理論力學任課老師：邱曉燕E-mail:qxy2001@Mailbox:81#正點電荷四周引入另一正點電荷受到的場力.OA彈簧固定于O點，運動質點A受到的彈性場力；藍色點處表示彈性力為零.§1.9有心力一、有心力的基本性質1.有心力運動質點受力的作用線始終通過某確定點，該力為有心力，該點叫力心。凡力趨向定點的是引力，離開定點的是斥力．有心力的量值一般為r的函數:為斥力為引力2.因為有心力的作用線通過力心，故相對于力心O質點必在垂直于J的平面運動。3.有心力運動微分方程1)直角坐標系下以力心為原點,質點的運動平面為xy平面，則質點的運動微分方程為可見，在直角坐標系下解有心力的問題并不簡便。2)平面極坐標系下（取力心為極坐標的極點）由1.2.13式物理意義:極坐標中有心力動量矩守恒律的表達式求第一積分用保守力判據來證明:在極坐標中4.

有心力為保守力（證明見P50）故,必存在勢能V:機械能守恒：解決有心力問題的基本動身點:運動學微分方程能量守恒角動量守恒角動量守恒二、軌道微分方程—比耐公式原則上可先求r=r(t)，θ=θ(t)，然后消去t得到軌道，但對于有心力，可干脆求r=r(θ)。由令則代入比耐公式令則用途：已知r=r(θ)可求得質點受力,若已知Fr則可求得軌道。三、平方反比引力——行星運動探討太陽（M）與行星（m）運動中行星的軌道方程。1.從受力動身，用比耐公式求解太陽的高斯常數代入比耐公式:得(二階常系數非齊次方程，）可見，平方反比引力下行星的的運動是以太陽為焦點的圓錐曲線。此軌道是原點在焦點上的圓錐曲線，力心位于焦點上。令:探討①e<1，橢圓。

近日點B:遠日點B’:消去c,得:準線

②e=1，拋物線。

②e>1，雙曲線。

引力斥力2.從能量動身，運用其次組方程求解（取無窮遠處勢能為零）可解得:

（束縛態），橢圓拋物線雙曲線與比較可見，能量E為軌道類別的判據。四、開普勒定律1.開普勒三定律第確定律（軌道定律1609年）:行星繞太陽作橢圓運動,太陽位于橢圓得一個焦點上。說明行星軌道方程:e<1，太陽位于橢圓的焦點上。其次定律（面積定律，1609年）:行星與太陽的聯線，相同時間內掃過的面積相等。即

第三定律（周期定律，1619年）：行星公轉的周期的平方和軌道半長軸的立方成正比。牛頓于1687年從開普勒三定律推導出萬有引力定律。（即角動量守恒）2.從開普勒定律動身推導萬有引力定律①據其次定律有：即:常量,

是常數,即動量矩守恒,行星所受的力對太陽的力矩為零,因行星具有加速度,所以受力不為零,故行星所受力必定是有心力,

太陽是力心。據第確定律，由代入比耐公式，得似乎表明行星所受的力是引力，且與距離平方成反比？是否是一個與行星無關的常數？（當矢徑掃過一周,A=ab）

②證明

是與行星無關的常數代入第三定律:由此看出:開文迪許1798年測量了G的值，2)行星周期與軌道半長軸的具體關系為:留意1)Kepler定律是近似的，忽視了太陽自身的運動以及行星之間的相互作用。太陽的高斯常數五、宇宙速度與宇宙航行宇宙速度（火箭放射速度）:引力勢能：由有心力基本運動方程：消去其中的

用于平方反比引力時，可改寫為準線假如軌道為橢圓，則在近日點：準線假如軌道為拋物線，則在近日點：假如軌道為雙曲線，則在近日點：①第一宇宙速度（環繞速度）:②其次宇宙速度（逃逸速度）（拋物線軌道）③第三宇宙速度在地球繞太陽運動軌道上脫離太陽引力的速度:考慮地球公轉速度，則相對于地球的放射速度考慮地球引力因素:考慮其它行星引力作用:1.探討產生圓形軌道運動的條件：由比耐公式

假如質點運動初速垂直于位矢且滿足六、圓形軌道的穩定性則：2.探討圓形軌道的穩定性：令及為某一具體圓形軌道的和之值，顯然有可見這時不論半徑如何，質點將作圓形軌道運動。為了探討擾動，我們可以假設有一微擾，即令代入比耐公式將右邊后兩個因子各展成的冪級數（1.9.39）所以前式右邊近似有式中泰勒綻開式式中

為另一常數，其值對問題的性質無關。（1.9.41）式的解分別為（1.9.41）假如取一階微量，則（1.9.39）式變為*雙曲函數（hyperbolicfunction）雙曲正弦雙曲余弦

雙曲正切只有第一式即時，永遠保持為小量因此，半徑為的圓形軌道，只有時，才是穩定的。考慮一下引力與距離次方成反比的情況，即那么上述兩式相除，得即有因為在吸引力的作用下作圓形軌道運動時，只有滿足以下條件軌道才是穩定的：所以:

即只有與距離成正比(n=-1)的力和平方反比(n=2)的吸引力才能給出穩定的圓形軌道.

一個帶正電荷2e的質點射入一原子中，原子核帶正電Ze，則由庫侖定律：（1.9.47）七、平方反比斥力－α粒子的彈性散射力的方向沿著二者的連線,是排斥力.原子核質量大,可以近似看做不動,

這樣可認為粒子受到有心力的作用.系統能量方程:所以軌道曲線為雙曲線中的右支。偏轉角:粒子的散射令則有其解為求粒子的散射的軌道方程：把代入比耐公式，得把解寫成如下形式：qqq,sinsin11,sinuryry===又瞄準距離求瞄準距離ρ角動量守恒：散射截面

若散射角是瞄準距離單調下降的函數,盧瑟福公式(1911)蓋革及馬士登試驗所證明(1913)涉及有心力的力學習題有心力是保守力：能量守恒相對于力心：有心力的角動量守恒比耐公式:[例題]盧瑟福等人發覺用粒子轟擊金鉑時有些入射偏轉角很大，甚至超過90°.盧瑟福于1911年提出原子必有一帶正電的核心，即原子核；此即原子結構的行星模型。已知粒子的質量為m，以速度接近電荷為Ze的重原子核.瞄準距離為b，如圖所示.求粒子接近重核的最近距離.設原子核質量比粒子大很多，可近似看作靜止.db(a)r[解]設

z軸垂直于粒子運動平面且通過重核中心.對z軸的角動量故粒子最接近重核（距離為d）時對Z軸角動量為dmv

對z軸的角動量守恒得dbb