第九章第七節(jié)一、方向?qū)?shù)

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、梯度三、物理意義方向?qū)?shù)與梯度回顧：二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在點(diǎn)M0處的切線對(duì)x

軸的斜率.在點(diǎn)M0處的切線斜率.是曲線機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束對(duì)y軸的一、方向?qū)?shù)定義:若函數(shù)在點(diǎn)處沿方向l

(方向角為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

)存在下列極限:記作則稱為函數(shù)在點(diǎn)

P處沿方向l

的方向?qū)?shù).特別:?當(dāng)l與x軸同向?當(dāng)l與x軸反向定理:則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向

l

的方向?qū)?shù)存在,證明:由函數(shù)且有在點(diǎn)P

可微,得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束故三元函數(shù)的方向?qū)?shù):定義:若函數(shù)則稱為函數(shù)在點(diǎn)

P處沿方向l

的方向?qū)?shù).在點(diǎn)處沿方向l

(方向角為

)存在下列極限:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束記作定理:則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向

l

的方向?qū)?shù)存在,證明:由函數(shù)且有在點(diǎn)P

可微,得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束故例1.求函數(shù)

在點(diǎn)

P(1,1,1)沿向量3)的方向?qū)?shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解:

向量

l

的方向余弦為例2.

求函數(shù)在點(diǎn)P(2,3)沿曲線朝x

增大方向的方向?qū)?shù).解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為它在點(diǎn)P

的切向量為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.設(shè)是曲面在點(diǎn)P(1,1,1)處指向外側(cè)的法向量,解:

方向余弦為而同理得方向的方向?qū)?shù).在點(diǎn)P處沿求函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、梯度方向?qū)?shù)公式令向量這說明方向：f變化率最大的方向模:

f的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1.定義即同樣可定義二元函數(shù)稱為函數(shù)f(P)在點(diǎn)P

處的梯度記作(gradient),在點(diǎn)處的梯度機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.向量2.梯度的幾何意義函數(shù)在一點(diǎn)的梯度垂直于該點(diǎn)等值面(或等值線),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束稱為函數(shù)f

的等值線

.則L*上點(diǎn)P處的法向量為同樣,對(duì)應(yīng)函數(shù)有等值面(等量面)當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零時(shí),其上點(diǎn)P處的法向量為指向函數(shù)增大的方向.結(jié)論等高線的畫法播放等高線的畫法等高線的畫法等高線的畫法等高線的畫法等高線的畫法等高線的畫法等高線的畫法等高線的畫法等高線的畫法例如,梯度與等高線的關(guān)系：類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)3.梯度的基本運(yùn)算公式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.證:試證機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束處矢徑r的模,三、物理意義函數(shù)(物理量的分布)數(shù)量場(chǎng)(數(shù)性函數(shù))場(chǎng)向量場(chǎng)(矢性函數(shù))可微函數(shù)梯度場(chǎng)(勢(shì))如:溫度場(chǎng),電位場(chǎng)等如:力場(chǎng),速度場(chǎng)等(向量場(chǎng))注意:

任意一個(gè)向量場(chǎng)不一定是梯度場(chǎng).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例.例5.已知位于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷q在任意點(diǎn)試證證:利用例4的結(jié)果這說明場(chǎng)強(qiáng):處所產(chǎn)生的電位為垂直于等位面,且指向電位減少的方向.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.方向?qū)?shù)?三元函數(shù)在點(diǎn)沿方向l(方向角的方向?qū)?shù)為?二元函數(shù)在點(diǎn)的方向?qū)?shù)為沿方向l(方向角為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.梯度?三元函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為?二元函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為3.關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在??可微機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束梯度在方向l

上的投影.思考與練習(xí)1.設(shè)函數(shù)(1)求函數(shù)在點(diǎn)M(1,1,1)處沿曲線在該點(diǎn)切線方向的方向?qū)?shù);(2)求函數(shù)在M(1,1,1)處的梯度與(1)中切線方向

的夾角

.2.P131題16機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束曲線1.(1)在點(diǎn)解答提示:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)沿l的方向?qū)?shù)M(1,1,1)處切線的方向向量機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.P131題

16P1082，3，7，9，10作業(yè)第八節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題

1.函數(shù)在點(diǎn)處的梯度解:則注意x,y,z

具有輪換對(duì)稱性(92考研)機(jī)動(dòng)目錄上頁