩個小組，已知參加數學、物理、化學小組的人數分別為26，15，13，同時參加數學和物理小組的有6人，同時參加物理和化學小組的有4人，則同時參加數學和化學小組的有8人．【考點】Venn圖表達集合的關系及運算．【專題】集合．【分析】畫出表示參加數學、物理、化學課外探究小組集合的Venn圖，結合圖形進行分析求解即可．【解答】解：由條件知，每名同學至多參加兩個小組，故不可能出現一名同學同時參加數學、物理、化學課外探究小組，設參加數學、物理、化學小組的人數構成的集合分別為A，B，C，則card（A∩B∩C）=0，card（A∩B）=6，card（B∩C）=4，由公式card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∩B）﹣card（A∩C）﹣card（B∩C）知36=26+15+13﹣6﹣4﹣card（A∩C）故card（A∩C）=8即同時參加數學和化學小組的有8人．故答案為：8．【點評】本小題主要考查Venn圖表達集合的關系及運算、Venn圖的應用、集合中元素的個數等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．三、解答題（共6小題，滿分76分）17．（12分）（2009?陜西）已知函數f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的周期為π，且圖象上一個最低點為．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）當，求f（x）的最值．【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】計算題．【分析】（Ⅰ）由最低點求出A，利用周期求出ω，圖象上一個最低點為．代入函數解析式求出φ，然后求f（x）的解析式；（Ⅱ）當，，然后求出求f（x）的最值．【解答】解：（Ⅰ）由最低點為由由點在圖象上得即所以故又，所以所以（Ⅱ）因為，可得所以當時，即x=0時，f（x）取得最小值1；當，即時，f（x）取得最大值；【點評】本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查計算能力，是基礎題．18．（12分）（2009?陜西）椐統計，某食品企業一個月內被消費者投訴的次數為0，1，2的概率分別為0.4，0.5，0.1（Ⅰ）求該企業在一個月內共被消費者投訴不超過1次的概率；（Ⅱ）假設一月份與二月份被消費者投訴的次數互不影響，求該企業在這兩個月內共被消費者投訴2次的概率．【考點】相互獨立事件的概率乘法公式．【分析】本題考查的知識點是相互獨立事件的概率乘法公式．（1）設事件A表示“一個月內被投訴的次數為0”，事件B表示“一個月內被投訴的次數為1”，由一個月內被消費者投訴的次數為0，1的概率分別為0.4，0.5，則該企業在一個月內共被消費者投訴不超過1次的概率P=P（A+B）=P（A）+P（B），代入即可求出答案．（2）設事件Ai表示“第i個月被投訴的次數為0”，事件Bi表示“第i個月被投訴的次數為1”，事件Ci表示“第i個月被投訴的次數為2”，事件D表示“兩個月內被投訴2次”，該企業在這兩個月內共被消費者投訴2次的概率．P（D）=P（A1C2+A2C1）+P（B1B2）=P（A1C2）+P（A2C1）+P（B1B2），代入數據運算后，易得最終答案．【解答】解：（Ⅰ）設事件A表示“一個月內被投訴的次數為0”，事件B表示“一個月內被投訴的次數為1”所以P（A+B）=P（A）+P（B）=0.4+0.5=0.9（Ⅱ）設事件Ai表示“第i個月被投訴的次數為0”，事件Bi表示“第i個月被投訴的次數為1”，事件Ci表示“第i個月被投訴的次數為2”，事件D表示“兩個月內被投訴2次”所以P（Ai）=0.4，P（Bi）=0.5，P（Ci）=0.1（i=1，2）所以兩個月中，一個月被投訴2次，另一個月被投訴0次的概率為P（A1C2+A2C1）一、二月份均被投訴1次的概率為P（B1B2）所以P（D）=P（A1C2+A2C1）+P（B1B2）=P（A1C2）+P（A2C1）+P（B1B2）由事件的獨立性的p（D）=0.4×0.1+0.1×0.4+0.5×0.5=0.33．【點評】本小題主要考查相互獨立事件概率的計算，運用數學知識解決問題的能力，要想計算一個事件的概率，首先我們要分析這個事件是分類的（分幾類）還是分步的（分幾步），然后再利用加法原理和乘法原理進行求解．19．（12分）（2009?陜西）如圖所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°．（1）證明：AB⊥A1C；（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．【考點】與二面角有關的立體幾何綜合題；直線與平面垂直的判定．【專題】計算題；證明題．【分析】（1）欲證AB⊥A1C，而A1C?平面ACC1A1，可先證AB⊥平面ACC1A1，根據三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，可知AB⊥AA1，由正弦定理得AB⊥AC，滿足線面垂直的判定定理所需條件；（2）作AD⊥A1C交A1C于D點，連接BD，由三垂線定理知BD⊥A1C，則∠ADB為二面角A﹣A1C﹣B的平面角，在Rt△BAD中，求出二面角A﹣A1C﹣B的余弦值即可．【解答】解：（1）證明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，∴AB⊥AA1，在△ABC中，AB=1，AC=，∠ABC=60°，由正弦定理得∠ACB=30°，∴∠BAC=90°，即AB⊥AC，∴AB⊥平面ACC1A1，又A1C?平面ACC1A1，∴AB⊥A1C．（2）如圖，作AD⊥A1C交A1C于D點，連接BD，由三垂線定理知BD⊥A1C，∴∠ADB為二面角A﹣A1C﹣B的平面角．在Rt△AA1C中，AD===，在Rt△BAD中，tan∠ADB==，∴cos∠ADB=，即二面角A﹣A1C﹣B的余弦值為．【點評】本題考查直線與平面垂直的性質，二面角及其度量，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，是中檔題．20．（12分）（2009?陜西）已知函數f（x）=x3﹣3ax﹣1，a≠0（1）求f（x）的單調區間；（2）若f（x）在x=﹣1處取得極值，直線y=m與y=f（x）的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍．【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值．【分析】（1）先確求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區間是增區間，fˊ（x）＜0的區間是減區間．（2）先根據極值點求出a，然后利用導數研究函數的單調性，求出極值以及端點的函數值，觀察可知m的范圍．【解答】解析：（1）f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a），當a＜0時，對x∈R，有f′（x）＞0，當a＜0時，f（x）的單調增區間為（﹣∞，+∞）當a＞0時，由f′（x）＞0解得或；由f′（x）＜0解得，當a＞0時，f（x）的單調增區間為；f（x）的單調減區間為．（2）因為f（x）在x=﹣1處取得極大值，所以f′（﹣1）=3×（﹣1）2﹣3a=0，∴a=1．所以f（x）=x3﹣3x﹣1，f′（x）=3x2﹣3，由f′（x）=0解得x1=﹣1，x2=1．由（1）中f（x）的單調性可知，f（x）在x=﹣1處取得極大值f（﹣1）=1，在x=1處取得極小值f（1）=﹣3．因為直線y=m與函數y=f（x）的圖象有三個不同的交點，結合f（x）的單調性可知，m的取值范圍是（﹣3，1）．【點評】本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及求最值和利用導數研究圖象等問題，屬于中檔題．21．（12分）（2009?陜西）已知數列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2=，n∈