上海昂立中學生教育(上南分校)2023年高二數學文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若復數是純虛數（是虛數單位，是實數），則（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A2.從1，2，……，9這九個數中，隨機抽取3個不同的數，則這3個數的和為偶數的概率是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C3.如圖給出的是計算1+++…+的值的一個程序框圖，其中判斷框內應填入的條件是（）A.i≤2011

B.i>2011C.i≤1005

D.i>1005參考答案：A4.設在區間可導，其導數為，給出下列四組條件（

）①是奇函數，是偶函數②是以T為周期的函數，是以T為周期的函數③在區間上為增函數，在恒成立④在處取得極值，A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②③④參考答案：B5.命題“對任意的”的否定是

（

）

不存在存在存在對任意的參考答案：C6.盒中有10只螺絲釘，其中有3只是壞的，現從盒中隨機地抽取4個，那么概率是的事件為（）A．恰有1只是壞的 B．4只全是好的C．恰有2只是好的 D．至多有2只是壞的參考答案：C【考點】CB：古典概型及其概率計算公式．【分析】盒中有10只螺絲釘，從盒中隨機地抽取4只的總數為：C104，其中有3只是壞的，則恰有1只壞的，恰有2只好的，4只全是好的，至多2只壞的取法數分別為：C31×C73，C32C72，C74，C74+C31×C73+C32×C72，在根據古典概型的計算公式即可求解可得答案．【解答】解：∵盒中有10只螺絲釘∴盒中隨機地抽取4只的總數為：C104=210，∵其中有3只是壞的，∴所可能出現的事件有：恰有1只壞的，恰有2只壞的，恰有3只壞的，4只全是好的，至多2只壞的取法數分別為：C31×C73=105，C32C72=63，C74=35，C74+C31×C73+C32×C72=203，∴恰有1只壞的概率分別為：=，恰有2只好的概率為=，4只全是好的概率為，至多2只壞的概率為=；故選C7.設F1(－4,0)、F2(4,0)為定點，動點M滿足|MF1|+|MF2|=8，則動點M的軌跡是（

）A.橢圓

B.直線

C.圓

D.線段參考答案：D8.在等差數列中，（

）A.18

B.12

C.14

D.16參考答案：A考點：等差數列通項公式【方法點睛】(1)等差數列運算問題的一般求法是設出首項a1和公差d，然后由通項公式或前n項和公式轉化為方程(組)求解．(2)等差數列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現了方程的思想．9.已知{an}是首項為1的等比數列，Sn是{an}的前n項和，且9S3=S6，則數列的前5項和為（）A．或5 B．或5 C． D．參考答案：C【考點】等比數列的前n項和；等比數列的性質．【分析】利用等比數列求和公式代入9s3=s6求得q，進而根據等比數列求和公式求得數列的前5項和．【解答】解：顯然q≠1，所以，所以是首項為1，公比為的等比數列，前5項和．故選：C10.下列命題正確的是（

）A若，則

B若，則C若，則

D若，則參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.側棱與底面垂直的三棱柱A1B1C1﹣ABC的所有棱長均為2，則三棱錐B﹣AB1C1的體積為．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】先求出，AA1=2，由此能求出三棱錐B﹣AB1C1的體積．【解答】解：∵側棱與底面垂直的三棱柱A1B1C1﹣ABC的所有棱長均為2，∴==，AA1=2，∴三棱錐B﹣AB1C1的體積為：V==．故答案為：．【點評】本題考查三棱錐的體積的求不地，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．12.觀察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此規律，第n個等式可為．參考答案：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n?1?3?5…?（2n﹣1）【考點】歸納推理．【專題】壓軸題；閱讀型．【分析】通過觀察給出的前三個等式的項數，開始值和結束值，即可歸納得到第n個等式．【解答】解：題目中給出的前三個等式的特點是第一個等式的左邊僅含一項，第二個等式的左邊含有兩項相乘，第三個等式的左邊含有三項相乘，由此歸納第n個等式的左邊含有n項相乘，由括號內數的特點歸納第n個等式的左邊應為：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），每個等式的右邊都是2的幾次冪乘以從1開始幾個相鄰奇數乘積的形式，且2的指數與奇數的個數等于左邊的括號數，由此可知第n個等式的右邊為2n?1?3?5…（2n﹣1）．所以第n個等式可為（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n?1?3?5…（2n﹣1）．故答案為（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n?1?3?5…（2n﹣1）．【點評】本題考查了歸納推理，歸納推理是根據已有的事實，通過觀察、聯想、對比，再進行歸納，類比，然后提出猜想的推理，是基礎題．13.根據如圖所示的程序框圖，若輸出的值為4，則輸入的值為______________.參考答案：－2或114.設函數給出下列四個命題：①當時，是奇函數；②當時，方程只有一個實數根；③的圖像關于點對稱；④方程至多有兩個實數根.

其中正確的命題有

.ks5u參考答案：①②③15.數列{n3}的前n項和為Sn，觀察下列式子：S，S=（1+2）2，S3=13+23+33=（1+2+3）2，…，根據以上式子猜想數列{n3}前n項和公式Sn=

．參考答案：考點：歸納推理．專題：等差數列與等比數列；推理和證明．分析：根據題意，分析題干所給的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2=62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2=102，歸納等式兩邊的變化規律，進而可得答案．解答： 解：根據題意，分析題干所給的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2=62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2=102，…歸納可得：13+23+33+43+…+n3=（1+2+3+4+…+n）2=[]2=，故答案為：點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．16.若向量，，則

.參考答案：略17.已知一物體做變速運動，其瞬時速度v與時間t的關系是v(t)=（速度單位為：米/秒），則此物體開始運動3秒的位移是____________米。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．（1）證明PA∥平面EDB；（2）證明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．參考答案：【考點】直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定；與二面角有關的立體幾何綜合題．【分析】法一：（1）連接AC，AC交BD于O，連接EO要證明PA∥平面EDB，只需證明直線PA平行平面EDB內的直線EO；（2）要證明PB⊥平面EFD，只需證明PB垂直平面EFD內的兩條相交直線DE、EF，即可；（3）必須說明∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，然后求二面角C﹣PB﹣D的大小．法二：如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點，設DC=a．（1）連接AC，AC交BD于G，連接EG，求出，即可證明PA∥平面EDB；（2）證明EF⊥PB，，即可證明PB⊥平面EFD；（3）求出，利用，求二面角C﹣PB﹣D的大小．【解答】解：方法一：（1）證明：連接AC，AC交BD于O，連接EO．∵底面ABCD是正方形，∴點O是AC的中點在△PAC中，EO是中位線，∴PA∥EO而EO?平面EDB且PA?平面EDB，所以，PA∥平面EDB（2）證明：∵PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD，∴PD⊥DC∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，∴DE⊥PC．①同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．而DE?平面PDC，∴BC⊥DE．②由①和②推得DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD．（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB．設正方形ABCD的邊長為a，則，．在Rt△PDB中，．在Rt△EFD中，，∴．所以，二面角C﹣PB﹣D的大小為．方法二：如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點，設DC=a．（1）證明：連接AC，AC交BD于G，連接EG．依題意得．∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故點G的坐標為且．∴，這表明PA∥EG．而EG?平面EDB且PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB．（2）證明；依題意得B（a，a，0），．又，故．∴PB⊥DE．由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD．（3）解：設點F的坐標為（x0，y0，z0），，則（x0，y0，z0﹣a）=λ（a，a，﹣a）．從而x0=λa，y0=λa，z0=（1﹣λ）a．所以．由條件EF⊥PB知，，即，解得∴點F的坐標為，且，∴即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．∵，且，，∴．∴．所以，二面角C﹣PB﹣D的大小為．【點評】本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，二面角等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力．19.已知函數（為自然對數的底數）.（Ⅰ）求函數的單調區間和極值；（Ⅱ）若不同的兩點，滿足：，試判定點是否在以線段為直徑的圈上？請說明理由.參考答案：（Ⅰ）定義域為，對于，當時，，，∴；當時，，，∴；所以的減區間為，增區間為，∴有極小值，無極大值.（Ⅱ）若，則，與條件不符，從而得，同理可得.從而得，由上可得點，，兩兩不重合.從而，點，，可構成直角三角形.20.（本小題滿分8分）求證：．參考答案：證明：由于，，故只需證明．…………2分只需證，即．………4分只需證．……………………6分因為顯然成立，所以．……………………8分21.（13分）設a∈R，已知函數f（x）=ax3﹣3x2．（1）求函數f（x）的單調區間；（2）設g（x）=f（x）+f′（x），若?x∈[1，3]，有g（x）≤0，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性．【分析】（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）題目轉化為a≤=對x∈[1，3]恒成立．構造函數利用導數求解函數的最小值，即可得到實數a的取值范圍．【解答】解：（1）f′（x）=3ax2﹣6x，a=0時，f′（x）=﹣6x，f′（x）＞0，得x＜0，f′（x）＜0，得x＞0；a＞0時，f′（x）＞0，得x＞或x＜0，f′（x）＜0，得0＜x＜；a＜0時，f′（x）＞0，得＜x＜0，f′（x）＜0，得x＜或x＞0；綜上所述：a=0時，f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，0），單調遞減區間為（0，+∞）；a＞0時，f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，0），（，+∞），單調遞減區間為（0，）；a＜0時，f（x）的單調遞增區間為（，0），單調遞減區間為（﹣∞，），