上海民辦僑華高級中學2023年高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A． B．2 C． D．0參考答案：A【考點】簡單線性規劃．【分析】首先畫出可行域，根據事情是區域內的點與原點連接的直線的斜率的最大值，求之即可．【解答】解：由已知得到可行域如圖：則表示區域內的點與原點連接的直線的斜率，所以與C連接的直線斜率最大，且C（2，3），所以的最大值為；故選：A．2.設雙曲線的一條漸近線與拋物線只有一個公共點，則雙曲線的離心率為

A.

B.

C.

D.參考答案：D3.已知參考答案：D略4.在等比數列中，則A．3

B．

C．3或

D．或參考答案：C略5.關于復數，下列說法中正確的是（

）A．在復平面內復數對應的點在第一象限．B．復數的共軛復數．C．若復數（）為純虛數，則．D．設為復數的實部和虛部，則點在以原點為圓心，半徑為1的圓上．參考答案：C6.運行如圖所示的程序框圖，若輸入的（i=1,2,…,10）分別為1.5、2.6、3.7、4.8、7.2、8.6、9.1、5.3、6.9、7.0，則輸出的值為（

）A． B． C． D．參考答案：C7.已知銳角是的一個內角,是三角形中各角的對應邊,若,則下列各式正確的是(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：C略8.已知各項均不為零的數列{an}，定義向量。下列命題中真命題是

A．若n∈N*總有∥成立，則數列{an}是等差數列

B．若n∈N*總有∥成立，則數列{an}是等比數列

C．若n∈N*總有⊥成立，則數列{an}是等差數列

D．若n∈N*總有⊥成立，則數列{an}是等比數列參考答案：A9.下列命題中是假命題的是

A.，使是冪函數

B.，函數都不是偶函數

C.，使

D.，函數有零點參考答案：B10.給出如下四個命題：

①若“且”為假命題，則、均為假命題；

②若等差數列的前n項和為則三點共線;

③“?x∈R，x2＋1≥1”的否定是“x∈R，x2＋1≤1”;

④在中，“”是“”的充要條件．

其中正確的命題的個數是

（

）

A．4

B．3

C．2

D．1參考答案：C因為命題1中，且命題為假，則一假即假，因此錯誤，命題2中，因為是等差數列，因此成立。命題3，否定應該是存在x,使得x2＋1<1”，命題4中，應該是充要條件，故正確的命題是4個。選C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若對任意的，均有，則a的取值范圍是________。參考答案：12.設有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的五個盒子，現將這五個球放入這五個盒子內，要求每個盒內放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同，這樣的投放方法的總數為

；（用數字作答）參考答案：20略13.已知x，y滿足則的取值范圍是____．參考答案：14.已知數列{an}滿足a1=1，an=logn（n+1）（n≥2，n∈N*）．定義：使乘積a1?a2…ak為正整數的k（k∈N*）叫做“易整數”．則在[1，2015]內所有“易整數”的和為

．參考答案：2036【考點】數列的函數特性．【專題】函數的性質及應用．【分析】由題意，及對數的換底公式知，a1?a2?a3…ak=log2（k+1），結合等比數列的前n項和進行求解即可．【解答】解：∵an=logn（n+1），∴由a1?a2…ak為整數得1?log23?log34…logk（k+1）=log2（k+1）為整數，設log2（k+1）=m，則k+1=2m，∴k=2m﹣1；∵211=2048＞2015，∴區間[1，2015]內所有“易整數”為：21﹣1，22﹣1，23﹣1，24﹣1，…，210﹣1，其和M=21﹣1+22﹣1+23﹣1+24﹣1+…+210﹣1=﹣10=211﹣2﹣10=2036．故答案為：2036．【點評】本題以新定義“易整數”為切入點，主要考查了對數的換底公式及對數的運算性質的應用．15.若某程序框圖如圖所示，則運行結果為．參考答案：516.已知P為等邊三角形ABC內一點，且滿足+λ+（1+λ）=，若三角形PAC與三角形PAB的面積之比為，則實數λ的值為．參考答案：【考點】向量在幾何中的應用．【分析】根據條件可得出，不妨設AC中點為D，BC中點為E，從而得出，從而得到D，P，E三點共線，進而得出，，．從而得出，，這樣便可根據三角形PAC與三角形PAB的面積之比建立關于λ的方程，解出λ即可．【解答】解：=；∴；如圖，設AC中點為D，BC中點為E，則，即；∴P，D，E三點共線，且DE∥AB，DE=；據題意，﹣λ＜0，∴λ＞0；∴，；∴，，，；∴，；∴；∴；解得．故答案為：．17.某志愿者小組一共有6人，某一天中需要排成上午、下午兩個班去參加服務，每班2人，則不同的排法的種數為

。參考答案：答案:90三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分14分)已知橢圓C：（a>b>0），過點(0，1)，且離心率為．(I)求橢圓C的方程；(II)A，B為橢圓C的左右頂點，直線l：x=2與x軸交于點D，點P是橢圓C上異于A，B的動點，直線AP，BP分別交直線l于E，F兩點．證明：當點P在橢圓C上運動時，恒為定值．參考答案：（Ⅰ）由題意可知，b=1，又因為，且a2=b2+c2，解得a=2所以橢圓的方程為………………4（Ⅱ）由題意可得：A（﹣2，0），B（2，0）．

設P（x0，y0），由題意可得：﹣2＜x0＜2，

所以直線AP的方程為…………………6令，則，即……8同理：直線BP的方程為，令，則，

即………10所以=……………………..12而，即4y02=4﹣x02，代入上式，

所以|DE|·|DF|=1，所以|DE|·|DF|為定值1．…………1419.

已知拋物線的焦點為F，過點F的直線交拋物線C于A，B兩點，且拋物線C在A，B兩點處的切線相交于點M

(I)若△MAB面積的最小值為4，求p的值；

(Ⅱ)在(I)的條件下，若△MAB的三邊長成等差數列，求此時點M到直線AB的距離．參考答案：解：（Ⅰ）設，直線，則將直線的方程代入拋物線的方程可得，則，（*）故.因直線為拋物線在點處的切線，則故直線的方程為，同理，直線的方程為，聯立直線的方程可得，又由（*）式可得，則點到直線的距離，故，由的面積的最小值為4，可得，故.……………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，故，則為直角三角形，故①由的三邊長成等差數列，不妨設，可得②聯立①，②可得,由，可得，又，，則，故，得此時到直線的距離.………（12分）略20.（本小題滿分12分）已知函數．（Ⅰ）求的最大值．（Ⅱ）對于數列，其前項和為，如果存在實數，使對任意成立，則稱數列是“收斂”的；否則稱數列的“發散”的．當時，請判斷數列是“收斂”的還是“發散”的？證明你的結論．參考答案：解：（Ⅰ）令，由，，故在區間上為減函數，在區間上為增函數．故，即當時，恒成立，故即當時，的最大值為1．

……6分（注：直接對求導，而未說明恒不為零的，扣1分）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知即（當時等號成立）依次令得，即．

即．

……11分對任意實數當時，，從而故不存在實數，使對任意成立．依題意知數列是“發散”的．

……12分21.李克強總理在2018年政府工作報告指出，要加快建設創新型國家，把握世界新一輪科技革命和產業變革大勢，深入實施創新驅動發展戰略，不斷增強經濟創新力和競爭力.某手機生產企業積極響應政府號召，大力研發新產品，爭創世界名牌.為了對研發的一批最新款手機進行合理定價，將該款手機按事先擬定的價格進行試銷，得到一組銷售數據，如表所示：單價x（千元）345678銷量y（百件）7065625956已知.（1）若變量，具有線性相關關系，求產品銷量y（百件）關于試銷單價x（千元）的線性回歸方程；（2）用（1）中所求的線性回歸方程得到與對應的產品銷量的估計值.當銷售數據對應的殘差的絕對值時，則將銷售數據稱為一個“好數據”.現從6個銷售數據中任取3個，求“好數據”至少2個的概率.（參考公式：線性回歸方程中，的估計值分別為，）.參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）根據求得，從而求得公式中的各個構成部分的值，代入公式求得；利用求得，從而可得回歸直線；（2）根據回歸直線分別計算出各個估計值，從而得到好數據的個數，利用古典概型求得結果.【詳解】（1）由，可得：，解得：，，，代入可得線性回歸方程為（2）利用（1）中所求的線性回歸方程可得：當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，與銷售數據對比可知滿足的共有個“好數據”：、、、6個銷售數據中任取3個共有：種取法其中只有1個好數據的取法有種取法至少2個好數據的概率為：【點睛】本題考查最小二乘法求