2022廣西壯族自治區桂林市泗水中學高三數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數f（x）=（m2﹣m﹣1）x是冪函數，對任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，滿足＞0，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，則f（a）+f（b）的值(

)A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷參考答案：A【考點】冪函數的性質．【專題】函數的性質及應用．【分析】根據題意，求出冪函數f（x）的解析式，利用函數f（x）的奇偶性與單調性，求出f（a）+f（b）＞0．【解答】解：根據題意，得f（x）=（m2﹣m﹣1）x是冪函數，∴m2﹣m﹣1=1，解得m=2或m=﹣1；又f（x）在第一象限是增函數，且當m=2時，指數4×29﹣25﹣1=2015＞0，滿足題意；當m=﹣1時，指數4×（﹣1）9﹣（﹣1）5﹣1=﹣4＜0，不滿足題意；∴冪函數f（x）=x2015是定義域R上的奇函數，且是增函數；又∵a，b∈R，且a+b＞0，∴a＞﹣b，又ab＜0，不妨設b＜0，即a＞﹣b＞0，∴f（a）＞f（﹣b）＞0，f（﹣b）=﹣f（b），∴f（a）＞﹣f（b），∴f（a）+f（b）＞0．故選：A．【點評】本題考查了冪函數的定義與性質的應用問題，也考查了函數的奇偶性與單調性的應用問題，是基礎題目．2.已知實數x,y滿足如果目標函數z=x-y的最小值為—1，則實數m等于A.7

B.5

C.4 D.3參考答案：答案：B3.若，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．參考答案：A由于，即．由于，即．∴，故選A．4.設x∈R，則“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡易邏輯．【分析】根據不等式的性質，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要條件，故選：A．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，比較基礎．5.在R上定義運算：xy＝x(1－y)

若不等式(x－a)(x＋a)<1對任意實數x成立.則(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C略6.已知函數的圖象的一個對稱中心為,則函數的單調遞減區間是(A)Z

(B)Z

(C)Z

(D)Z參考答案：D=0，得：，所以，，由，得的單調遞減區間是Z7.設x∈R，函數f(x)單調遞增，且對任意實數x，有，（其中e為自然對數），求f(ln2)=

（

）A．e+1

B．1

C．e+3

D．3參考答案：D8.若復數的實部與虛部相等，則實數b等于(

)A．3

B.1

C.

D.參考答案：A9.已知矩形ABCD的頂點都在半徑為5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，則棱錐O﹣ABCD的側面積為(

)A．20+8 B．44 C．20 D．46參考答案：B【考點】球內接多面體；棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】計算題；空間位置關系與距離．【分析】由題意求出矩形的對角線的長，結合球的半徑，球心到矩形的距離，滿足勾股定理，求出棱錐的高，即可求出棱錐的體積．【解答】解：由題意可知四棱錐O﹣ABCD的側棱長為：5．所以側面中底面邊長為6和2，它們的斜高為：4和2，所以棱錐O﹣ABCD的側面積為：S=4×6+2=44．故選B．【點評】本題是基礎題，考查球內幾何體的體積的計算，考查計算能力，空間想象能力，常考題型．10.已知,則下列函數的圖象錯誤的是（）參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列正確命題序號是_____．（1）若，，則（2）若，則（3）若，且，則；（4）若，，則參考答案：（3）（4）【分析】通過線面平行的關系，判斷處（1）錯誤；通過線線垂直和線面垂直的關系，判斷出（2）錯誤；通過線線垂直和線面垂直的關系，判斷出（3）正確；通過面面平行的關系，判斷出（4）正確.【詳解】若，則與可能平行，相交或異面，故（1）錯誤；若則或，故（2）錯誤；若且，則，故（3）正確；若，由面面平行的性質可得，故（4）正確；故答案為：（3）（4）【點睛】本題考查線面平行，面面平行，線面垂直，面面垂直等性質，屬于簡單題.

12.若是冪函數，且滿足=3，則=

；參考答案：13.體積為的球與正三棱柱的所有面均相切，則該棱柱的體積為．參考答案：6【考點】LR：球內接多面體．【分析】由球的體積可以求出半徑，從而得棱柱的高；由球與正三棱柱的三個側面相切，得球的半徑和棱柱底面正△邊長的關系，求出邊長，即求出底面正△的面積，從而得出棱柱的體積．【解答】解：由球的體積公式，得πR3=，∴R=1．∴正三棱柱的高h=2R=2．設正三棱柱的底面邊長為a，則其內切圓的半徑為：a=1，∴a=2，∴該棱柱的體積為=6，故答案為6．14.若函數f（x）=aex﹣x有兩個零點，則實數a的取值范圍是．參考答案：（0，）【考點】利用導數研究函數的單調性；函數零點的判定定理．【分析】對f（x）求導，討論f′（x）的正負以及對應f（x）的單調性，得出函數y=f（x）有兩個零點的等價條件，從而求出a的取值范圍；【解答】解：∵f（x）=aex﹣x，∴f′（x）=aex﹣1；下面分兩種情況討論：①a≤0時，f′（x）＜0在R上恒成立，∴f（x）在R上是減函數，不合題意；②a＞0時，由f′（x）=0，得x=﹣lna，當x變化時，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：x（﹣∞，﹣lna）﹣lna（﹣lna，+∞）f′（x）﹣0+﹣f（x）遞減極小值﹣lna﹣1遞增∴f（x）的單調減區間是（﹣∞，﹣lna），增區間是（﹣lna，+∞）；∴函數y=f（x）有兩個零點等價于如下條件同時成立：（i）f（﹣lna）＞0，（ii）存在s1∈（﹣∞，﹣lna），滿足f（s1）＜0，（iii）存在s2∈（﹣lna，+∞），滿足f（s2）＜0；由f（﹣lna）＞0，即﹣lna﹣1＞0，解得0＜a＜e﹣1；取s1=0，滿足s1∈（﹣∞，﹣lna），且f（s1）=﹣a＜0，取s2=+ln，滿足s2∈（﹣lna，+∞），且f（s2）=（﹣e）+（ln﹣e）＜0；∴a的取值范圍是（0，e﹣1）．故答案為：（0，）．【點評】本題考查了導數的運算以及利用導數研究函數的單調性與零點問題，也考查了函數思想、化歸思想和分析問題、解決問題的能力．15.已知點A、B、C、D在同一個球面上，AB丄平面BCD，BC丄CD，若AB=6，AC=,CD=，則B、C兩點在此球面上的球面距離是_______參考答案：16.若關于的不等式存在實數解，則實數的取值范圍是

．參考答案：17.(1+2x2)(x－)8的二項展開式中常數項是

．（用數字作答）參考答案：﹣42【考點】二項式定理的應用．【分析】利用的通項公式為Tr+1=，即可得出結論．【解答】解：的通項公式為Tr+1=，∴的二項展開式中常數項是1×﹣2=﹣42．故答案為﹣42．【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數的性質，二項式展開式的通項公式，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知?=3?．（Ⅰ）求證tanB=3tanA；（Ⅱ）若a2+b2﹣c2=ab，求角A的大小．參考答案：考點： 余弦定理的應用；平面向量數量積的運算．專題： 計算題；解三角形．分析： （Ⅰ）記AB=c，AC=b，BC=a由已知?=3?，可得bccosA=3cacosB由正弦定理化簡得tanB=3tanA；（Ⅱ）由余弦定理和已知得：cosC=，即可求出1+tan2C=5解得tanC=2（tanC=﹣2舍去）結合（Ⅰ）即可求得角A的大小．解答： 解（Ⅰ）記AB=c，AC=b，BC=a∵?=3?．∴bccosA=3cacosB∴bcosA=3acosB由正弦定理得：sinBcosA=3sinAcosB∴∴tanB=3tanA．（Ⅱ）∵由余弦定理得：cosC=∴1+tan2C=5∴tanC=2（tanC=﹣2舍去）tanC=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）==2解得：tanA=﹣（舍去），或tanA=1∴A=．點評： 本題主要考察了余弦定理的應用，平面向量數量積的運算，考察了計算能力，屬于中檔題．19.已知函數，為常數．

（1）若，且，求函數的單調區間；（2）若，且對任意，，都有，求的取值范圍．參考答案：解：（1），-------------------------------------2分 ∵，令，得，或，------------------------------------3分 ∴函數的單調增區間為，．

-----------------------------4分

單調減區間為-----------------------------5分注：兩個單調增區間，錯一個扣1分，錯兩個扣2分 （2）∵，∴，∴，--------------------------------------------------7分設，依題意，在上是減函數．--------------------------8分當時，，，令，得：對恒成立，設，則，∵，∴，∴在上是增函數，則當時，有最大值為，∴．------------------------------------------------------------------------------------11分當時，，，令，得：， 設，則， ∴在上是增函數，∴， ∴------------------------------------------------------------------------------------13分綜上所述，------------------------------------------------------------14分略20.設函數

(1)當時，求函數的最大值；(2)令（）其圖象上任意一點處切線的斜率≤恒成立，求實數的取值范圍；(3)當，，方程有唯一實數解，求正數的值．參考答案：略21.17．（本小題滿分12分）已知等差數列的公差=1，前項和為.

(I)若；(II)若參考答案：22.某學校高二年級共有1000名學生，其中男生650人，女生350人，為了調查學生周末的休閑方式，用分層抽樣的方法抽查了200名學生.（1）完成下面的列聯表；

不喜歡運動喜歡運動合計女生50

男生

合計

100200（2）在喜歡運動的女生中調查她們的運動時間，發現她們的運動時間介于30分鐘到90分鐘之間，如圖是測量結果的頻率分布直方圖，若從區間段和的所有女生中隨機抽取兩名女生，求她們的運動時間在同一區間段的概率.參考答案：（1）根據分層抽樣的定義，知抽取男生130人，女生70人，

不喜歡運動喜歡運動合計女生502070男生5080130合計100100200（2）由直方圖知在內的人數為4人，設為.在的人數為2人，設為.